人字槽狹縫節流動靜壓混合氣體軸承的設計研究

于賀春，張國慶，王文博，王仁宗，王東強

（中原工學院 機電學院，鄭州 450007）

氣體軸承因具有高精度，低摩擦和高轉速等優點，廣泛應用于高精度和高轉速設備中，如高速機床和渦輪機械［1-4］。其中，動靜壓混合氣體軸承結合了靜態軸承和動態軸承的優點，可以在較寬的溫度范圍內工作并具有較大的載荷和高速能力，同時可避免轉子與軸承在起動和停止過程中的摩擦，使其在高速工作條件下具有較好的動態特性［5-9］。

Dee C W等［10］首先提出了狹縫節流氣體軸承，并利用有限元法對其進行了研究。Yoshimoto S等［11-12］提出了一種圓周狹縫氣體軸承，利用數值分析和實驗兩種方法研究了該軸承的靜態特性。Sharma SC等［13］研究了一種適用于不可壓縮流體的徑向滑動軸承，并得出與帶有毛細管節流孔和定流量節流器的非對稱孔入口的徑向滑動軸承相比，非對稱槽布置可以提供較好的速度穩定性閾值裕度的結論。Tomohiko I等［14］提出并研究了一種軸向設置限位槽的氣體靜壓軸頸軸承，并提高了該軸承的剛度。Pankaj K等［15］在考慮熱效應和微極潤滑油共同影響的情況下，對孔入口和槽入口混合軸頸軸承的性能進行了比較研究，結果表明：在給定的潤滑油微極參數范圍內，在最大流體壓力和動力系數方面，恒流量閥補償孔入口混合軸頸軸承的性能最高。Chandra B K等［16］分別對用不同節流器補償的雙葉形／圓形非凹入式混合軸頸軸承進行了ER流體潤滑和表面變形對其性能的綜合影響的對比研究。研究表明：ER流體潤滑的CFV補償雙葉形（δ＝1.1）非凹入式徑向滑動軸承相對于其他補償元件（如毛細管，節流孔和槽口）具有卓越的性能。Wan Jun Mei等［17］提出了一種描述流體潤滑非對稱人字槽徑向軸承中槌形流體流動現象的數值模型，并采用“隨槽”網格變換方法來捕獲所有的槽邊界。Chen S K等［18］研究了帶人字槽套筒的液體動壓徑向微軸承的穩定性，得到了各種設計參數的最優值，以最大限度地提高承載能力和穩定性。Miyanaga N等［19］采用線性攝動分析和非線性瞬態分析方法，研究了黏彈性支承剛度和阻尼對人字槽氣體軸承穩定性特性的影響。研究表明，在黏彈性支承下，槽形結構的變化可以提高渦動失穩的臨界轉速。為了解決空穴區域的自由邊界問題，Chen C Y等［19］在雷諾方程中引入了一個附加項來穩定求解。結果表明：增加附加項可以得到準確的壓力分布，有利于槽形和尺寸的選擇。Xiang Guo等［20］提出了一種研究微槽徑向軸承潤滑性能的瞬態流體動力潤滑模型。結果表明：人字槽軸承在正軸向運動時表現出最大的承載能力，其次是直槽軸承，最后是螺旋槽軸承。

基于上述研究，本文提出了一種人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承。采用以有限差分法為基礎的Matlab程序研究了軸承結構參數和工作參數對動態特性的影響，并根據正交實驗設計法和灰色理論對軸承參數進行了優化，得到軸承結構參數和工作參數對軸承動態特性影響的順序以及軸承特性最佳時的軸承參數組合。

1 軸承結構和工作原理

動靜壓軸承-轉子系統的結構如圖1所示。壓縮氣體通過狹縫節流器進入氣膜間隙，支承轉子運動。在軸承轉子系統的啟動和停止過程中，動靜壓軸承的靜壓效應支撐轉子運動，在穩定工作過程中，轉子受人字槽動壓效應的支持，可降低供給壓力，從而保證轉子在整個運動過程中的穩定。

2 數學模型

人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承的理論計算分析包括2個部分：狹縫節流器的流場計算和氣膜間隙的流場計算。

2.1 狹縫節流器的流場計算

當氣體流經狹縫節流器時，熱交換非常小，并且節流器的寬度是微米級。根據節流器的這兩種特性，可以將氣體在狹縫節流器的流動簡化為氣體在2個平板中的一維流動［11-12］。假設氣體沿x方向以速度u流動，2個平板之間的垂直距離可以認為是人字槽寬度Z，平行板的長度與人字槽深度H相同，平板的寬度等于狹縫的弧長。氣體在平板間的流動的模型如圖2所示。

