基于混沌理論的無源互調功率預測研究

白春江 崔萬照 李 軍

(中國空間技術研究院西安分院空間微波技術重點實驗室 西安 710100)

1 引言

無源互調[1-3](Passive InterModulation, PIM)是指在大功率條件下，當輸入兩個或者兩個以上載波時，由于微波部件的非線性導致載波信號相互調制，產生新的載波頻率落入接收通帶內造成干擾的現象。正是由于微波部件的非線性，通過微波部件的載波頻率出現了多種不同的組合頻率，即不同階數的互調。由于無源互調的功率隨階數的增加而減小，因此較低階互調如3階和5階更容易引起干擾。然而，當通過微波部件的載波信號功率較大時，一些高階互調的功率也會很大，足以引起嚴重干擾。在通信系統中，為了應對日趨緊張的頻譜資源，提升系統通信容量，多載波或多系統共存現象將進一步增加。這就使得同一傳輸信道內會有多個不同頻率的信號，這些基頻信號由于各種非線性特性的影響而產生新的頻率分量。如果這些互調信號恰好落在接收頻段內，就會對通信系統產生干擾，進而降低傳輸系統的接收靈敏度，嚴重時導致通信系統崩潰。尤其，隨著衛星通信技術的快速發展，空間通信系統對大功率發射和高靈敏度接收也提出了更高要求。因此，無論對于地面移動通信還是空間衛星通信，無源互調都是制約通信系統性能提高的亟待解決的關鍵問題之一。

目前，國際上普遍認為無源互調是由通信系統中無源微波部件的非線性[4-10]特性引起的。有關無源互調的研究也多從其產生機理、預測分析、抑制方法、測量技術等方面展開。在無源互調預測分析方面，常用的方法有：等效電路法、冪級數法、MMicroscope法、Volterra級數法等。其中，代表性的研究有：西班牙的Vicente等人[5]提出使用等效電路法分析預測矩形波導法蘭連接結的無源互調。在此基礎上，西安交通大學的Chen等人[6]使用等效電路模型方法對同軸連接器的無源互調進行了預測分析。西安電子科技大學的張世全等人[8]基于冪級數方法進行低階無源互調功率預測高階無源互調功率的研究，空軍工程大學的王海寧等人[9]提出使用IM Microscope 方法預測無源互調功率。以上這些預測研究普遍認為，在輸入條件不變的情況下，對于固定階數的無源互調功率為一定值。然而，實際研究中發現，無源互調功率并非一個定值，而是隨時間變化的。北京理工大學的田露[10]基于Volterra級數法建立的無源互調預測模型中考慮到了時間因素，并進行了無源互調對消抑制技術研究，但Volterra級數法的準確性受到模型參數數量的影響，當參數數量增多時，計算過程也會變得極其復雜。同時，這些預測方法的共同點是，都需要通過已有數據建立相應的主觀模型，并根據這些人為設定的主觀模型進行預測。而混沌方法不用預先建立主觀模型，只是根據數據本身的特性規律進行預測，這樣就解決了由于人為主觀建模導致模型的不準確，以至造成預測的誤差，達到完全用客觀數據預測時的可信度。

混沌[11-13]是研究系統非線性的一種有效方法，它是指在確定性系統中出現的一種貌似無規則的、類似隨機的現象，是非線性系統的一種新的存在形式，并且已在多個領域得到廣泛應用。其中，混沌電路的研究實現了對復雜非線性現象和混沌理論從數學模型到硬件電路研究的轉變，為混沌通信的研究和應用奠定了基礎。利用混沌信號的類隨機性、連續寬帶功率譜特性，研究人員將混沌應用于通信系統中的多路接入技術、數據加密、編碼方法、調制技術等[14,15]多個層次，獲得比傳統通信更好的通信性能。由于產生無源互調的根源是微波部件的非線性，因此可以將該微波部件看作一個非線性系統來處理。基于此，本文擬從非線性系統的整體角度出發，研究無源互調功率與時間的關系。以通信系統中最常用的同軸連接器作為待研究的典型微波部件，以通信系統中最常見的3階無源互調為分析對象，通過實驗方法得到其3階無源互調功率隨時間的變化關系，獲得的實驗數據可以看作無源互調功率的時間序列。基于獲得的無源互調功率時間序列，分別從定性和定量角度對其進行混沌特性識別。在驗證了無源互調功率時間序列具有混沌特性的基礎上，基于最大Lyapunov指數[16-18]方法對無源互調功率時間序列進行預測分析研究。

