一類考慮媒體報道影響和垂直傳染的隨機SIS模型研究

馬莎莎，馬紀英

（上海理工大學 理學院，上海 200093）

1 模型的建立

傳染病是一種在人、動物或人與動物之間相互傳播的疾病，嚴重危害人類的健康[1]。為了更好地分析傳染病的傳播機理和發病規律，人們從流行病學和生物數學的角度對傳染病進行了大量研究。1927年，Kermack和Mckendrick建立了經典的SIS傳染病模型[2]，之后許多學者在各種因素和假設下進一步研究了SIS模型[3-5]。2018年，Zhang等[5]提出了一類考慮垂直傳染的SIS模型:

式中：S(t),I(t)分別表示t時刻易感者和感染者的數量；Λ表示種群的輸入率；b表示種群的自然出生率；β表示疾病的傳染率；d表示種群的自然死亡率；B表示易感者和感染者的輸出率；α表示疾病的死亡率；γ表示疾病的恢復率；p表示感染者母性的后代是感染者的輸入率，0＜p＜1；q=1-p，表示感染者母性的后代是易感者的輸入率，所有的參數均為正。

對于模型（1），種群的承載能力不超過Λ/(d+B-b)，故文獻[5]中假設d+B-b＞0。

在疾病爆發初期，人們通過媒體報道可以獲取有關傳染病的信息和預防疾病的措施，從而減少易感者和感染者之間的有效接觸率，降低感染人群的比例。因此，很多學者在傳染病模型的研究中考慮了媒體報道的影響[6-7]。此外，當種群數量較大時，模型（1）中選取的雙線性發病率βSI變得不符合疾病傳播的實際情況，故在越來越多的傳染病模型研究中采用非線性發病率。2006年，Xiao等[8]考慮了一類具有心理效應的非單調發病率且對于任意的I≥0，都有即本文在模型（1）的基礎上考慮媒體報道影響和文獻[8]中的非單調發病率，得到如下SIS模型:

這里假設疾病的傳染率為非線性函數β=β1-的形式[9]。β1表示易感者和感染者之間的最大傳染率；表示經由媒體報道后引起人們的警覺而導致的傳染率的減少量。當I→∞時，傳染率的減少量趨于最大值β2，由于媒體報道不能完全阻止傳染病的傳播，故假設β1＞β2。α1＞0表示疾病發生后公眾的反應情況。

另一方面，在真實世界中傳染病的傳播總會受到環境噪聲的影響。本文假設環境噪聲為白噪聲且與S,I成正比，從而得到如下具有媒體報道影響和垂直傳染的隨機SIS模型:

式中：Bi(t)為相互獨立的一維布朗運動，i=1,2；σi為噪聲強度。

本文證明了模型（3）全局正解的存在唯一性，分析了其在確定性模型（2）的地方病平衡點附近的漸近行為，并著重討論模型（3）疾病滅絕的條件以及存在唯一遍歷平穩分布的充分條件。為了直觀地說明理論結果，進一步對模型（3）進行了數值模擬。

2 隨機模型（3）在地方病平衡點附近的漸近行為

在考慮模型（3）的動力學行為之前，研究者首先關心的是系統全局正解的存在性。本文利用停時理論[10]和解的存在唯一性定理[10]證明模型（3）全局正解的存在唯一性。在此之前給出記號：對于所有的

定理1對于任意給定的初值則當t≥0時，模型（3）存在唯一的全局正解(S(t),I(t))，并且該解以概率為1存在于中，即(S(t),I(t))∈

證明由于隨機模型（3）滿足局部Lipschitz條件，故對于任意給定的初值(S(0),I(0))模型（3）存在唯一局部解(S(t),I(t)),t∈[0,τe)。式中，τe表示爆破時間[10]。要證明隨機模型（3）的解是全局的，只需證明τe=∞a.s.。取充分大的整數k0＞0，對于任意的k＞k0，使得解S(t)和I(t)都屬于區間[1/k0,k0]。定義停時

令infΦ=∞（Φ表示空集），由停時的定義可得，當k→∞時，τk單調遞增。令τ顯然τ∞≤τea.s.。若τ∞=∞a.s.，則τe=∞a.s.。如若不然，則存在常數T＞0和ε∈(0,1)，使得P{τ∞≤T}＞ε。由τ∞定義可知，存在k1＞k0，使得當k＞k1時，有P{τk≤T}＞ε。

