面向OFDM無線中繼系統(tǒng)的功率分配算法

林靜然, 陳 英, 楊金泰, 張 偉,2, 楊 健, 江志浩

(1. 電子科技大學信息與通信工程學院, 四川 成都 611731;2. 電子信息控制重點實驗室, 四川 成都 610036; 3. 北方電子設備研究所, 北京 100191;4. 海軍研究院, 北京 100089)

0 引 言

作為現(xiàn)代無線通信的關鍵技術之一,中繼技術已經(jīng)廣泛應用于各類無線通信系統(tǒng)，其通過“放大-轉(zhuǎn)發(fā)”“解碼-轉(zhuǎn)發(fā)”等方式有效擴展信號覆蓋范圍、提升系統(tǒng)容量[1]。另一方面,中繼技術在提升通信質(zhì)量的同時,也給通信系統(tǒng)的管理和優(yōu)化帶來了挑戰(zhàn)。例如,中繼節(jié)點在轉(zhuǎn)發(fā)信息時必然引入新的能耗,從而增大了整個通信系統(tǒng)的能量開銷。在這種情況下,如何合理分配源節(jié)點和中繼節(jié)點的傳輸功率,以最小的能耗代價滿足用戶服務質(zhì)量(quality of service,QoS)要求,成為中繼通信系統(tǒng)高效管理的一個重要問題[2-4]。

迄今為止,很多論文研究了無線中繼系統(tǒng)的功率分配問題[4-8]。按照中繼策略的不同,這些研究可以分為基于“放大-轉(zhuǎn)發(fā)”中繼策略的功率分配問題[4-6]和基于“解碼-轉(zhuǎn)發(fā)”中繼策略的功率分配問題[7-8]。其中,“放大-轉(zhuǎn)發(fā)”又稱為非再生轉(zhuǎn)發(fā),中繼只需要將收到的信息放大后轉(zhuǎn)發(fā)出去即可;“解碼-轉(zhuǎn)發(fā)”則對接收信息進行解碼,再編碼轉(zhuǎn)發(fā)出去。二者相比,“放大-轉(zhuǎn)發(fā)”更加簡單,但轉(zhuǎn)發(fā)信號時也傳播了噪聲,而“解碼-轉(zhuǎn)發(fā)”不傳播噪聲,但信號解碼處理復雜度高,同時受“源-中繼”信道傳輸特性的影響較大[9-10]。本文主要考慮“放大-轉(zhuǎn)發(fā)”策略。事實上,由于具有復雜度低、信號處理延遲短等優(yōu)點,“放大-轉(zhuǎn)發(fā)”在實際中被大量采用,對應的功率分配問題也獲得了更廣泛的關注。例如,文獻[5-6]研究了單天線“放大-轉(zhuǎn)發(fā)”中繼系統(tǒng)的功率分配問題。文獻[11-12]進一步研究了多天線中繼系統(tǒng)的功率分配問題。文獻[13-14]則研究了多用戶/多中繼協(xié)作通信場景下的功率分配問題。

盡管在功率分配問題的建模方式和求解算法等方面存在差異,上述研究工作大多忽略了源節(jié)點和目標節(jié)點間的直達鏈路。近年來的研究表明,中繼系統(tǒng)中的直達鏈路雖然傳輸條件不佳,但對其合理地利用仍然能夠有效提升系統(tǒng)的通信性能[15]。特別地,利用直達鏈路,源節(jié)點還可以在中繼傳輸?shù)膬蓚€階段都發(fā)送信息,從而進一步提升系統(tǒng)容量[16-17]。當然,這樣的性能提升必然是以增大系統(tǒng)能耗為代價的,因此通過優(yōu)化中繼系統(tǒng)功率分配來實現(xiàn)通信性能和能耗的平衡就變得更加必要和急迫。

此外,早期對中繼系統(tǒng)的研究大多考慮簡單的通信體制和協(xié)議。隨著通信技術的飛速發(fā)展,中繼也被廣泛應用于各種復雜的通信系統(tǒng),如長期演進通信系統(tǒng)[18]、毫微微蜂窩系統(tǒng)[3]、設備直連通信系統(tǒng)[19]、正交頻分復用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)通信系統(tǒng)[20]、電力線載波通信系統(tǒng)[21]等。中繼技術與這些新通信體制的結(jié)合,能夠進一步擴展通信范圍和提高通信質(zhì)量,但也使通信過程的管理和通信資源(如功率等)的分配更加復雜。