2 PIM功率時間序列

由于通過微波部件的載波信號都是隨時間變化的，因此由這些載波信號經過微波部件的非線性調制而產生的不同階數的PIM信號也是隨時間變化的。研究發現，當輸入條件固定時，對確定階數的PIM信號，PIM功率并不是一個恒定值，而是隨時間變化的。因此，PIM功率具有時間特性。如果將隨時間變化的PIM功率看作時間序列，則該時間序列不僅包含該微波部件過去的PIM信息，還包含了PIM演化的大量信息。

為了獲得PIM功率時間序列，本文搭建了一個S頻段的PIM測試系統(如圖1所示)。該測試系統的發射通帶為2.16～2.21 GHz，靈敏度達到-160 dBm/Hz，可對3～15階的PIM功率進行測量。待測件端口的最大功率可達200 W，可以滿足不同輸入功率條件下的PIM特性研究。鑒于同軸連接器是通信系統中最常用的典型微波部件，因此，本文以DIN(7/16)型同軸連接器作為產生PIM的源，以通信系統中最為關注的3階PIM為研究對象，研究PIM功率與時間的依賴關系。實驗過程中的輸入信號頻率分別為2.16 GHz和2.21 GHz，輸入功率均為20 W，實驗測試數據為3階PIM功率。測試過程中，記錄采集前5000 s的3階PIM功率，測試結果如圖2所示，該結果即為PIM功率的時間序列。從圖2可以看出，PIM功率的變化具有時變性，同時也具有一定的隨機性和不確定性。如果能夠證明該時間序列具有混沌特性，則可以運用混沌方法對PIM功率進行預測分析。

圖1 PIM測試系統及待測樣件

圖2 3階PIM功率時間序列

3 PIM功率時間序列混沌特性識別

使用混沌方法對PIM功率時間序列進行分析研究之前，需要先判斷該時間序列是否具有混沌特性。判斷一個系統的動態行為是否混沌，就是判斷該系統是否具有混沌吸引子。定性分析方法主要是根據時間序列在時域或頻域內表現出的特殊性質對序列的主要特征進行粗略分析。常用的有相圖法、功率譜法、龐加萊截面法和代替數據法等。定量分析的方法主要是對描述混沌系統的重要特性指標包括關聯維數、最大Lyapunov指數和Kolmogorov熵等特性指標定量分析，從而進行混沌識別。本文分別選用相圖法和最大Lyapunov指數法，從定性和定量角度對PIM功率時間序列進行混沌識別。

3.1 確定嵌入維數和延遲時間

3.1.1 相空間重構理論

通常對于大多數實際工程問題來說，并不知道其具體的數學模型，能獲得的信息也比較有限，一般只能獲得1維的時間序列信號。為了從一個變量時間序列獲得其他變量的信息，有研究人員提出時間延遲坐標的思想，重構出觀測到的動力學系統的相空間。由于相空間重構[19-21]的結果可以保留原系統的動力學性質和幾何性質，因此，相空間重構是非線性時間序列分析的重要步驟。其具體原理如下。

假設時間序列為{x(ti), i=1, 2, ···,N}，其采樣時間間隔為 ?t。通過時間延遲可構成m維的向量：X(ti)=(x(ti), x(t+τ), ···, x(ti+(m-1)τ)), i=1, 2,···, M，其中m表示嵌入維數，τ表示時間延遲，X(ti)為m維相空間中的相點，M為相點個數，且有M=N-(m-1)τ 得到的集合{X(ti), i=1, 2, ···,M}描述了系統在相空間中的演化軌跡。只要m,τ選擇合適，重構的相空間與原系統就具有相同的拓撲性質。因此，如何確定時間序列恰當的m和τ，對時間序列的研究至關重要。

3.1.2 C-C方法確定嵌入維數和延遲時間

關于延遲時間τ和最佳嵌入維數m的確定方法，國內外研究人員已經進行了大量的研究。本文選用C-C方法對PIM功率時間序列進行分析。C-C方法是由Kim等人[21]提出的，其優點在于可通過關聯積分對時間延遲τ和延遲時間窗口τW進行同時估算。具體步驟為

