概念教學需重視概念的形成過程

王羅成 劉丹萍

【摘要】數學概念的建立貫串整個數學學習的過程，數學是建立在一系列精確概念之上的.重視概念形成過程的教學，有助于學生對概念關鍵屬性的認識，加深學生對概念的理解.教師需要了解概念形成的基本過程，并指導日常的概念教學.本文以“一元二次方程”概念教學為例，談一談教師如何在概念教學中重視概念的形成過程.

【關鍵詞】一元二次方程;概念教學

概念教學應該引起教師足夠的重視，而有的教師在課堂上，常常利用“一個定義加上幾項注意”的方式來闡述數學概念.甚至有的教師認為，對概念的講解本身不必用太長的時間，只需要簡單表述即可，練習做多了，學生自然會對概念有自己的認識.這種對概念的處理方式沒有使學生經歷概念形成的基本過程，導致學生對數學概念中的關鍵屬性認識不清，這對學生相關數學知識體系的構建是非常不利的.

一、概念形成的基本過程

概念形成，即從大量具體例子出發，從學生實際的例證中，以歸納的方法概括出一類事物的本質屬性.概念形成的基本過程可以分為如下環節.

1.分析辨認典型事例的基本特征

蘊含數學概念的典型事例可以是學生自己已有的生活經驗或者是經歷的一些基本事實，也可以是教師在課堂上提供的具有代表性的一些事例，學生需要通過對這些典型事例進行觀察、分析和比較，對這些事物的外部特征進行概括.

2.將典型事例的基本特征進行分化

為了使學生理解典型事例的本質屬性，便于學生歸納出事例的共同屬性，教師需要在教學過程中，引導學生將所列事例的外部特征進行分化、概括.

3.抽象出典型事例的共同屬性

學生對事例的各個屬性進行分析后，容易找出這些事例中的共同屬性，最終將準確的概念從這些共同屬性中提出.

4.確認共同屬性，排除非關鍵屬性

在抽象出大量事例的共同屬性之后，學生需要對這些共同屬性進行確認，排除一些非關鍵的特征.

5.概括形成概念

學生將最后確認的共同屬性抽象出來，并區分有從屬關系的關鍵屬性，用語言將其概括成為新概念.

6.檢驗、修正、推廣概念

形成新的概念之后，學生需要對概念進行辨析，辨析的過程一方面是為了進一步檢驗和修正概念，另一方面也是對形成的新概念進行推廣應用.辨析的過程可以檢驗學生對概念的關鍵屬性是否理解.

7.形成習慣的符號語言

符號語言在數學學習的過程中顯得尤為重要，將概念用習慣的符號語言表示，可為學生以后應用概念奠定基礎.

二、教學設計

1.找出一元二次方程一般形式所具有的特征

觀察下列一元二次方程，他們都有什么共同點？

（1）3x2=0

（2）2x2-3x=3

（3）-12x2-2=0

（4）2x2+2x-3=0

設計說明：教師列舉一元二次方程的幾種形式，希望學生通過觀察發現一元二次方程所具有的特殊屬性，即一元二次方程所具有的相同特點，借此總結歸納出一元二次方程的一般形式.

在講授過程中，教師要注意引導學生思考二次項系數、一次項系數、常數項能否為0.

2.總結歸納一元二次方程的一般形式

一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

這種形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項，a是二次項系數;bx是一次項，b是一次項系數;c是常數項.

3.概念辨析

下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由，并將一元二次方程化為一般形式.

（1）3x+2=5x-3

（2）x2=4

（3）x-2x+1-1=x2

（4）x2-4=（x+2）2

判斷一個方程是否是一元二次方程，要把握以下三點：①方程是整式方程;②只含有一個未知數;③可化為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.

三、對教學片段的分析

上述關于一元二次方程一般形式的教學片段的設計，顯然沒有遵循概念形成的一般過程，對一元二次方程一般形式的概念分析得不徹底，忽視了概念的形成過程，導致學生在理解概念的時候，只能停留在表面，也就是對概念形成機械記憶，沒有能夠理解概念的關鍵點在什么地方，學生對這個概念的理解是混亂的.

在上述教學設計最開始，教師給出四個一元二次方程，希望學生通過對這幾個例子的分析得出一元二次方程所具有的一般屬性.教師所列舉的四個例子，作為一元二次方程，都有其各自的特殊性，但是正是這一點，容易使學生的理解產生困難，呈現這些例子的目的是使學生歸納出一元二次方程的一般形式，這里出現一次項系數、常數項系數為0或者其他的情況都是不利于學生進行歸納和總結的，這里的“典例”將不再是“典例”.這些特殊性在一元二次方程概念形成的最初階段，會對學生分析歸納一元二次方程的一般屬性造成影響.在概念形成的初期，教師所列出的例子需要是正例，例子蘊含的共同屬性要明確，這樣才有利于學生歸納概括一元二次方程的一般屬性.

