基于灰色關聯改進TOPSIS法的既有建筑抗震加固方案優選

李慧民，熊 雄，董美美，熊 登，周崇剛

（西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055）

隨著建筑業的快速發展，我國的一些既有建筑由于建設年代較早，已經不符合現行抗震設計規范的要求。當建筑物達到或超過設計使用年限時，結構抗震性能呈下降趨勢，不宜繼續服役，因此需對其進行檢測鑒定和加固。對于一些有使用價值但不滿足現行抗震規范要求的既有建筑進行抗震加固處理，延長使用壽命和提升性能意義重大。

目前，國內相關專家學者對既有結構加固方案優選進行了深入的研究，并取得了一定的成果。王宇贊［1］采用模糊綜合評判法結合多屬性目標決策的知識構建了混凝土結構加固方案優選模型；李杰［2］利用層次分析法對加固方案評價指標體系進行了層次劃分，構建判斷矩陣和評價矩陣優選出了最佳方案；靳輝［3］以價值工程為理論基礎，建立了混凝土框架結構加固方案的優選模型；姜禹等［4］將基于賦權關聯度法應用于橋梁加固方案優選相關問題的研究中；李家駿［5］建立了火災后受損混凝土框架加固方案優選模型，以加權廣義馬氏距離改進的TOPSIS法決策出了最佳方案；李義廣［6］提出了組合主客觀權值信息的賦權法，并利用TOPSIS模型對既有磚混結構抗震加固方案進行了優選。

通過文獻對比研究發現，當前關于結構加固方案優選研究存在以下問題：①指標賦權常采用單一化的主觀或客觀賦權法；②決策方法及理論缺乏創新。針對上述問題，本研究在總結現有研究和決策方法的基礎上，采用群決策相對熵集結法和改進熵權法組合方式進行指標賦權，以灰色關聯改進TOPSIS法構建加固方案優選模型，以一種新的相對貼近度形式決策出最佳方案，優選過程客觀合理。

1 指標體系的建立

評價指標體系表現了評價對象各個方面的特性以及各特性間的相互聯系，指標的選擇對評價結果影響很大。在遵循指標體系構建基本原則的基礎上，查閱相關文獻和結合實際工程，在此將結構可靠性、經濟合理性、技術可行性和整體效益性作為既有建筑抗震加固方案評價的4個主要指標，并依據既有建筑抗震加固目的及其結構狀態和受力情況等建立抗震加固方案綜合評價指標體系，如圖1所示。

2 組合賦權灰色關聯改進的TOPSIS模型

2.1 評價指標處理

假設有m個抗震加固備選方案，每個抗震加固備選方案包括n個評價指標，建立決策矩陣X＝（xij）m×n（xij為第i個加固備選方案第j項指標下的初始值，i＝1，2，…，m，i＝1，2，…，n），ωj為指標權重，0≤ωj≤1且

由于方案優選指標體系中各指標的含義、計量單位和量綱不同，為弱化指標間因數量級差異及量綱不同對綜合評價結果造成的影響，需對評價指標進行歸一化處理。

1）效益型指標［7］，即屬性值越大越好的指標，其歸一化值為

2）成本型指標［7］，即屬性值越小越好的指標，其歸一化值為

3）定性指標，采用七級因素等級集E＝｛很差，差，較差，中，較好，好，很好｝，在其論域［0，1］上，對評價集E賦值為E＝｛0.05，0.2，0.35，0.5，0.65，0.8，0.95｝。

由式（1）（2）對定量化指標進行規范化處理及采用七級因素等級集對定性指標進行量化賦值處理可得到規范化決策矩陣Y＝（yij）m×n（yij為第i個備選抗震加固方案第項指標下的規范化數據）。

