基于LMI算法的永磁同步電機(jī)混沌控制

李洋洋，張 懿，戴 磊，魏海峰，李垣江

(1. 江蘇科技大學(xué) 電子信息學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003；2. 江蘇舾普泰克自動(dòng)化科技有限公司，鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

永磁同步電動(dòng)機(jī)作為一種典型的非線性系統(tǒng)，憑借其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、工作效率高、動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，成為了非線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為研究的焦點(diǎn)對(duì)象。但在永磁同步電機(jī)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中不規(guī)則行為的存在是不可避免的，這種不規(guī)則運(yùn)動(dòng)在過去一度被研究者認(rèn)為是隨機(jī)的外界干擾、又或是系統(tǒng)故障[1-3]所造成的， 這種局限性的認(rèn)識(shí)在很長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)束縛著研究者解決“不規(guī)則運(yùn)動(dòng)”問題的思路。以至于使得電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)的高性能發(fā)展受阻，體現(xiàn)為永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩的間歇性振蕩，控制性能不穩(wěn)定和不規(guī)則的電磁噪聲等不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，即是永磁同步電機(jī)運(yùn)行系統(tǒng)中所存在的混沌行為[4-5]。永磁同步電機(jī)系統(tǒng)的混沌行為不僅影響系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性、安全性，甚至?xí)：ζ湄?fù)載系統(tǒng)[6]。這種典型的非線性行為不能依靠傳統(tǒng)的線性控制方法來抑制或消除，因此對(duì)永磁同步電機(jī)混沌行為及其控制的研究具有非常重要的理論和實(shí)際價(jià)值。

為了抑制永磁同步電機(jī)系統(tǒng)中的混沌行為，國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)中已有許多分析和控制的方法。文獻(xiàn)[7-10]提出了電機(jī)的無量綱數(shù)學(xué)模型，引入Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù),分析了磁感應(yīng)電機(jī)運(yùn)行系統(tǒng)的Hopf分岔?xiàng)l件，為研究混沌行為的學(xué)者提供了電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)強(qiáng)有力的分析手段。文獻(xiàn)[11-12]在此基礎(chǔ)上基于d，q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系研究了永磁同步電機(jī)的物理模型，并建立了其混沌模型，通過分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)的變化會(huì)對(duì)永磁同步電機(jī)運(yùn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性造成很大的影響。文獻(xiàn)[13]打破常規(guī)，自主地引進(jìn)新的參數(shù),搭建了永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型，并在該模型的基礎(chǔ)上研究了運(yùn)行系統(tǒng)產(chǎn)生分岔、進(jìn)入混沌的條件。文獻(xiàn)[14-16]基于非線性閉環(huán)控制理論提出了一種誤差反饋混沌控制算法，設(shè)計(jì)誤差反饋學(xué)習(xí)算法并利用梯度下降原理對(duì)系統(tǒng)神經(jīng)元進(jìn)行學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)預(yù)估系統(tǒng)干擾，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行誤差補(bǔ)償，在一定程度上解決了系統(tǒng)跟蹤性能差的問題。針對(duì)參數(shù)不確定的永磁同步電機(jī)混沌系統(tǒng)，文獻(xiàn)[17-19]基于自適應(yīng)控制理論提出了一種參數(shù)不確定電機(jī)系統(tǒng)的混沌控制策略,設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制算法用于對(duì)不確定的系統(tǒng)參數(shù)在線修正，文獻(xiàn)通過仿真結(jié)果并利用Lyapunov穩(wěn)定性定理,證明了控制策略的有效性。文獻(xiàn)[20-21]研究了線性矩陣不等式(以下簡(jiǎn)稱LMI算法)在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用，為了解決電機(jī)運(yùn)行系統(tǒng)快速性和魯棒性之間的矛盾問題，引入了LMI算法將系統(tǒng)混沌控制問題轉(zhuǎn)換成了目標(biāo)最優(yōu)求解的問題。

本文基于LMI算法在分析永磁同步電機(jī)運(yùn)行系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的基礎(chǔ)上，通過構(gòu)造帶有補(bǔ)償項(xiàng)的滑模函數(shù)，設(shè)計(jì)了一種簡(jiǎn)捷、快速的動(dòng)態(tài)滑模補(bǔ)償控制算法，實(shí)現(xiàn)對(duì)永磁同步電機(jī)混沌運(yùn)動(dòng)行為的有效抑制或消除。

1 混沌狀態(tài)下永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

將直角坐標(biāo)系下用來描述永磁同步電機(jī)模型的電壓平衡方程和轉(zhuǎn)矩平衡方程聯(lián)合，并經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，得到d,q旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下永磁同步電機(jī)的微分方程數(shù)學(xué)模型如下：

(1)

以上模型中的變量及電機(jī)固有的系統(tǒng)參數(shù)說明如表1所示。

表1 永磁同步電機(jī)參數(shù)