當氣體流場為一維穩定流場時，Naiver-Stokes方程和狀態方程可以分別簡化為式（1）和式（2）。

根據相應的邊界條件和積分方程方法，式（1）可以轉化為

平板間氣體的質量流量為

由式（2）和式（3）可以得到

人字槽的總氣體質量流量可利用式（6）計算。

2.2 氣膜間隙的流場計算

由于氣膜厚度比軸承半徑小3～4個數量級，因此可以忽略圓柱面曲率的影響，將圓柱軸承的氣膜展開成平面。根據狹縫的數量，將氣膜間隙平均分成N等份，每等份的寬度為b2。為了簡化計算，引入假設條件：①氣膜厚度在每等份是恒定的；②兩狹縫之間沒有氣體流動，氣體從節流器流出后，立即填充每等份；③不考慮圓周方向的氣體流動；④氣膜間隙中每等份壓力相等并等于氣體從節流器流出時的壓力。圖3為氣膜間隙的展開圖，并通過式（7）計算每等份的質量流量M。

根據相應的邊界條件和積分方法，得到

根據式（2）和式（8）得到

通過式（10）獲得氣膜間隙的氣體總質量流量。

忽略氣體狹縫之間和氣膜間隙的擴散流和周向流動，狹縫節流器的氣體質量流量與氣體間隙中的氣體質量流量滿足

節流器出氣口的壓力可以根據式（12）計算。

2.3 有限差分法求解雷諾方程

氣膜間隙中的壓力分布可以利用雷諾方程（13）計算。

量綱為一化雷諾方程可以離散為

根據人字槽的特殊形狀，采用平行四邊形網格并人字槽方向網格劃分。平行四邊形網格如圖4所示，其中Δx和Δy滿足

具有人字槽的區域的氣膜厚度可以通過式（16）計算。

其他區域的氣膜厚度可以通過式（17）計算。

通過有限差分法和五點差分法對雷諾方程進行離散，圖5所示為五點差分法原理圖，式（18）為雷諾方程的差分表達式。

其中，系數A1、A2、A3和A4均與氣膜厚度和氣膜壓力有關。

2.4 基于旋轉坐標系的動態特性計算

當轉子高速旋轉時，轉子有旋轉和渦動現象。轉子渦動導致壓力場和速度場沿圓周方向變化，從而產生氣膜力F，氣膜力F受轉子位移和速度的影響。因此，采用旋轉坐標系計算軸承的動態特性，圖6所示為旋轉坐標系。

假設轉子的偏心量為e，其渦動軌跡為圓，假設坐標系以與轉子同樣的渦動角速度Ω，并且轉子渦動角速度為0，計算域幾何形狀將不會變化，故網格也不會發生變化。由此消除了控制方程中的時間相關項，將非定常問題轉化為定常問題來求解，那么此時轉子的速度擾動大小為eΩ。

氣膜力Fr0和Ft0由式（19）計算

氣膜力Fr0和Ft0，偏心量e和速度擾動之間的關系是非線性的。在計算氣膜力Fr1和Ft1時，擾動分為兩部分。其中，一部分是沒有速度擾動的氣膜力Fr1和Ft1；另一部分則為該狀態附近的小擾動Δe和ΔΩ帶來的氣膜力Fr1和Ft1。如果將此時的氣膜力Fr1和Ft1在該狀態附近用泰勒級數展開，如式（20）所示

根據氣膜力F的結果，可以求解阻尼系數和剛度系數，具體步驟如下：

1）阻尼系數的計算

當轉子速度n一定，轉子的偏心度為e1，旋轉角速度為Ω，可以獲得氣膜力Fr0和Ft0。給定微小的速度擾動ΔΩ，此時偏心率e1不變，根據Fr0和Ft0以及Fr1和Ft1計算出新的氣膜力Fr1和Ft1，軸承的阻尼系數可以通過式（21）求解。

2）剛度系數的解

給定微小的偏心擾動Δe，轉子速度和旋轉角速度保持不變，根據氣膜力Fr0和Ft0以及Fr2和Ft2可以計算出新的氣體膜力Fr2和Ft2。軸承的剛度系數可以通過式（22）求解。

2.5 計算過程和計算參數

利用Matlab軟件編程進行計算。計算流程如圖7所示，軸承的計算參數見表1。

表1 人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承的計算參數

3 計算結果

3.1 人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承和普通軸承的動態特性比較

為了對比研究人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承和普通軸承的動態特性，按照表1中的參數，在0.1～0.7范圍內改變軸承偏心率，其他參數保持不變，計算分析后的動態特性曲線如圖8所示。其中，圖8（a）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承和普通軸承的主阻尼，從曲線可以看出：2種軸承主阻尼均隨偏心率ε的增大而增加，但人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承的主阻尼大于普通軸承的主阻尼。圖8（b）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承和普通軸承的交叉阻尼，兩種軸承的交叉阻尼隨偏心比的增大而減小，人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承的交叉阻尼小于于普通軸承的交叉阻尼。圖8（c）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承和普通軸承的主剛度，當偏心率ε＜0.4時，兩種軸承的差值較小；當偏心率ε＞0.4時，差值隨偏心率ε增加而增大。圖8（d）顯示了不同偏心率ε下人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承和普通軸承的交叉剛度，交叉剛度隨偏心率ε增加而增加，并且人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承的交叉剛度增加明顯高于普通軸承。