通過上述的教學設計，學生不能夠很好地完成對一元二次方程屬性的檢驗，也就沒有辦法真正地明確這個概念中的關鍵屬性是什么，哪些屬性又是非關鍵的.具體體現：為什么b、c可以為0，而a卻不可以為0？教師若按照上述教學設計中例子呈現的話，很顯然是將概念教學的幾個關鍵步驟雜糅在一起，希望學生通過一個步驟就完成對概念屬性的辨認，確認關鍵屬性，形成概念，并完成概念的推廣.這顯然是不合理的，也不能夠達到很好的效果.我們知道，概念教學的最后還需要有一個概念內化的過程，就是將新概念與學生已有的知識結構進行聯系和整合，確保所學新概念能夠融入學生原有的知識體系中，這樣才能夠使學生真正理解概念和深化概念.上述過程顯然沒有能夠體現這一點.教師在概念教學的具體操作中，還應該注意以下幾個方面：第一，在呈現典型例子的時候最好能夠一起呈現，這樣可以方便學生觀察、對比;第二，概念形成的過程中，學生自主交流討論能夠使他們明確概念的關鍵屬性，對一些無關的因素進行篩選和甄別，有利于學生更加準確、迅速地掌握概念;第三，概念形成后的內化固然重要，但是將新概念與已有的類似概念進行分化和辨別也是非常重要的.

四、修正

1.辨別各種典型事例

教學環節：觀察下列方程，他們都有什么共同點？

（1）2x2-3x-3=0

（2）-2x2+x-4=0

（3）-12x2+5x-2=0

（4）2x2+2x-3=0

設計說明：教師呈現最為普通的四個一元二次方程，使學生明確找出其中的共同點.這里呈現的一元二次方程的常數項、一次項系數、二次項系數均不為0.這樣的呈現方式是為了方便學生分析辨認典型事例的基本特征.學生通過觀察，容易發現一元二次方程的一般形式中，等號左側包含三項（依次為二次項、一次項、常數項）.這樣的觀察基礎為學生后續找到一元二次方程的典型特征提供了可能.

2.分化出各種典型事例的屬性

教學環節：組織學生討論上述一元二次方程的共同點.

設計說明：這個環節中，教師引導學生發現上述方程具有的共同特征，組織學生進行討論，鼓勵學生嘗試用語言表述發現的共同特征，并試著進行概念的表達.

3.抽象出各個典型事例的共同屬性，并提出關鍵屬性的種種假設

教學環節：我們知道，一元一次方程的一般形式為ax+b=0（a≠0），你能試著總結一下一元二次方程的一般形式嗎？

設計說明：在這個環節中，教師可以先讓學生自主地歸納出一元二次方程的一般形式，在前面幾個環節的鋪墊下，部分學生在這個環節中可順利完成概念的形成與建構過程.在教學過程中，學生如果遇到一些困難，可以通過類比學習法解決，類比一元一次方程的一般形式ax+b=0（a≠0），再嘗試理解一元二次方程的一般形式.值得一提的是，在這個環節中，學生是否能認識到a≠0這個關鍵屬性并不要求，在概念形成的下一個環節，學生在對屬性進行辨析確認的時候，再來討論a≠0這個屬性.

4.在特定的情境中檢驗假設，確認關鍵屬性

在檢驗過程中，采用變式是一種有效手段.

教學環節：試著思考，下列方程符合一元二次方程的一般形式嗎？為什么？

（1）-12x2-2=0

（2）2x2-3x=3

（3）x2=4

（4）-3x-3=0

設計說明：教師通過這樣四個式子的討論，明確二次項系數不能為0，一次項系數、常數項系數可以為0，以及等號右邊為0這幾個關鍵屬性，為學生總結和理解一元二次方程的一般形式做好準備.這里運用了變式的教學方法，其中（1）（3）可以利用等式的基本性質進行轉換變形，（2）和（4）的區別為（4）的二次項系數為0，這暗示了二次項系數為0的情況下，一元二次方程就會變成一元一次方程.

（1）說明了一次項系數可以為0，（2）（4）對照說明了二次項系數不能為0.

5.概括形成概念

教學環節：一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整理，都能轉化成如下形式：

ax2+bx+c=0（a≠0）

這種形式是一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次項，a是二次項的系數;bx是一次項，b是一次項系數;c是常數項.

設計說明：通過前面各個階段的探究，這里形成一元二次方程的概念是自然而然的，學生經歷了整個概念的建構過程.

6.把新概念的共同關鍵屬性推廣到同類事物中去

教學環節：下列方程中哪些是一元二次方程？試說明理由，并將一元二次方程化為一般形式.