2.2 確定組合權重

1）群決策相對熵集結法計算指標主觀權重

群決策相對熵集結模型［8］是對多目標進行評判決策的主觀權重賦權法，此法克服了群決策特征根法的不足且操作簡單，具體計算步驟如下：

步驟1：構造群決策矩陣H＝（hij）m×n（hij為第i個專家對第j個指標重要性的評分值，采用五分制，i＝1，2，…，m，j＝1，2，…，n）。

步驟2：求標準化決策矩陣K＝（kij）m×n。

步驟3：求群偏好向量 μ＝（μ1，μ2，…，μn）。

式中：δj＝1／m為專家Sj的決策權重，且專家個體間無差異進行平均賦權，求得的群偏好向量μ＝（μ1，μ2，…，μn）即為各評價指標的主觀權重。

2）改進熵權法計算指標客觀權重

熵權法是指標數據本身確定指標權重的客觀賦值法，傳統的熵權法存在如下的弊端，如rij＝0，rijln（rij）＝0的特殊約定，同時當rij＝0和rij＝1時，rijln（rij）＝0，為減小傳統熵權法的局限和弊端造成的影響，在此以改進熵權法求指標客觀權重，具體過程如下：

步驟1：計算第j個指標的信息熵權［9］

步驟2：計算第j個指標的差異系數

步驟3：計算第j個指標的客觀權重

3）計算組合權重

組合主客觀權重，當二者的權重都取最大值時，計算得到的組合權重才最大。在此將第i個備選方案第j個指標的指標權重wj定義為

2.3 灰色關聯改進TOPSIS法

1）傳統TOPSIS法

由標準化后的決策矩陣Y＝（yij）m×n和組合賦權確定的權重向量構造加權規范化矩陣：

步驟1：構造正理想解R+和負理想解R-。正理想解設為負理想解設為效益型和成本型指標集的正負理想解為

步驟2：計算各備選方案到正負理想解的距離：通常所計算的為歐式距離，與正、負理想解的距離分別為其中：

步驟3：計算貼近度并進行排序：貼近度Ci值越大，備選方案的排名則越靠前，反之亦然。

2）改進TOPSIS法

由上述可知，TOPSIS法作為一種常用的多屬性決策方法，具有計算簡單和結果可靠等優點，但也有缺陷［10］，當2個評價對象位于正負理想解的中垂線上時，對于正理想解的歐式距離可能對于負理想解的歐式距離相等，導致無法判斷評價對象的優劣性，如圖2所示。基于此提出采用灰色關聯理論對傳統TOPSIS法進行改進，構造一種新的相對貼近度形式決策出最佳方案，基本步驟如下：

步驟1：將上述組合賦權求得的評價指標集的權重向量W＝（w1，w2，…，wn）與規范化決策矩陣Y＝（yij）m×n的每一列相乘得到加權規范化矩陣Z。

步驟2：確定正理想解，并將其作為灰色關聯改進TOPSIS法中的參考序列：

其中，Zi（j）為各備選方案的Zij值。

步驟3：計算各備選方案與正理想解Sij的灰色關聯系數［11］

式中，ξ為分辨系數，0≤ξ≤1，通常取 ξ＝0.5。

步驟4：根據求得的灰色關聯系數sij可得灰色關聯系數矩陣S＝（sij）m×n，確定矩陣S＝（sij）m×n的正理想解和負理想解，計算公式為

式中si（j）為各備選加固方案的sij值。

步驟5：與傳統的TOPSIS模型相比，改進的TOPSIS模型主要是對待評價對象與最優解和最劣解的評價值公式進行了改進［12］，分別計算第i個備選抗震加固方案到正理想解和負理想解的歐式距離：

步驟6：計算各備選抗震加固方案的灰色關聯相對貼近度：

根據灰色關聯相對貼近度Di的大小，對其進行排序并進行優選，Di最大者為最佳加固方案。

3 實證分析

為驗證模型的有效性和可行性，在此選用本團隊實際參與的工程項目——某宿舍樓為例［13］。該建筑物建于20世紀90年代，為4層磚混結構，建筑面積約為113 2 m2。樓板和屋面板形式均采用混凝土現澆板，墻體由普通燒結磚和水泥砂漿砌筑而成，東西向長為36.3 m，南北向寬為7.8 m，標準層層高為3.3 m，其結構平面布置如圖3所示。