3.2 轉子轉速對動態特性的影響

為了研究不同轉速對軸承動態特性的影響，按照表1中的參數，在6 000～120 000 r／min范圍內改變轉子速度，在0.1～0.7范圍內改變軸承偏心率，其他參數保持不變，計算分析后的動態特性曲線如圖9所示。其中：圖9（a）顯示了主阻尼的變化曲線，隨著轉子速度n的增大，在相同的偏心率ε下，主阻尼增大，但隨著速度的增大，偏心率ε對主阻尼的影響變小。圖9（b）顯示了交叉阻尼的變化曲線，隨著速度的增加，在相同的偏心率ε下，交叉阻尼減小，隨著速度的增加，偏心率ε對主阻尼的影響減小。圖9（c）顯示了主剛度的變化曲線，當偏心率ε≤0.5時，隨著速度的增加，主剛度增加，但增加量減小，然而，當偏心比率ε＞0.5時，主剛度的變化趨勢相反，減小量變大。圖9（d）顯示了交叉剛度的變化曲線，轉子速度越小，交叉剛度在相同的偏心率ε越大，隨著轉子速度的增加，偏心率ε對軸承交叉剛度的影響變小。

3.3 軸承長徑比對動態特性的影響

為了研究不同軸承長徑比對軸承動態特性的影響，按照表1中的參數，在0.8～1.6范圍內改變軸承長徑比，在0.1～0.7范圍內改變軸承偏心率，其他參數保持不變，計算分析后的動態特性曲線如圖10所示。其中：圖10（a）顯示了長直徑比L／D對主阻尼的影響，隨著長直徑比L／D的增加，在相同偏心比下主阻尼增加。圖10（b）顯示軸承長徑比L／D對交叉阻尼的影響：當L／D＝1時，軸承的交叉阻尼值基本不變；當L／D＜1時，交叉阻尼隨著偏心度的增加而增加；當L／D＞1時，交叉阻尼的變化趨勢相反。圖10（c）和（d）顯示了軸承長徑比L／D對主剛度和交叉剛度的影響，隨著軸承長徑比L／D的增加，在相同的偏心比下，主剛度和交叉剛度均增加。

3.4 人字槽寬長比對動態特性的影響

為了研究不同人字槽寬長比對軸承動態特性的影響，按照表1中的參數，在0.15～0.3范圍內改變人字槽寬長比，在0.1～0.7范圍內改變軸承偏心率，其他參數保持不變，計算分析后的動態特性曲線如圖11所示。其中，圖11（a）顯示了人字槽的寬長比b／l對主阻尼的影響，在相同的偏心率下，主阻尼隨著人字槽的寬長比b／l的增大而增大。圖11（b）人字槽的寬長比b／l對交叉阻尼的影響，相同的偏心率下，主阻尼隨著人字槽的寬長比b／l的增大而減小，然而，當偏心率 ε＞0.4，人字槽的寬長比b／l＝0.3時的交叉阻尼要大于人字槽的寬長比b／l＝0.25時的交叉阻尼。圖11（c）顯示了人字槽的寬長比b／l比對主剛度的影響，相同的偏心率下，主剛度隨著人字槽的寬長比b／l的增大而減小，當偏心率ε＞0.5時，人字槽的寬長比b／l＝0.3時的主剛度要大于人字槽的寬長比b／l＝0.25時的主剛度。圖11（d）顯示了人字槽的寬長比b／l對交叉剛度的影響，當偏心率ε＜0.5時，相同偏心率下，交叉剛度隨著人字槽的寬長比b／l的增大而增大；當偏心率ε＞0.5時，交叉剛度的變化趨勢是相反的。

3.5 人字槽深度對動態特性的影響

為了研究不同人字槽深度對軸承動態特性的影響，按照表1中的參數，在0.55～1范圍內改變量綱為一化人字槽深度，在0.1～0.7范圍內改變軸承偏心率，轉子速度為120 000 r／min，軸承長徑比為0.8，人字槽的寬長比為0.3，其他參數保持不變，計算分析后的動態特性曲線如圖12所示。其中：圖12（a）顯示了人字槽深度對主阻尼的影響，當偏心率ε＞0.2時，主阻尼幾乎隨人字槽深度的增加而線性增加。圖12（b）和（c）分別顯示了人字深度對交叉阻尼和主剛度的影響，當偏心率ε≤0.4時，交叉阻尼和主剛度均隨人字槽深度的增加而增加；當偏心率ε＞0.4時，交叉阻尼和主剛度的變化趨勢相反。圖12（d）顯示了人字槽深度對交叉剛度的影響，在相同的偏心率下，交叉剛度隨著人字槽深度的增加而增加。