對(duì)式(1)進(jìn)行仿射變換和時(shí)標(biāo)變換，即：

上述的仿射變換和時(shí)標(biāo)變換均是線性變換，變換后的永磁同步電機(jī)的方程仍是一個(gè)多變量的非線性微分方程。

本文討論均勻氣隙的永磁同步電機(jī)，即Ld=Lq。綜合上述條件，式(1)可用微分方程組表示：

(2)

2 永磁同步電機(jī)的混沌現(xiàn)象分析

為了簡(jiǎn)化分析，對(duì)上文中得出的永磁同步電機(jī)微分方程進(jìn)行變化，令：

式(2)可寫為：

(3)

由式(3)可見，永磁同步電機(jī)是一種典型的強(qiáng)耦合非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。在實(shí)際的工程環(huán)境下，這種多參數(shù)的非線性系統(tǒng)參數(shù)及狀態(tài)會(huì)因?yàn)槭艿酵饨绺蓴_等因素的影響而容易發(fā)生變化，參數(shù)變化至一定的范圍內(nèi)，會(huì)使得電機(jī)運(yùn)行系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)行為。本文主要針對(duì)永磁同步電機(jī)在氣隙均勻的環(huán)境中工作，研究運(yùn)行系統(tǒng)在突然斷電瞬間的動(dòng)力學(xué)特性。斷電是指忽略外部影響，永磁同步電機(jī)在空載狀態(tài)下運(yùn)行一段時(shí)間后突然斷電，此時(shí)就可認(rèn)為電機(jī)的各項(xiàng)外部輸入均為零。斷電的瞬間會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的相應(yīng)變化，進(jìn)而使得系統(tǒng)產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)，這種混沌運(yùn)動(dòng)會(huì)造成突發(fā)性的病態(tài)機(jī)電振蕩現(xiàn)象，由此會(huì)對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)子造成極大的破壞，縮短電機(jī)的使用壽命。

選定系統(tǒng)初值iq(0)=1，ω(0)=0，id(0)=0。令系統(tǒng)參數(shù)γ=19.5，b=1，利用MATLAB仿真軟件研究系統(tǒng)隨參數(shù)σ變化而發(fā)生的狀態(tài)以及相的變化，仿真發(fā)現(xiàn)，隨著σ由小變大，系統(tǒng)會(huì)從穩(wěn)定狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài)。為了證明此情況，電機(jī)在突然斷電的情況下，即ud=uq=T=0，特取σ=2.6，σ=3.1和σ=6.56進(jìn)行分析。

系統(tǒng)參數(shù)σ=2.6時(shí)，圖1的系統(tǒng)時(shí)域波形圖表示，系統(tǒng)的狀態(tài)ω，id，iq分別從初始的小幅振蕩到很短的時(shí)間內(nèi)就能夠漸趨平穩(wěn)。圖2的系統(tǒng)相圖則表明了系統(tǒng)始終圍繞一個(gè)焦點(diǎn)做規(guī)則的周期運(yùn)動(dòng)，并且最終穩(wěn)定于此焦點(diǎn)。因此，永磁同步電機(jī)運(yùn)行系統(tǒng)在參數(shù)σ=2.6時(shí)是穩(wěn)定工作的。

圖1 σ=2.6的系統(tǒng)時(shí)域圖

圖2 σ=2.6的系統(tǒng)相圖

系統(tǒng)參數(shù)σ=3.1時(shí)，圖3的時(shí)域波形圖表示，系統(tǒng)的狀態(tài)ω，id，iq在長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)無規(guī)則且不衰減的振蕩。圖4的系統(tǒng)相圖表明，系統(tǒng)出現(xiàn)兩個(gè)不穩(wěn)定的正負(fù)焦點(diǎn)，相軌跡時(shí)而圍繞正焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，時(shí)而圍繞負(fù)焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，表現(xiàn)為整體穩(wěn)定而局部不穩(wěn)定，即系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)行為。

圖3 σ=3.1的系統(tǒng)狀態(tài)圖

圖4 σ=3.1的系統(tǒng)相圖

系統(tǒng)參數(shù)σ=6.56時(shí)，圖5的時(shí)域響應(yīng)圖及圖6的系統(tǒng)相圖表明系統(tǒng)已完全進(jìn)入混沌狀態(tài)。

綜上得出，永磁同步電機(jī)的系統(tǒng)參數(shù)σ=2.6時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)σ開始增大，取σ=3.1時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)開始產(chǎn)生混沌；當(dāng)參數(shù)σ繼續(xù)增大，σ=6.56時(shí)，系統(tǒng)已經(jīng)完全處于混沌狀態(tài)，系統(tǒng)的相圖呈現(xiàn)出一片紊亂。由上述對(duì)永磁同步電機(jī)動(dòng)力學(xué)特性的分析可知，參數(shù)σ取較小值時(shí)有利于電機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行，可以延長(zhǎng)永磁同步電機(jī)的使用壽命。