在上述工作的基礎上,本文研究主要針對OFDM無線中繼系統(tǒng)的功率分配問題。具體而言,考慮一個包含3個單天線節(jié)點(源節(jié)點、中繼節(jié)點和目標節(jié)點)的OFDM通信系統(tǒng)。整個信息傳輸過程分為兩個階段。第一階段,源節(jié)點向中繼節(jié)點和目標節(jié)點傳送信號;第二階段,中繼節(jié)點將從源節(jié)點接收到的信號放大后轉(zhuǎn)發(fā)給目標節(jié)點,同時源節(jié)點再一次向目標節(jié)點發(fā)送同樣的信號。本文通過聯(lián)合優(yōu)化源節(jié)點和中繼節(jié)點在各個子載波上的傳輸功率,讓系統(tǒng)以最小功耗代價滿足用戶QoS要求。需要說明的是,盡管文獻[16]也考慮了兩階段中繼的功率分配問題,但僅考慮了單載波系統(tǒng)。本文則考慮更加先進、更加復雜的多載波OFDM系統(tǒng)中的兩階段中繼功率分配問題。這是一個復雜的多變量耦合非凸優(yōu)化問題,難以獲得全局最優(yōu)解。文獻[21]也對該問題進行了研究,并通過近似的方式設計求解算法,但由于其近似的方法較為粗略,使得功率分配的性能受到影響。與上述研究不同,本文首先利用拉格朗日松弛(Lagrangian relaxation,LR)法[22]將用戶QoS限制條件吸收到優(yōu)化目標上,對不同子載波間的功率變量進行解耦。然后,再利用塊連續(xù)(緊)上界最小化(block successive upper-bound minimization,BSUM)方法[23]交替優(yōu)化各個功率變量,最終獲得原問題的高質(zhì)量次優(yōu)解。仿真結(jié)果表明,在相同信道條件和QoS要求下,相較于現(xiàn)有的OFDM中繼系統(tǒng)功率分配方法,所提算法能夠有效降低OFDM中繼系統(tǒng)的總體功耗。

1 系統(tǒng)模型和問題描述

考慮如圖1所示的OFDM無線中繼系統(tǒng),其包含3個節(jié)點:源節(jié)點、中繼節(jié)點以及目標節(jié)點。系統(tǒng)在M個正交子載波上傳輸信息,在第m個子載波上的3類傳輸鏈路分別表示為:源節(jié)點與中繼節(jié)點間的傳輸鏈路g1,m,源節(jié)點至目標節(jié)點間的直達鏈路g2,m,以及中繼節(jié)點與目標節(jié)點間的傳輸鏈路g3,m,m=1, 2, …,M。在系統(tǒng)中,待傳輸?shù)男畔⒈痪幋a成M個獨立復數(shù)符號sm～CN(0,1),并分配給M個子載波傳輸。信息傳輸過程通過如下兩個階段完成。

圖1 OFDM中繼通信系統(tǒng)模型Fig.1 Model of OFDM relay communication system

第一階段,源節(jié)點在第m個子載波上,以功率p1,m傳輸符號sm,中繼節(jié)點和目標節(jié)點的接收信號分別表示為

(1)

(2)

第二階段,源節(jié)點再次以功率p2,m傳輸符號sm。與此同時,中繼節(jié)點放大并轉(zhuǎn)發(fā)第一階段的接收信號y1,m,放大系數(shù)為amexp(jθm)。這里的am與θm分別為幅度和相位轉(zhuǎn)發(fā)系數(shù)。假設中繼節(jié)點在第m個子載波上的傳輸功率為p3,m,則am與θm的取值為

(3)

θm=∠g2,m-∠g1,m-∠g3,m

(4)

式中,∠(·)為取角度信息的運算符;幅度am的取值確保中繼節(jié)點的傳輸功率為p3,m;相位θm的取值則確保從源節(jié)點和中繼節(jié)點發(fā)出的信號到達目標節(jié)點時能相位一致(這里忽略了中繼進行放大轉(zhuǎn)發(fā)的處理時間)。最終,第二階段目標節(jié)點的接收數(shù)據(jù)為