定義正定函數

其中

這里K是正常數。故有

對上式兩端分別從0到τk∧T積分，并求數學期望可得

令Ωk={ω∈Ω:τk(ω)≤T}，則P(Ωk)≥ε。對于每個ω∈Ωk，根據停時的定義可知S(τk,ω)和I(τk,ω)至少有一個等于k或1/k，所以，V(S(τk,ω),I(τk,ω))≥因此

式中，IΩk(ω)為Ωk的示性函數。

令k→∞，上式可得∞＞V(S(0),I(0))+KT＞+∞矛盾，故τ∞=∞a.s.。定理證畢。

對模型（2）的平衡點及其穩定性進行分析，得到如下引理。

引理1對確定性模型（2），

a.當R0＜1時，無病平衡點E0是全局漸近穩定的；

b.當R0＞1時，E0是不穩定的，模型（2）存在唯一的地方病平衡點E?=(S?,I?)，其中：I?是函數

的零點；此時，E?是全局漸近穩定的。

證明a.在無病平衡點處，模型（2）的雅可比矩陣為

故模型（2）在無病平衡點處的線性近似方程的特征根為

當R0＜1時，λ2＜0。故無病平衡點E0是局部漸近穩定的。另外，當R0＜1時，系統（2）在內除外無其他平衡點，因而系統（2）在內 無極限環。故無病平衡點是全局漸近穩定的。

b.當R0＞1時，系統（2）在E0處的線性近似方程的特征根λ2＞0，故E0是不穩定的。考慮函數

則g(I)單調遞減且又當R0＞1時，

故g(I)=0在(0,+∞)上存在唯一的解，記為I?。因此，模型（2）存在唯一的地方病平衡點E?=(S?,I?)，其中

下面考慮平衡點E?的穩定性。定義如下正定函數

則其沿著系統（2）的解軌線的全導數為

令V(S,I)=V1(S,I)+fV2(I)，其中

容易驗證V(S,I)是無窮大正定函數，且

等號僅在S=S?,I=I?時成立。因此，正平衡點E?是全局漸近穩定的，疾病會形成地方病。引理證畢。

由于隨機模型（3）不存在地方病平衡點，但該模型是確定性模型加入隨機擾動得到的, 所以研究隨機模型的解在E?附近的漸近行為在一定程度上反映了疾病是否流行。

定理2對于任意給定的初值時，若和是模型（3）的全局解。當成立，則模型（3）的解滿足

證明考慮正定函數由It?公式可得

定義正定函數V(S,I)=V1(S,I)+fV2(I)。由式（5）和式（6）可得

故

對上式從 0到t積分可得

對上式兩邊取數學期望，可得

因此，

定理證畢。

當基本再生數R0＞1時，確定性模型（2）存在唯一的地方平衡點E?=(S?,I?)，且是全局漸近穩定和的。從生物學的角度看，隨著時間的增長，系統的易感者和染病者將趨于某個常數值。定理2表明若考慮環境噪聲的影響，且當噪聲強度比較小時，即，隨機模型（3）的解在時間均值意義下將圍繞確定性模型（2）的地方平衡點E?振動。即當R0＞1時，系統的易感者和染病者將在某個常數值附近波動，這時我們認為疾病將會流行。

3 疾病的滅絕及遍歷平穩分布的存在性

傳染病能否在某時間段內得以控制和根除是流行病學研究的一個重要課題，首先討論疾病滅絕的條件。令

在討論疾病的滅絕性之前，給出如下一個有關該模型解的長時間行為的引理。

引理2如果成立，則模型（3）的解具有以下性質：

此引理的證明方法是常規的，詳見文獻[11]，這里不再證明。

定理3對于任意給定的初值是模型（3）的全局解。如果成立，則疾病將趨于滅絕，并且

證明由隨機模型（3）的第二個方程和It?公式可得

當β3≥0時，得到

此外，由模型（3）可知

于是

分別對式（6）和式（7）兩邊同時從 0到t積分，并同時除以t可得

由強大數定理[12]可得所以，當時，有

因此，在模型（3）中，感染者的數量將以指數形式趨于零，即另一方面，由式（8）可知

根據引理3得到

定理證畢。

若X(t)為n維 空間里的齊次馬爾科夫過程，且滿足定義擴散矩陣為接下來，將討論隨機模型（3）存在平穩分布的條件，從而說明疾病的持久性。在此之前，首先回顧如下引理。

