分裂四元數的棣莫弗定理

孔祥強

(菏澤學院數學與統計學院，山東 菏澤 274015)

愛爾蘭數學家Hamilton于1843年提出了四元數的概念，其形式為H0={a=a0+a1i+a2j+a3k}，其中a0，a1，a2，a3∈R，i，j，k滿足i2=-1，j2=-1，k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j，ijk=-1.James Cockle于1849年研究了分裂四元數，其形式為H={a=a0+a1i+a2j+a3k}，其中a0，a1，a2，a3∈R，i，j，k滿足i2=-1，j2=1，k2=1，ij=-ji=k，jk=-kj=-i，ki=-ik=j，ijk=1．H為結合且非交換的四維克利福德代數，且含有零因子、冪等元和冪零元[1-3].分裂四元數及分裂四元數矩陣在經典力學和量子力學中均有重要應用[4-5].文獻[6]給出了四元數的棣莫弗定理，文獻[7]研究了四元數實表示矩陣的棣莫弗定理.文獻[8]得到了半四元數的棣莫弗定理，并在文獻[9]中給出了半四元數實表示矩陣的棣莫弗定理.Jafari等給出了對偶四元數及其表示矩陣的棣莫弗定理[10-11].文獻[12-13]重點研究了分裂半四元數的棣莫弗定理及其應用.文獻[14-15]研究了分裂四元數矩陣的實表示及實表示矩陣的特征值和逆矩陣求法.本文研究的對象是分裂四元數，得到兩種情形下分裂四元數的棣莫弗定理和歐拉公式；依托所得的棣莫弗定理，給出了分裂四元數方程的求根公式，并討論了分裂四元數不同方冪之間的聯系；最后，探討了分裂四元數的實表示矩陣的棣莫弗定理．

本文中C表示復數域，R表示實數域，Z表示整數集，Z+表示正整數集，H0表示四元數集.H表示分裂四元數集．

1 分裂四元數

定義1[16]設a=a0+a1i+a2j+a3k，且a0，a1，a2，a3∈R，i2=-1，j2=k2=1，ij=-ji=k，jk=-kj=-i，ki=-ik=j，ijk=1，則稱a為分裂四元數，記為a∈H．

設a，b∈H，則a+b=(a0+b0)+(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k.若d∈R，則da=(da0)+(da1)i+(da2)j+(da3)k．

a與b的乘積定義為

ab=SaSb-〈Va，Vb〉+SaVb+SbVa+

Va×Vb，

其中〈Va，Vb〉=a1b1-a2b2-a3b3，Va×Vb=(a3b2-a2b3)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k.a與b的乘積也可記為

性質1設a，b∈H，λ1，λ2∈R，則

4)Nab=NaNb；

性質2設a，b∈H，且a≠0，若xa=b或ay=b，則

定義2[12]設a，b∈H，a=Sa+Va，b=Sb+Vb，則a與b的內積為

性質3設a，a′，b∈H，則

1)h(ab，a′b)=Nb·h(a，a′)；

2)h(ba，ba′)=Nb·h(a，a′)；

證明僅給出1)、3)的證明，2)、4)的證明可類似得出．

2 分裂四元數的棣莫弗定理

下面分兩種情形討論分裂四元數的棣莫弗定理．

又

又

k=0，1，2，…,n-1．

(k=0，1，2，…，n-1)

為方程xn=a的n個根．

(k=0，1，2，3)．

故

下面討論分裂四元數的不同方冪之間存在的聯系．

m=n(modq)．

由m=n(modq)，則m=kq+n(k∈Z)，

a=a13=a25=a37=…，a2=a14=a26=a38=…，

…… ……

a6=a18=a30=a42=…=-1，a12=a24=a36=a48=…=1,

…… ……

3 分裂四元數的實表示矩陣的棣莫弗定理

3.1 分裂四元數的實表示矩陣

設a=a0+a1i+a2j+a3k∈H，由文獻[14-15]，任一分裂四元數均與R上的4階矩陣同構，對分裂四元數的研究可轉化為R上4階矩陣的研究.a的實表示矩陣記為

3.2 分裂四元數實表示矩陣的棣莫弗定理

則

cosω+(s1sinω，s2sinω，s3sinω)，

由此，a的實表示矩陣A可改寫為

則

由數學歸納法易知定理6成立．

依定理6，可求出A的任意方冪.如

推論1由定理6，對于n≥3，滿足An=In的單位分裂四元數的實矩陣A有無窮多個．

4 結語

對分裂四元數理論的研究是四元數量子力學的重要課題.本文研究的重點是將棣莫弗定理推廣到分裂四元數及分裂四元數的實表示矩陣上，得到了兩種情形下分裂四元數的棣莫弗定理，并給出了分裂四元數的實表示矩陣的棣莫弗定理.根據所得的棣莫弗定理，得到了分裂四元數方程的求根公式，給出了求分裂四元數的任意方冪的方法，并討論了分裂四元數不同方冪之間的聯系.本文的結論，為研究分裂四元數及交換四元數[18]的其他問題提供了理論支撐.以此為基礎，還可進一步研究分裂四元數的復表示矩陣的棣莫弗定理等問題．