(5)

基于上述通信過程,目標節(jié)點在第m個子載波上的第一和第二階段傳輸信噪比(signal to noise ratio, SNR),分別表示為SNR1,m和SNR2,m,可按下式計算：

SNR1,m=p1,mκ2,m

(6)

(7)

式中，

(8)

定義p=[p1,m,p2,m,p3,m](m=1, 2, …,M)為包含所有傳輸功率的功率向量,基于式(6)和式(7),源節(jié)點到目標節(jié)點的數(shù)據(jù)鏈路容量計算如下:

(9)

式中,系數(shù)1/2表示中繼系統(tǒng)工作在半雙工模式。

本文聯(lián)合優(yōu)化源節(jié)點和目標節(jié)點在各個子載波上的發(fā)射功率,使系統(tǒng)以最小能耗滿足用戶QoS要求,對應的優(yōu)化問題建模如下:

s.t.C(p)≥γ,

p1,m≥0,p2,m≥0,p3,m≥0,?m

(10)

式中,pT表示系統(tǒng)傳輸總功耗;γ表示用戶QoS要求,即在M個子載波上能實現(xiàn)的最小信道容量。

求解式(10)并不容易。首先,在用戶QoS限制條件中,所有子載波上的功率變量耦合在一起,當載波數(shù)較多時,式(10)描述的功率分配問題是一個高維優(yōu)化問題,求解計算復雜度高。其次,優(yōu)化問題中的QoS限制條件C(p)≥γ非凸,想要獲得功率分配的全局最優(yōu)解十分困難。基于上述考慮,本文設計低復雜度優(yōu)化算法以獲取式(10)的高質(zhì)量次優(yōu)解。

2 低復雜度功率分配算法

針對式(10)求解過程中的多變量耦合與非凸性兩個難點,本文首先利用LR算法將用戶QoS限制條件吸收到目標函數(shù)中,從而完成對不同子載波間功率變量的解耦,將高維優(yōu)化問題分解成M個低維優(yōu)化問題,并進行迭代求解。然后,在每次迭代過程中,利用BSUM算法對非凸目標函數(shù)進行連續(xù)凸近似,在此基礎上交替優(yōu)化各個功率變量,最終收斂到原問題的高質(zhì)量次優(yōu)解。

2.1 LR算法

對多變量耦合的用戶QoS限制條件引入拉格朗日變量λ≥0,則式(10)的拉格朗日函數(shù)[22]定義為

L(p,λ)=pT-λ[C(p)-γ]

(11)

那么,進行LR后的優(yōu)化問題變?yōu)?/p>

(12)

令p(λ)為式(12)的最優(yōu)解。事實上,式(10)的最優(yōu)解是式(12)的一個可行解,即d(λ)是原問題最優(yōu)值的下界。因此,為了獲得盡量“緊”的下界,需要進一步優(yōu)化λ,找到最大的d(λ),即原問題的對偶問題

(13)

考慮到d(λ)是λ的凹函數(shù),且C[p(λ)]-γ是d(λ)的梯度,可以用二分法來搜索最優(yōu)的λ,具體步驟如算法1所示,其中ε>0為設定的收斂條件。

算法 1 LR求解算法步驟 1 初始化λ搜索的上界λu和下屆λl;步驟 2 repeat步驟 3 λ←(λu+λl)/2;步驟 4 求解問題,獲得p(λ);步驟 5 if C[p(λ)]<γ, λl ← λ;步驟 6 else,λu ← λ;步驟 7 until λu-λl<ε。

算法1的主要步驟是求解式(12)。LR法將QoS限制條件吸收到目標函數(shù)中,實現(xiàn)不同子載波間功率變量解耦,使式(12)可以分解為M個相互獨立的功率分配問題,從而大大降低了問題的維度。需要說明的是,每個子載波上的低維功率分配問題依然非凸,求解困難。下面將利用BSUM方法對各個功率變量進行交替優(yōu)化,獲得式(12)的靜態(tài)解。