現場調查與檢測發現墻體存在裂縫，用PKPM軟件構建模型（如圖4所示）進行分析與校核，發現抗震不滿足現行國家規范的相關要求，為保證后續安全居住，需對其進行抗震加固處理。

相關研究中關于既有建筑結構抗震加固的方法有很多，現場通過對該既有磚混結構現狀檢查和受力情況的綜合分析，提出了3種可供選擇的抗震加固方案：A鋼筋網水泥砂漿面層；B鋼筋混凝土面板；C鋼絞線-聚合物砂漿面層。

3.1 評價指標賦值

由圖1可知：既有建筑抗震加固方案優選過程中涉及的評價指標因素較多，且各指標間因含義、計量單位和量綱的不同會對評價結果造成影響，因此需將評價體系中的指標進行簡化處理，在此將評價指標以定性指標進行計算，借助模糊理論按其性質分為若干等級，在定性目標的論域［0，1］上給出評定值。本研究采用上述提及的七級因素等級集對各評價指標進行賦值，從而得到既有磚混結構抗震加固方案中各評價指標的原始值，見表1。

表1 抗震加固方案綜合評價指標原始值

由于定性指標已經是規范化形式，無需再進行歸一化處理，故得到規范化決策矩陣Y。

3.2 計算組合權重

1）計算主觀權重

邀請7個專家，專家個體間無差異，采用五分制對評價指標彼此間的重要性進行綜合評分，得到群組決策矩陣H。

由群決策相對熵集結法公式（3）和（4）求得各評價指標的主觀權重 μ＝（0.113 1，0.088 0，0.088 0，0.084 4，0.073 4，0.098 6，0.081 0，0.084 4，0.062 7，0.043 3，0.098 6，0.084 4）。

2）計算客觀權重

由改進熵權法式（5）～（7）求得客觀權重ν＝（0.012 9，0.043 9，0.043 9，0.099 3，0.016 7，0.063 3，0.018 1，0.260 7，0.179 3，0.040 3，0.043 9，0.177 7）。

3）計算組合權重

由式（8）將主觀權重和客觀權重進行組合，求得組合權重W＝（0.018 0，0.047 8，0.047 8，0.103 8，0.015 1，0.077 3，0.018 1，0.272 3，0.139 2，0.021 6，0.053 5，0.185 6）。

3.3 灰色關聯改進TOPSIS法確定最佳方案

由式（15）求得加權規范化矩陣Z為

由式（17）求得灰色關聯系數矩陣S為

根據式（20）和（21）分別計算備選抗震加固方案A、B和C到正理想解和負理想解的歐式距離

根據式（22）求得備選抗震加固方案A、B和C的灰色關聯相對貼近度DA＝0.519 2，DB＝0.568 4，DC＝0.368 5，由于DB＞DA＞DC，故B＞A＞C。由式（9）～（14）求得傳統TOPSIS法下的各備選加固方案的貼近度CA＝0.732 8，CB＝0.850 4，CC＝0.155 7，故B＞A＞C。對比可知，2種計算方法結果一致，即采用單面鋼筋混凝土板墻加固。以上結果充分說明基于灰色關聯改進TOPSIS法建立的加固方案優選模型是有效的，并且計算結果可信度高。

4 結論

1）既有建筑抗震加固中涉及到的經濟和技術指標頗多，要綜合考慮指標因素間的關聯性，因此有必要對評價指標體系進行修改完善。同時不同結構類型加固時的側重點不同，加固時結合具體工程建立合適的評價指標體系對于準確、合理優選加固方案具有重要意義。

2）采用群決策相對熵集結法和改進熵權法組合的方式進行指標賦權，避免了單一賦權主客觀性對賦權結果造成的不良影響，使評價結果更加科學準確。

3）采用灰色關聯理論對傳統TOPSIS法進行改進，構造一種新的貼近度形式以決策出最佳抗震加固方案，更具理論實踐性和操作性。