3.6 狹縫寬度對動態特性的影響

為了研究不同狹縫寬度對軸承動態特性的影響，按照表1中的參數，在0.012～0.024范圍內改變量綱為一化狹縫寬度，在0.1～0.7范圍內改變軸承偏心率，轉子速度為120 000 r／min，軸承長徑比為0.8，人字槽的寬長比為0.3，量綱為一化人字槽深度為1，其他參數保持不變，計算分析后的動態特性曲線如圖13所示。其中：圖13（a）顯示了狹縫寬度對主阻尼的影響，在相同的偏心率下，主阻尼隨著狹縫寬度的增大，幾乎呈線性增長；圖13（b）顯示了狹縫寬度對交叉阻尼的影響，在相同的偏心比下，交叉阻尼隨著狹縫寬度的增加而減小；圖13（c）顯示了狹縫寬度對主剛度的影響，在相同偏心率下，主剛度隨著狹縫寬度的增加而增加；圖13（d）顯示狹縫寬度對交叉剛度的影響，在相同的偏心率下，交叉剛度隨著狹縫寬度的增加而增加。

4 軸承結構優化

根據上述計算結果，采用5因素4水平的正交實驗法和灰色理論對軸承進行優化設計。通過優化得到了使軸承主阻尼和主剛度最大時的軸承參數組合以及軸承參數對軸承動態特性的影響順序。

4.1 正交實驗設計

設定轉子速度n，軸承長徑比L／D，量綱為一化人字槽深度 ˉhg，人字槽寬長比b／l，量綱為一化狹縫寬度ˉZ為正交實驗的5個因素，這些參數的4個不同取值表示因素的不同4水平。正交實驗設計表L16（45）和仿真結果分別如表2、3所示。

表2 正交實驗設計表L16（45）

表3 仿真結果

4.2 灰色理論分析

利用灰色理論對正交實驗表中的數據進行了分析和計算。從分析結果可以得到軸承參數對軸承動態特性的影響順序和軸承特性最佳時的軸承參數組合。

根據主阻尼越大，主剛度越大，軸承動態特性越好的原理。表3中的數據由式（23）進行預處理，預處理結果如表4所示。

其中，φ＝0，1，…，n；n為試驗的次數；ξ＝1，2，…，m；m為數據序列參數的個數。

利用式（24）計算比較序列相對于參考序列在第φ點絕對差，計算結果如表5所示

表4 預處理結果

表5 絕對差計算結果

在正交試驗中，假設評價各因素參數水平相同，則權重因子ζ＝0.5，將該因子代入灰色關聯系數和灰色關聯度計算式（25）和式（26），計算結果如表6所示。

表6 灰色關聯系數和灰色關聯度值

如表6所示，序列號16的灰色關系系數最小，換言之，當轉子速度n＝10 000 r／min，軸承直徑比L／D＝0.8，量綱為一化人字槽深度＝0.85，人字槽寬長比b／l＝0.3，量綱為一化狹縫寬度＝0.016時主阻尼和主剛度最大。

根據灰色關系系數和灰色關聯度值的計算結果，計算了不同水平各參數的平均灰色關聯度，計算結果如表7所示。最大值與最小值的差值越大代表該參數對軸承靜承載力和靜剛度的影響越顯著，通過不同參數的灰色關聯度差值比較得到軸承的不同因素對軸承動態特性的影響的大小順序為：軸承長徑比L／D，狹縫寬度Z，軸承轉速n，人字槽寬長比b／l和人字槽深度hg。

表7 各參數因素各水平的平均灰色關聯度

5 結論

1）在相同偏心率ε下，人字槽狹縫節流動靜壓氣體軸承的阻尼要大于普通軸承。軸承長徑比L／D，狹縫寬度Z，軸承轉速n，人字槽寬長比b／l，和人字槽深度hg等軸承參數取適當值時，可以得到軸承的最佳動態特性。

2）當轉子速度n＝10 000 r／min，軸承直徑比L／D＝0.8，量綱為一化人字槽深度＝0.85，人字槽寬長比b／l＝0.3，量綱為一化狹縫寬度＝0.016時，軸承的主阻尼和主剛度最大。軸承參數對軸承動態特性的影響順序是軸承長徑比L／D，狹縫寬度Z，軸承轉速n，人字槽寬長比b／l和人字槽深度hg。