2.2 BSUM求解算法

在式(12)中,第m個子載波上的功率分配子問題表示為

(14)

這仍然是一個復雜非凸問題。一種方法是采用交替優(yōu)化思想,在迭代過程中逐次優(yōu)化p1,m、p2,m以及p3,m,以減少直接求解問題的難度——即塊坐標下降(block coordinate descent, BCD)方法。但是,BCD方法不能直接用于求解式(14),因為其要求每一個變量對應的子問題必須是凸問題,或者是擬凸問題,以確保迭代過程能夠收斂[24]。顯然,式(14)并不滿足這一要求。為此,本文進一步利用BSUM思想設計式(14)的交替優(yōu)化求解算法,在降低求解復雜度的同時確保算法收斂到式(14)的一個靜態(tài)解。

(15)

(16)

β=1+p1,mκ1,m+p3,mκ3,m

(17)

(18)

則可以利用如下不等式:

(19)

得到SNR2,m的緊下界,代入式(14)的目標函數(shù)可得

(20)

式中,

pm=[p1,m,p2,m,p3,m]

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

在此基礎上定義：

(26)

基于BSUM框架,可以通過交替優(yōu)化p1,m、p2,m和p3,m來求解式(14),最終獲得式(12)的BSUM求解算法,即算法2。

算法 2 BSUM求解算法步驟 1 初始化[p^1,m,p^2,m,p^3,m], m=1,2,…,M步驟 2 for m=1, 2, …, M步驟 3 repeat步驟 4 更新p1,mp1,m=argminp1,m≥0B(p1,m,p^2,m,p^3,m;p^m)p^1,m←p1,m步驟 5 更新p2,mp2,m=argminp2,m≥0B(p^1,m,p2,m,p^3,m;p^m)p^2,m←p2,m步驟 6 更新p3,mp3,m=argminp3,m≥0B(p^1,m,p^2,m,p3,m;p^m)p^3,m←p3,m步驟 7 until 迭代過程收斂步驟 8 end for

下面具體說明3個子問題的求解過程。

2.2.1 更新p1,m

更新p1,m的子問題(即算法2的步驟4)描述如下：

(27)

首先,證明式(27)是嚴格凸問題,具有唯一最優(yōu)解。目標函數(shù)的具體形式為

(28)

將式(28)右邊第2項改寫為

f(p1,m)=h(r(p1,m))

(29)

式中,

h(·)=log2(·)

(30)

(31)

對f(p1,m)進行二階求導[22],得到

f″(p1,m)=h″(r(p1,m))r′(p1,m)2+h′(r(p1,m))r″(p1,m)

(32)

在式(27)的可行集內(nèi)必然有r(p1,m)>0,同時結(jié)合式(23)和式(24)有ym>0、zm>0以及wm>0,于是可得

(33)

從而得出結(jié)論：

f″(p1,m)<0

(34)

下面介紹如何找到式(27)的唯一最優(yōu)解。第一步是確定最優(yōu)解的范圍,即在p1,m≥ 0時使r(p1,m)>0的p1,m的區(qū)間。對r(p1,m)一階求導可得

(35)

顯然,r′(p1,m)單調(diào)遞減,且

(36)

在xm≥0的情況,此時r(p1,m)在p1,m≥0的范圍里單調(diào)遞增,且r(+∞) →+∞。

(37)

(38)

(39)

單調(diào)遞增。進而,在式(27)的可行集內(nèi),有

(40)

接下來討論xm<0的情況,此時r(p1,m)在p1,m≥0的范圍內(nèi)先增后減,且r(+∞) →-∞。

算法 3 利用二分法更新p1,m步驟 1 初始化二分法搜索的上下邊界pl1,m,pu1,m;步驟 2 repeat步驟 3 p1,m←(pl1,m+pu1,m)/2步驟 4 if?B(p1,m,p^2,m,p^3,m;p^m)?p1,m>0, pu1,m←p1,m步驟 5 else, pl1,m←p1,m步驟 6 until pu1,m-pl1,m<ε

2.2.2 更新p2,m

更新p2,m的子問題(即算法2的步驟5)描述如下：

(41)

式中,

(42)

(43)