依據重建的相空間中的相點，

3.2 混沌特性識別

3.2.1 相圖法

相圖法將通過繪制相空間重構后點的軌跡分布規律作為混沌特性判斷的依據。如果所分析的時間序列具有混沌特性，則系統的相空間軌跡通常表現為在有限空間內不斷伸長和折疊形成的回復性永不相交的非周期運動，該運動不同于毫無規律的隨機運動，但也不是周期函數的重復性運動，即相圖出現混沌吸引子。由于該方法具有簡單、直觀的特性，已廣泛用于系統混沌特性的識別中。圖4為基于本文研究的同軸連接器的3階PIM功率時間序列而建立的相空間重構的3個分量構成的3維相圖。從圖中可以看出，相點的軌跡并不是雜亂無章的，存在混沌吸引子，從而表明了PIM功率時間序列具有混沌特性。

圖3 C-C方法計算的最優時間延遲和最優延遲時間窗口

圖4 PIM功率時間序列3維相空間圖

3.2.2 最大Lyapunov指數法

Lyapunov指數表征了混沌系統相空間中兩條相鄰軌跡之間收斂或者發散的平均指數率，是宏觀層次上對混沌吸引子的一個表述，也是定量判斷一個系統是否具有混沌特性的重要指標。如果所研究的時間序列的最大Lyapunov指數大于0，則證明該時間序列具有混沌特性。并且，Lyapunov指數越大，說明混沌特性越明顯，即混沌程度越高。目前，用于計算最大Lyapunov指數的常用方法有定義法、wolf法、正交法和小數據量法。本文選用小數據量法進行求解，其計算原理如下。

假定已知混沌時間序列重構后的相空間由式(1)所示，通過歐氏距離最小值求得給定點上各個點的最相鄰點

由式(14)可得直線的斜率值就是λ1的數值。采用最小平方法，求出相應的回歸直線的斜率值，即

其中，q為dt(i)的個數。

通過對本文獲得的同軸連接器的3階PIM功率時間序列，使用小數據量法進行分析(計算結果如圖5所示)，可得其最大Lyapunov指數為0.0075。根據混沌序列的判定標準，由于分析的PIM功率的時間序列的最大Lyapunov指數大于0，因此，該時間序列具有混沌特性。

圖5 小數據量法計算的最大Lyapunov指數

4 基于最大Lyapunov指數的PIM功率時間序列預測

經過前面的分析可知本文研究的同軸連接器的3階PIM功率時間序列具有混沌特性。下面將結合獲得的最大Lyapunov指數，對該時間序列進行進一步的PIM預測[22,23]研究。

圖6為基于最大Lyapunov指數得到的PIM功率預測結果。圖中對原時間序列的5000 s之后的100 s的PIM功率進行預測。從圖中可以看出，理論預測值與實驗值吻合很好，其最大誤差為2.61%。

圖6 前100 s的預測結果

圖7為對原時間序列的5000 s之后的200 s的PIM功率的預測結果。從圖中可以看出，理論預測值與實驗值在前137個點吻合很好，誤差較小且穩定，而在138 s之后誤差變大，最大誤差為6.71%。這是因為混沌時間序列分析存在最大可預測尺度，其定義為

從式(20)可知，λ1越大，最大可預測尺度越小，即混沌特性越明顯，可準確預測的點的個數就越少。通過式(20)計算得到本文分析PIM功率時間序列的最大可預測尺度為Tmax=1/0.0075=133.33。也就是說，該PIM功率時間序列的預測只在前134個點具有較好的預測結果，該結論與圖7的分析結果基本一致。

圖7 前200 s的預測結果

5 結束語

無源互調是影響通信系統性能的重要因素，而微波部件自身的非線性特性是導致通信系統產生無源互調的根源。鑒于混沌是研究系統非線性的一種有效方法，并且在研究中發現，無源互調也具有混沌特征。因此，本文以通信系統中的典型微波部件--同軸連接器為對象，以通信系統中最常見的3階無源互調為分析對象，驗證微波部件無源互調的混沌特性，并基于混沌理論進行無源互調功率預測。首先，通過實驗系統測試得到同軸連接器的3階無源互調，獲得無源互調功率時間序列。其次，通過相圖法和最大Lyapunov指數法，分別從定性和定量角度驗證了無源互調功率時間序列具有混沌特性。最后，基于最大Lyapunov指數法，對不同時間的無源互調功率進行預測。通過實驗對比可知，在最大可預測尺度范圍內，預測結果與實驗結果吻合較好，最大誤差為2.61%。在最大可預測尺度范圍外，則會產生較大誤差。本文所討論的無源互調功率預測方法，對研究無源互調功率與時間的關系，以及為開展無源互調的抑制技術研究提供了一種新的思路。