一類Choquard型擬線性Schr?dinger方程解的存在性

張曉靜，賈 高

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 問題的提出

研究了如下形式的Choquard型方程解的存在性問題：

方程（1）與如下形式的擬線性Schr?dinger方程的駐波解密切相關：

在以往的研究中，當方程(2)中取l(s)=s時，大量學者利用變分方法、臨界點理論等解決了方程解的存在性和多重性等問題。但是，關于l(s)=(1+s)1/2的研究較少。對于Choquard型半線性方程現(xiàn)已有許多研究，受文獻[5]的啟發(fā)，本文討論Choquard型擬線性方程。因為，方程（1）中的非線性項是非局部的，無法直接使用處理局部問題的方法解決該擬線性問題。

現(xiàn)假設V(x)滿足以下條件：

本文的主要結果為定理1。

定理1若條件(v0),(v1)成立，則問題(1)在H1(RN)中至少存在一個非平凡解。

2 預備知識

在本文中，對工作空間H1(RN)賦予范數(shù)‖u‖2=符號|u|p表示通常的Lp(RN)空間函數(shù)u(x)的范數(shù)。

首先考慮變量替換

引理1[6]對于函數(shù)g(t)和G-1(t)有如下性質(zhì)：

b.對于所有的t∈R ，有

c.對于所有的t∈R，有

引理2[5]（Hardy-Littlewood-Soboloev不等式）若g(x)∈Lr(RN)，h(y)∈Ls(RN)，則存在常數(shù)C，使得

其中，r,s,α,N滿足r,s＞1，0＜α＜N，

引理3若v∈Lpr(RN)，則根據(jù)Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知

若pr∈[2,2?)，那么，另外，由Sobolev嵌入定理可知，當且僅當

注意到方程（1）對應的能量泛函

但是，在H1(RN)空間上該能量泛函I(u)可能無定義。因此，利用式(3)的變量替換v=G(u)將泛函I(u)轉(zhuǎn)化為如下形式：

根據(jù)引理1和引理3，J在H1(RN)中是有定義的，并且J(v)∈C1(H1(RN),R)，對于任意的φ∈H1(RN)，有

進一步由引理1和引理2可知，如果v∈H1(RN)是泛函J的臨界點，則u=G-1(v)∈H1(RN)，同時u也是I的一個臨界點。

3 主要引理及定理1的證明

首先驗證泛函J具有山路幾何結構及其(PS)序列的有界性，其次將給出定理1的證明。

引理4若假設條件(v0),(v1)成立，那么，存在ρ,α＞0和e∈H1(RN){0}，使得

a．當‖v‖=ρ時，有J(v)＞α；

b．當‖e‖＞ρ時，有J(e)＜0。

證明結合式(4)、引理1、引理3和Sobolev嵌入定理，可得

根據(jù)p＞1，可知J(v)在v=0處具有局部最小值。

由于p＞1，因此，當t→∞時，J(tω)→-∞。

綜上，泛函J滿足山路幾何結構。證畢。

稱序列{vn}是泛函φ的一個(PS)序列，若當n→∞時，有φ(vn)→c，φ′(vn)→0。那么，結合引理4及文獻[7]中的山路定理，可得泛函J在對應的山路水平d處有(PS)d序列{vn}，即J(vn)→d，J′(vn)→0。

引理5在假設條件(v0),(v1)下，J的(PS)序列{vn}在H1(RN)中有界。

證明令{vn}?H1(RN)為泛函J的(PS)序列，則滿足

根據(jù)引理1可知，

從而，

進而可以推導出

引理6假設條件(v0),(v1)成 立，那么，J有一個臨界點。

證明設{vn}?H1(RN)是由引理4中給出的泛函J的有界(PS)序列，則存在子列{vn}（仍記為本身）及v?H1(RN)，使得vn?v（在H1(RN)中），vn→v（在中）, 其中，p∈[2,2?)，vn→v，a.e.x∈RN。

現(xiàn)證明v是J的臨界點，也就是說J′(v)=0。由于在H1(RN)中稠密，所以，為證明J′(v)=0，只需要證明對于所有有〈J′(v),φ〉=0。因為，

當n→∞時，式(6)的右邊收斂到0，進而得出〈J′(v),φ〉=0。中，則由假設條件

首先，在Kφ:=suppφ中，有其(v1)，有下式成立：

故由勒貝格控制收斂定理可得

其次，對于式(6)右邊的第三項，有

因為，pr∈[2?,2)，故設

由式(8)可知，T:Lr(RN)→R 是一個連續(xù)線性泛函。又{vn}在H1(RN)中有界，則因此，當n→∞時，即K2→0。

所以，當n→∞時，有J3≤K1+K2→0。綜上，〈J′(vn)-J′(v),φ〉→0，即v是J的臨界點。證畢。

如果v≠0，則原問題即有非平凡解。為了證明v≠0，考慮以下極限泛函及其導數(shù)：

引理7假設條件(v0),(v1)成立，設{vn}?H1(RN)是泛函J的有界(PS)序列（由引理4中給出）且{vn}?0，則當n→∞時，有J∞(vn)→d和

證明因為，{vn}?H1(RN)是泛函J的有界(PS)序列，則存在M1＞2V∞，使得又根據(jù)假設條件(v1)及在中有vn→0可得，對任意的ε＞0，存在M＞0，使得當n充 分大時，有

和

因此，當n→∞時，有

類似地，當n→∞時，可有

這樣便完成了引理7的證明。

定理1的證明根據(jù)引理7，為了證明定理1，只需要證明v≠0。現(xiàn)利用反證法來證明。

首先若假設條件(v0),(v1)成立，且{vn}?H1(RN)是J的有界(PS)序列，那么，對于{vn}來說，存在一個序列{yn}?RN和r,σ＞0，使得當n→∞時，有|yn|→∞，且

其中，2≤p＜2?。事實上，若式（9）不成立，則有則根據(jù)Lions集中緊性結果可得，在空間中，vn→0（2＜p＜2?）。進一步利用引理1及引理3可推出

這是矛盾的。故式（9）成立。

其次，由引理1和Fatou引理可得

借助文獻[8]中類似的方法，可選取一個特定的路徑γ:[0,1]→H1(RN)，其中，γ滿足

這是一個矛盾的結果。因此，從以上論證可以得出v是J∞的一個非平凡臨界點。