引理3[13]馬爾科夫過程X(t)具有唯一遍歷的平穩分布μ(·)，如果存在具有正規邊界 Γ的有界區域D?Rn具有如下性質:

a.存在一個正常數M滿足

b.存在一個非負的C2函數V，使得對任意的RnD，LV是負的，則對所有的x∈Rn成立

其中,f(·)表示一個測度 μ可積的函數。

定理4如果

證明給定任意初始值存在唯一的全局解模型（3）的擴散矩陣為

由于矩陣A為正定矩陣，顯然引理3的條件a成立。定義一個C2函數

其中

因此

其中

情形1如果內，則可得由式（11）可知，對于任意有LV≤-1。

情形2如果則可以得到

由式（12）及M的定義可知，對于任意有LV≤-1。

情形3如果則

情形4如果則有

4 數值模擬

本文利用數值模擬說明所得結論的正確性，模擬過程采用Milstein在文獻[14]中提到的方法。首先，選取初始值(S(0),I(0))=(3,4)。選擇參數Λ=0.1,b=0.1,B=0.01,d=0.1,q=0.7,α=0.2，γ=0.1,β1=0.78,β2=0.18,α1=1,α2=5.6,β3=0.2，σ1=0.06,σ2=0.08。此時，B-b=0.01,滿足定理2的條件，模擬結果如圖1所示，藍線和紅線分別表示確定性模型的解和隨機模型的解。可以直觀地看到隨著時間的增長，隨機模型（3）的解圍繞著地方病平衡點E(S?,I?)振動。因此，定理2的結論得以驗證。

其次，選擇初始值(S(0),I(0))=(3,4)，其他的參數為Λ=0.02,b=0.1,B=0.05,d=0.09,q=0.7，α=0.49,γ=0.1,β1=0.1,β2=0.1,α1=1,α2=4，σ1=0.06,σ2=0.08。如圖2所示，藍線和紅線分別表示隨機模型（3）的易感者和感染者的解曲線。從圖中可以看出加入隨機擾動后，隨機模型（3）疾病將會滅絕，從而驗證了定理3的結論。

圖1 隨機模型（3）與確定性模型（2）的解曲線（R0＞1）Fig.1 Solution curves of the stochastic model（3）and deterministic model（2）（R0＞1）

圖2隨機模型（3）的解曲線（＜1）Fig.2 Solutioncurves of thestochasticmodel（3）（＜1）

圖3 隨機模型（3）的解的直方圖（＞1）Fig.3 Histograms of the solution of the stochastic model（3）（＞1）

最后，選取初始值(S(0),I(0))=(3,4)，其他參數為Λ=3.5,b=0.1,B=0.15,d=0.1,q=0.7,α=0.2,γ=0.1,β1=0.78,β2=0.18,α1=1,α2=5.6，β3=0.2,σ1=0.06,σ2=0.08。此時滿足定理3的條件。從圖3可以直觀地看出隨機模型（3）有遍歷的平穩分布。進而驗證了定理3的結論。

5 總結與展望

本文主要對考慮媒體報道影響和垂直傳染的隨機SIS模型進行了探討。首先，證明了隨機系統（3）全局正解的存在唯一性，并且討論了相應的確定性模型的無病平衡點與地方病平衡點的全局穩定性。其次，應用It?公式分析了該模型在地方病平衡點附近的漸近行為。當R0＞1時，隨機系統（3）的解將在地方病平衡點附近振動。此時，可認為疾病將會廣泛流行。最后，得到了疾病滅絕的條件以及該模型具有唯一遍歷平穩分布的充分條件。當時，染病者I(t)的數量將以指數形式趨于零，即疾病滅絕。由的表達式可知，當β2增大時，將會減少，而β2反映了媒體報道導致的傳染率的減少量。故考慮媒體報道的影響可以使疾病更容易滅絕，從而有利于人們對疾病的控制。當時，隨機模型（3）存在唯一的遍歷平穩分布，這也告訴我們疾病在時間平均意義下是持久存在的。

本文研究的具有媒體報道影響和垂直傳染的隨機SIS傳染病模型得到的結論有助于人們理解傳染病的發病機理和傳播規律。此外，在時間延遲和脈沖擾動的影響下，傳染病的傳播規律將會如何演化，期望在后續工作中對這些問題進行深入研究。