一種磁軸承開關功放的半周期控制方法

2021-01-25 03:23:22仇志堅

微特電機 2021年1期

吳凡，仇志堅

(上海大學機電工程與自動化學院，上海 200444)

0 引言

在磁懸浮軸承控制系統中，全橋結構開關功放在實際運用中對電流有良好的跟蹤效果[1-4]。目前，磁軸承開關功放的控制策略主要有最大電流誤差控制、節點電位控制法和單周期控制等[5-8]。最大電流誤差控制在模擬控制中實現簡單、控制精度高,但在數字控制中效果不好；節點電位控制包含PID控制算法，對磁軸承參數敏感；數字單周期控制是利用開關變換器的脈沖調制和非線性特性，實現對實時電壓和電流的瞬時控制,具有控制精度高和響應速度快等優點，可以提高磁懸浮軸承控制系統性能[9-12]。

文獻[13]分別在單、雙極性單周期控制中，僅考慮電感特性推導了單周期控制數學模型，通過仿真實驗驗證了其合理性，并運用于五相六橋臂開關功放電路中控制五自由度的磁軸承電機，獲得良好的控制效果。文獻[14]考慮了磁軸承線圈電阻特性，對原有的單周期控制數學模型算法進行優化，并在電流均值和終值跟蹤方法下對單、雙極性單周期控制進行比較，仿真驗證了其合理性。文獻[15]根據單周期控制原理，分析其系統存在延時的因素及其對系統穩定性造成的影響，提出了通過傳遞函數和傅里葉分解法添加延時補償項，設計出兩種延時補償模型，仿真和實驗分析驗證其可行性。

上述文獻的數字單周期控制算法中，是在每個周期初始時刻采樣電流，并與參考電流比較來計算占空比，并用于當前整個周期內的PWM信號產生。但是該周期內由于前半周期的控制使得實際電流變化，后半周期延用前半周期的占空比將無法獲得精確的控制電流。本文通過采用半周期控制思想，在一個周期中點處再次采樣實際電流并計算占空比及判斷工作模態，以此減小電流誤差來提高電流控制精度。此外，針對傳統單周期控制方法中采用極限簡化占空比計算的不足，提出了一種基于泰勒級數展開的占空比計算方法。最后與傳統單周期控制進行了MATLAB仿真對比，磁軸承系統仿真結果驗證了半周期控制策略的可行性和優越性。

1 磁軸承電流型全橋開關功放半周期控制算法

1.1 半周期控制原理

以圖1中雙極性單周期均值法控制Δi<0為例，在一個周期內電流下降的幅值偏大，經過一個周期開關管的工作狀態后可能與給定參考電流iref(iavg)偏差過多影響電流控制精度。半周期控制在三角波的中點再次采樣實際電流，并根據其與參考電流之間的誤差大小來推算后半周期的占空比。如圖1所示，中點處的電流誤差Δi2要比初始時刻電流誤差Δi1小，使得后半周期的占空比比前半周期的要小。由圖1電流波形發現，在半周期控制方法下，可有效減小一個周期內實際電流與參考電流之間的誤差，以此提高磁軸承系統對軸承線圈電流的控制精度。

圖1 單周期與半周期控制原理圖

1.2 雙極性調制下的半周期控制算法

單相全橋拓撲如圖2所示。開關管S1，S3為上橋臂，S2，S4為下橋臂，雙極性調制中S1，S4和S2，S3互補導通。圖3為雙極性控制算法下的控制波形圖。分Δi≥0和Δi<0兩種情況，每種情況都以半個周期分2個階段進行分析，一個周期共4個階段。圖3考慮了前后半周期參考電流iref的變化。

圖2 單相全橋開關功放拓撲

圖3 雙極性半周期控制波形圖

1) 推導前半周期的占空比數學模型

在t0～t1時刻，S1，S4導通，S2，S3斷開，電流上升；在t1～t2時刻，S2，S3導通，S1，S4斷開，電流下降；根據電路狀態方程求得電流在t1和t2時刻的電流值i1和i2：

(1)

(2)

式中：Udc為全橋功放的直流母線電壓；L和R分別為磁軸承線圈的電感和電阻；D為S1，S4開關管的占空比；TS為載波周期。

前半周期電流變化量Δi：

(3)

(4)

令：

若將每半個周期內電流平均值作為被控量使其跟上給定值，即iavg=iref，而給定值設定為每個采樣周期的初始值，那么每半個開關周期內的被控量可用給定值表示：

(5)

將式(4)和式(5)結合得到占空比D的表達式形如二次方程的根：

(6)

若將每半個周期內電流的終值作為目標，要求其跟上給定值，即i2=iref;同理,可以解得前半周期占空比D的表達式：

(7)

2) 推導后半周期的占空比數學模型

在t2～t3時刻，S1,S4導通，S2,S3斷開，電流上升；t3～t4時刻，S2、S3導通，S1、S4斷開，電流下降;根據電路狀態方程求得t3和t4時刻的電流值：

(8)

(9)

可得半個周期內Δi的表達式：

(10)

按均值法求得占空比D的表達式：

(11)

按終值法求得占空比D的表達式：

(12)