為了提高運(yùn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定性，抑制永磁同步電機(jī)的混沌運(yùn)動(dòng)行為，本文基于LMI算法提出一種動(dòng)態(tài)補(bǔ)償滑模控制策略。

圖5 σ = 6.56的系統(tǒng)狀態(tài)圖

圖6 σ=6.56的系統(tǒng)相圖

3 基于LMI的動(dòng)態(tài)補(bǔ)償滑模控制器設(shè)計(jì)

對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)式(3)進(jìn)行改寫，得到式(4)：

(4)

已知γ=19.5，令T=0，σ=6.56，并將式(4)改成如下狀態(tài)空間模型形式：

(5)

u=[u1,u2]為控制輸入，A是系統(tǒng)的線性矩陣，B是系統(tǒng)的控制矩陣，f(x)表示系統(tǒng)的非線性。

3.1 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償滑模控制

設(shè)計(jì)滑模函數(shù)：

s=Cx+z

(6)

為了調(diào)節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)，補(bǔ)償算法設(shè)置：

(7)

式(6)和式(7)中的C和K都為待求矩陣，需要通過LMI算法求解。

控制律設(shè)計(jì)：

u=-CAx-Cf(x)-Kx+z-ηs

(8)

取Lyapunov函數(shù)，化簡(jiǎn)得：

sT[CAx+Cf(x)+u+Kx-z]=

sT(-ηs)=-η‖s‖<0

式中:CB=I，η>0。由上面Lyapunov函數(shù)可知，滿足了滑模到達(dá)條件。

化簡(jiǎn)狀態(tài)空間表達(dá)式(5):

式中:BCf(x)=f(x)模函數(shù)滿足到達(dá)條件,可知存在t>t0時(shí)，滑模函數(shù)s=0，即z=-Cx。

[A-B(K+C+CA)]x

V(x)=xTx

xT(MT+M)x

由上面的解可知，此線性矩陣不等式系統(tǒng)是可行的，進(jìn)而滑模函數(shù)可以寫成：

(9)

以下，將通過仿真來驗(yàn)證此滑模控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.2 系統(tǒng)仿真圖

為了驗(yàn)證動(dòng)態(tài)滑模補(bǔ)償算法的有效性，對(duì)加入控制器后的永磁同步電機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，系統(tǒng)初始狀態(tài)iq(0)=1，ω(0)=0，id(0)=0；σ=6.56，γ=19.5，此時(shí)系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。在t=20時(shí)，加入滑模補(bǔ)償控制器，仿真圖如圖7～圖10所示。

圖7到圖9表明，系統(tǒng)在t=20時(shí)加入動(dòng)態(tài)滑模補(bǔ)償控制后，狀態(tài)id,iq,ω的時(shí)間響應(yīng)均脫離紊亂的混沌態(tài),而迅速穩(wěn)定于零平衡點(diǎn)處；圖10為加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償?shù)南鄨D，則表明系統(tǒng)軌跡不再是圍繞兩個(gè)焦點(diǎn)無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，而是最終收斂于一個(gè)點(diǎn)上。對(duì)比圖5和圖6，并通過仿真說明了本文設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)滑模補(bǔ)償混沌控制算法的有效性。

圖7 加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償之后id-t響應(yīng)圖

圖8 加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償之后iq-t響應(yīng)圖

圖9 加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償之后ω-t響應(yīng)圖

圖10 加入動(dòng)態(tài)補(bǔ)償之后的系統(tǒng)相圖

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過系列線性變化將永磁同步電機(jī)復(fù)雜的物理模型轉(zhuǎn)換為一個(gè)三階微分方程表示的無量綱化數(shù)學(xué)模型，一定程度上減少了系統(tǒng)的參數(shù)，方便了對(duì)系統(tǒng)性能的分析。

應(yīng)用定參數(shù)分析法，通過改變永磁同步電機(jī)的系統(tǒng)參數(shù)σ，對(duì)永磁同步電機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行分析，MATLAB仿真驗(yàn)證了均勻氣隙下永磁同步電機(jī)在特定的參數(shù)范圍內(nèi)會(huì)產(chǎn)生不規(guī)則電流和轉(zhuǎn)速振蕩，進(jìn)入混沌狀態(tài)。

為對(duì)混沌運(yùn)行狀態(tài)下的永磁同步電機(jī)進(jìn)行控制，抑制混沌現(xiàn)象，本文設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)補(bǔ)償滑模控制器，驗(yàn)證了其Lyapunov穩(wěn)定性，通過LMI算法求解出滿足x→0的最優(yōu)解，仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了此方法具有較好的魯棒性和快速的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。