（1）3x+2=5x-3

（2）x2=4

（3）x-2x+1-1=x2

（4）x2-4=x+22

設計說明：新概念建構完成后，教師需要引導學生將其推廣到同類事物中去，用概念中的關鍵屬性來檢驗同類事物，辨別其是否符合概念，對概念中的關鍵屬性再次進行強化.

7.將所學知識同化到已有知識體系中

教學環節：當m= 時，方程（m-1）x2-（2m-1）x+m=0是關于x的一元一次方程，當m=時，上述方程是關于x的一元二次方程.

設計說明：教師通過這個題目的討論，使學生認識到a≠0的重要性，同時將所學新知識與原有知識聯系起來.在這個環節中，教師還可以進行適當的拓展延伸，告訴學生目前學習了一元一次方程、一元二次方程，后續還會研究更多類型的方程.

五、反思

1.數學概念的學習是建構式的

數學學科的知識是成體系的，數學知識體系是前人經過長時間的探索研究才形成的.因此，學生的數學學習是一個占有傳授者所提供的經驗，掌握前人所創造的經驗，把別人的經驗轉化為自己的經驗，使其內化成為自己的知識經驗，成為自己解決實際問題的工具的一個過程.數學概念是數學體系的起點，很多時候，學生對數學概念的學習是接受式的.在經驗的傳遞，概念的形成過程中，教師應設計教學活動，讓學生通過教學活動感知經驗與概念.也就是說，經驗的傳遞和接受，并不能像物品的傳遞與接受那樣，從一個人的手中直接傳遞到另一個人的手中.概念的建立也不能像建樓房一樣，一磚一瓦模式化地堆砌.教師要給自己的經驗和熟知的概念賦予一定的客觀形式，即必須借助聲音和文字進行編碼，使其成為經驗和概念的載體，學生在接受編碼信息后，經過自己的譯碼，在自己的知識體系中形成相應的經驗與概念，從這個角度來看，數學概念的學習是建構式的.

因此，概念的教學要重視概念的形成過程，教師需要帶領學生經歷概念形成的每一個環節，重視學生在這個過程中對概念的體會與抽象.這樣形成的概念才是學生自主建構起來的.

2.重視概念形成的過程，培養學科素養

學科素養的培養必須落實到日常教學之中.概念形成的過程，正是培養學生學科素養的良好時機.具體說來，數學概念教學往往是教師從大量具體例子出發，引導學生對具體例子進行分析、辨別.學生通過觀察、分析、比較，概括出這些事例的外部特征.這一過程，正是數學抽象的過程.形成準確的數學概念，需要學生進一步抽象，從外部特征中提取出概念的核心屬性，這對學生數學抽象的素養提出了更高的要求.我們從概念形成的整個過程中可以看到，概念的形成就是在不斷抽象中完成的.重視概念形成過程的教學，可以很好地培養學生的數學抽象的核心素養.

另外，從大量的實際例子中抽象得到最后的概念，除了需要學生不斷抽象外，還需要學生有一定的數學推理能力.概念形成初期，面對大量實際例子，學生可以通過觀察、分析、猜測得到這個概念的一些典型的或者非典型的，甚至錯誤的屬性，學生從這些屬性中進一步推理分析，剔除錯誤的、非關鍵的屬性，最后得到準確的概念.整個過程是在不斷猜想、分析、推理中完成的.重視概念形成過程的教學，可以很好地培養學生邏輯推理的核心素養.

3.重視概念形成的過程，提升學生學習數學的品質

數學是建立在概念之上的，教師在教學中需要重視概念的形成過程，這對提升學生數學學習品質有重要意義.現在部分學生認為，數學的學習就是刷題，概念的學習，包括定理、公式的學習都是為刷題做準備，數學學習能力就是解題能力.這種觀點是不正確的.重視概念形成過程的教學，可以引導學生關注數學學習的本質，使學生重視數學知識的形成、發展、延伸的過程，加深學生對數學本質的理解，進而提升學生數學學習的品質.

六、結束語

總之，數學的知識體系是建立在概念之上的.數學之所以如此的嚴謹，就是因為支撐數學大廈的眾多概念是嚴謹、明確的.因此，學生要想具有良好的數學思維，就必須在概念的學習上做足功夫，明確概念的內涵和外延.對教師來說，數學的概念教學是非常重要的.在教學實際中，教師往往由于對學生認知結構不了解，在概念教學中不能夠遵循概念的形成和發展的過程，不能夠使新概念融入學生原有的知識體系之中.教師在進行概念教學的時候需要遵循概念教學的一般過程，踏踏實實地將概念的內涵和外延傳授給學生.

【參考文獻】

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