顯然,在p2,m≥0時,s(p2,m)單調(diào)遞增,且

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

式中,

(51)

(52)

從而解得

(53)

2.2.3 更新p3,m

更新p3,m的子問題(即算法2的步驟6)描述如下：

(54)

式中,

(55)

同理可證,式(54)也為嚴格凸問題,具有唯一最優(yōu)解。定義

(56)

其一階導數(shù)為

(57)

顯然,t′(p3,m)單調(diào)遞減，且

(58)

由式(25)可知um<0,則t(p3,m)在p3,m≥0的范圍內(nèi)先增后減,且t(+∞) →-∞。那么在p3,m≥0的范圍內(nèi),使t(p3,m)>0的區(qū)間有如下兩種情況。

(59)

式中,

(60)

此時,該方程有一正一負兩個實根,取正實根后最終可得

(61)

(62)

(63)

2.2.4 算法復雜度及收斂性

算法2的步驟4～步驟6中的3個子問題都只有一個變量,求解復雜度很低,單次迭代的復雜度僅為O(1)。

關于算法2的收斂性,有如下結(jié)論。

定理 1算法2迭代過程中產(chǎn)生的每一個極限點都是式(12)的一個靜態(tài)解。

證明在算法2交替更新p1,m、p2,m和p3,m的各個子問題都滿足文獻[23]里引理2中的4個條件,因此算法2能夠收斂到式(12)的靜態(tài)解。

證畢

將算法2嵌入到算法1的步驟4中,就獲得了求解式(10)的最終算法,本文將其命名為LR-BSUM算法。需要說明的是,由于算法2只能獲得式(12)的靜態(tài)解,根據(jù)算法2的結(jié)果來判斷λ的調(diào)整方向不一定準確。因此,LR-BSUM是一種啟發(fā)式LR算法。盡管沒有全局最優(yōu)保證,后續(xù)仿真結(jié)果依然表明,在相同信道條件和QoS要求下,LR-BSUM算法能夠有效降低系統(tǒng)總體功耗。

3 計算機仿真

簡單起見,假設源節(jié)點與中繼節(jié)點、中繼節(jié)點與目標節(jié)點之間的距離均為1 km,且“源節(jié)點-中繼節(jié)點”“中繼節(jié)點-目標節(jié)點”連線的夾角在90°～270°呈隨機分布。仿真采用瑞利信道模型,即信道增益服從分布CN(0,ζ2),方差滿足ζ2=(200/dis)3.7。其中,dis表示發(fā)射端和接收端之間的距離,S表示陰影效應參數(shù),滿足分布10lgS～N(0,64)。系統(tǒng)子載波個數(shù)設定為M=32。每個子載波上的噪聲功率為-132 dBm。

首先,圖2展示了LR-BSUM算法在不同QoS要求下的典型收斂曲線。仿真過程中，收斂閾值設置為ε=10-5,以信道容量描述的用戶QoS要求(即γ的值)從32 bit/s/Hz變化到80 bit/s/Hz。總體而言,QoS要求越高,系統(tǒng)消耗的功率越多。同時,圖2中結(jié)果表明,LR-BSUM算法一般經(jīng)歷5次迭代就能收斂,且主要性能的提升在前3次迭代就能實現(xiàn)。因此,LR-BSUM算法經(jīng)過少量的迭代次數(shù)就可以收斂,是一種高效的功率分配算法。

圖2 LR-BSUM算法的典型收斂曲線(M=32)Fig.2 Typical convergence curves of LR-BSUM algorithm (M=32)

接下來,針對不同的通信場景,將LR-BSUM算法和以下相關算法進行比較。

(1) 文獻[21]的交替更新算法。文獻[21]考慮了和本文類似的多載波中繼通信系統(tǒng)功率分配問題,在設計算法時忽略了SNR2,m分子中的交叉項,參考式(7),在此基礎上對各功率變量進行交替更新。

(2) 在中繼傳輸中忽略“源節(jié)點-目標節(jié)點”直達鏈路的方法,即認為g2,m=0,因此在兩個階段的傳輸中,目標節(jié)點不利用從源節(jié)點直接發(fā)來的信號。