1.3 單極性調制下的半周期控制算法

在單極性調制下，S3,S4互補且處于恒通或恒斷狀態，S1,S2互補且處于PWM狀態。當Δi≥0時，S3關斷，S4導通；當Δi<0時，S4關斷，S3導通；圖4為單極性控制波形圖。第一個周期為Δi≥0的情況，第二個周期為Δi<0的情況。圖4考慮了前后半周期參考電流iref的變化。

圖4 單極性半周期控制波形

(1) Δi≥0

此情況下，S3恒斷S4恒通，磁軸承線圈只有正向導通和正向續流兩種狀態。

1) 推導前半周期的占空比數學模型

在t0～t1時刻，S1，S4導通，S2，S3斷開，電流上升；t1～t2時刻，S2，S4導通，S1，S3斷開，電流為正向續流狀態；根據電路狀態方程求得t1和t2時刻的電流值：

(13)

i2=i1e-R(1-D)TS/(2L)

(14)

可得半個周期內Δi的表達式：

(15)

按均值法求得占空比D的表達式：

(16)

按終值法求得占空比D的表達式：

(17)

2) 推導后半周期的占空比數學模型

在t2～t3時刻，電流為續流狀態；t3～t4時刻，電流上升；根據電路狀態方程求得t3和t4時刻的電流值：

i3=i2e-R(1-D)TS/(2L)

(18)

(19)

可得半個周期內Δi的表達式：

(20)

按均值法求得占空比D的表達式：

(21)

按終值法求得占空比D的表達式：

(22)

(2) Δi<0

此情況下，S3恒通S4恒斷，磁軸承線圈只有反向導通和反向續流兩種狀態。

1) 推導前半周期的占空比數學模型

在t0～t1時刻，電流為續流狀態；t1～t2時刻，電流為反向導通狀態；根據電路狀態方程求的電感電流在t1和t2時刻的電流值：

i1=i0e-RDTS/(2L)

(23)

(24)

可得半個周期內Δi的表達式：

(25)

按均值法求得占空比D的表達式：

(26)

按終值法求得占空比D的表達式：

(27)

2) 推導后半周期的占空比數學模型

在t2～t3時刻，電流為下降狀態；t3～t4期間，電流為續流狀態;根據電路狀態方程求得t3和t4時刻的電流值：

(28)

i4=i3e-RDTS/(2L)

(29)

可得半個周期內Δi的表達式：

(30)

按均值法求得占空比D的表達式：

(31)

按終值法求得占空比D的表達式：

(32)

2 仿真驗證

本文在四自由度磁軸承系統上驗證半周期控制方法的性能，圖5為四自由度磁軸承開關功放半周期控制系統圖，由控制器、開關功放和傳感器組成。磁軸承轉子的動力學方程組如下：

圖5 四自由度磁軸承開關功放半周期控制框圖

(33)

式中：xc，yc為轉子質心點位置；α，β分別為質心點繞x軸和y軸的轉角；磁軸承A、B處轉子沿x和y方向的電磁力分別為Fxa,Fxb,Fya,Fyb；對應線圈中的控制電流分別為ixa,ixb,iya,iyb。

將磁軸承系統半周期與單周期控制方法進行對比，MATLAB仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數

2.1 半周期電流性能仿真分析

因為電流的跟蹤效果直接影響磁軸承起浮和穩態懸浮的性能，所以本文首先進行了電流的階躍信號和正弦信號的仿真分析。

圖6為給定階躍響應信號幅值為3 A的仿真結果，i0為實際電流，iref為參考電流，圖6(a)～圖6(d)分別為雙極性半周期均值、終值控制和單極性半周期均值、終值控制的仿真結果。從圖6中可以看出，4種方法都可以實現電流的穩態輸出，但雙極性控制方法電流紋波大，實際電流與參考電流的誤差也大。

(a) 雙極性半周期均值法

(b) 雙極性半周期終值法

(d) 單極性半周期終值法

圖7為正弦信號仿真結果，參考信號頻率為50 Hz，幅值為3 A，圖7(a)～圖7(d)分別為雙極性半周期均值、終值和單極性半周期均值、終值控制的仿真結果。4種方法都能實現電流的快速跟蹤，雙極性的電流紋波要比單極性大；無論是單極性還是雙極性，終值法存在一定的滯后；可見,單極性終值法性能最好。

(a) 雙極性半周期均值法

(b) 雙極性半周期終值法

(d) 單極性半周期終值法

2.2 半周期和單周期控制仿真比較

與傳統單周期算法對比了階躍信號下上升時間、電流紋波、穩態電流誤差，以及正弦信號下的THD，結果如表2所示。

表2 半周期和單周期控制仿真比較結果

采用半周期控制能有效提高電流動態響應速度、減小電流穩態誤差和諧波含量。雙極性半周期均值法可降低14%的上升時間、39%的電流紋波和3.54%的THD，終值法可降低2.3%的上升時間、35%的電流紋波和2.38%的THD；單極性半周期均值法可降低12.7%的上升時間、57%的電流紋波和3.38%的THD，終值法可降低5.4%的上升時間、45%的電流紋波和2.27%的THD。

綜上分析可見，半周期單極性終值法的效果最好。