(3) 在中繼傳輸中利用“源節(jié)點-目標節(jié)點”直達鏈路,但源節(jié)點只在第一階段發(fā)送信號,在第二階段不再重復傳輸。

圖3所示為在不同用戶QoS限制條件下,上述4種算法所需的傳輸功率比較。圖3中的結(jié)果首先表明,在中繼傳輸中利用直達鏈路可以有效提升傳輸性能，與忽略直達鏈路的方法相比,3種利用直達鏈路的方法都能降低系統(tǒng)總功耗。其次,在這些利用直達鏈路的方法中,兩種在中繼傳輸兩個階段源節(jié)點都傳輸信息的方案更有助于降低能耗。特別地,與文獻[21]中忽略SNR2,m分子中的交叉項的算法相比,本文的LR-BSUM方法通過設計原問題目標函數(shù)的緊上界函數(shù)對其進行更精確的近似,因而具有更好的性能。最后,在系統(tǒng)總速率一定的情況下,增加子載波數(shù)量(等效為增大傳輸帶寬),能有效降低系統(tǒng)功耗。

圖3 不同QoS限制條件下的算法性能比較Fig.3 Performance comparison of algorithms under different QoS constraints

在圖4中,固定QoS要求為γ=50 bit/s/Hz,改變系統(tǒng)中子載波個數(shù)M,對4種算法的性能進行比較。總體而言,系統(tǒng)總功耗隨著子載波數(shù)增大而降低,其代價是系統(tǒng)占用了更多的頻譜資源。特別地,當M≤40時,增加子載波個數(shù)能顯著降低系統(tǒng)總功耗;當M超過該門限后,系統(tǒng)總功耗隨子載波個數(shù)增加而下降的趨勢明顯變緩。圖4中的結(jié)果表明,本文提出的LR-BSUM功率分配算法在各種M值下性能都優(yōu)于其他3種算法。

圖4 不同子載波數(shù)時的算法性能比較(γ=50 bit/s/Hz)Fig.4 Performance comparison of algorithms with different number of subcarriers (γ=50 bit/s/Hz)

在圖5中,固定M=32和γ=64 bit/s/Hz,改變源/目標節(jié)點與中繼節(jié)點之間的距離,對4種算法的性能進行比較。隨著源/目標節(jié)點與中繼節(jié)點之間的距離增大,信道增益減小,要達到相同的QoS要求,必然增大各個階段的傳輸功率。與前面的仿真結(jié)果一致,本文提出的LR-BSUM功率分配算法充分利用了直達鏈路,其性能優(yōu)于忽略直達鏈路的方法,以及利用直達鏈路但源節(jié)點只在第一階段傳輸?shù)姆椒āＭ瑫r,由于利用目標函數(shù)的緊上界對其進行了更精確的近似,LR-BSUM算法的性能也優(yōu)于文獻[21]中的交替優(yōu)化算法。

圖5 源/目標節(jié)點與中繼節(jié)點不同距離下的算法 性能比較(M=32,γ=64 bit/s/Hz)Fig.5 Performance comparison between source/target node and relay node in different distances (M=32,γ=64 bit/s/Hz)

4 結(jié) 論

本文研究了OFDM無線中繼系統(tǒng)中的功率分配問題,通過聯(lián)合優(yōu)化各個子載波上源節(jié)點和目標節(jié)點的傳輸功率,使得系統(tǒng)以最小功耗代價滿足用戶QoS要求。特別地,中繼系統(tǒng)在傳輸過程中,利用了源節(jié)點與目標節(jié)點間的直達鏈路,并且在中繼傳輸?shù)膬蓚€階段源節(jié)點都發(fā)送相同的信息。由于充分利用了直達鏈路,該方案具備有效降低系統(tǒng)總功耗的潛能,但同時也導致對應的功率分配問題是一個復雜的多變量耦合非凸優(yōu)化問題,求解十分困難。為此,本文利用LR方法和BSUM方法設計了低復雜度的功率分配算法。該算法對原問題進行解耦,在此基礎上交替優(yōu)化各個功率變量,最終獲得原問題的高質(zhì)量次優(yōu)解。仿真結(jié)果表明,與相關算法相比,本文提出的算法能夠有效降低OFDM中繼系統(tǒng)的總體功耗。