四腿菱形變截面梁微加速度計結構設計與研究

韓建男，孫江宏，鹿昆磊

（北京信息科技大學機電工程學院，北京 100192）

1 引言

變極距式電容傳感器是硅微加速度傳感器的一種，由于其結構簡單、動態響應好、靈敏度高及便利的操作接口[1-2]，自面世以來一直作為最重要的慣性儀器之一，被廣泛應用于國防、航天等部門，是慣性導航和慣性制導系統中不可缺少的一部分。

在硅微加速度計中，多數采用等截面梁結構，但其應力集中引起的結構損壞容易導致器件失效[3-4]，通常采用截面根部增加適當的圓角、倒角過渡的方法來減小應力集中。隨著近年來對變截面梁研究逐步增多，以及微納機械制造工藝日漸成熟[5-7]，開始逐漸采用變截面梁來增大連接處的過渡角[8]的方法消除和降低應力集中。目前對變截面梁結構系統有了一系列的研究，根據矩陣結構分析和彈性力學理論，苑偉政和郝星建立線性變截面梁的力學模型[9]；根據材料力學理論，文獻[10]建立了變截面梁彎曲數學模型；在微加速度計等截面梁的基礎上，文獻[11]設計并優化了一種梯形變截面梁；在保證傳感器外形尺寸不變的基礎上，文獻[12]建立了基于槽型變截面彈性梁的傳感器靈敏度分析模型，分析了影響靈敏度的關鍵設計因素；但采用不同截面形狀的梁結構，其性能都不一樣。

這里設計的是菱形變截面梁結構，菱形變截面增大連接處的過渡角，減小了應力集中，使檢測方向與非檢測方向剛度最大化，增加了系統的穩定性。在體積和非檢測方向剛度相同的條件下，菱形變截面梁與等截面相比，危險截面處最大應力相當而檢測方向剛度減小，系統靈敏度大大提高，且在保證靜電力剛度小于機械剛度的前提下，可以確定菱形變截面梁加速度計的最大量程。

2 加速度計的工作原理

電容微加速度計的加速度值不容易直接被測量，當物體受到加速度時，會產生慣性力，所以現在都是采用先測量物體的慣性力，再通過公式：

間接測量出加速度的值，然后對加速度再進行兩次積分就可以得到物體的空間位置。

加速度計的結構簡圖，如圖1 所示。一般加速度計常通過4個梁將其固接于被測物體上，質量塊兩側各兩個對稱梁，增加了系統的穩定性。檢測質量塊通過撓性梁與固定端硅基底相連，垂直懸在基底上方。充當檢測電極的極板被等間距地固定在檢測質量塊的上下兩面，與檢測質量塊形成差動電容。

圖1 菱形變截面梁加速度計結構簡圖Fig.1 The Structure Diagram of Micro-Accelerometer Based on Rhombic Variable Cross-Section Beam

變間距型電容式微機械加速度計的平面示意圖，如圖2 所示。一共有三塊平行極板，兩塊為固定極板，一塊為可動極板，且兩固定極板與中間可動極板之間的初始距離為d0，相對有效面積都為A，介質介電常數為ε。在物體還未運動時，可動極板與兩固定極板分別形成兩個電容C1和C2，大小與靜態電容C0相等，（C0=εA/d0）。當可動極板受到一個向右的加速度時，這時就會產生一個向左的位移x，于是兩個電容的極板間距發生變化，從而引起差動電容的變化。

圖2 變間距型電容式微機械加速度計工作原理圖Fig.2 The Working Principle Figure of the Variable Distance Capacitance Sensor Micro-Accelerometer

通過泰勒展開得：

因此，形成的差動電容為：

由于敏感質量塊受到慣性力產生的位移x<

由上可知，在忽略高階項之后，差動電容C 與位移成正比，敏感質量的位移信號可以轉化為差動電容的電容變化。

3 加速度計的力學模型

加速度計的動力學模型相當于一個彈簧-質量-阻尼系統，如圖3 所示。敏感質量塊在慣性力運動過程中，會受到空氣的阻尼力，阻尼系數為c。加速度計的四個彈性梁相當于彈簧，剛度系數為k。在質量塊受到一個加速度a 時，質量塊會產生一個與慣性力F 相反方向的位移x，支撐梁發生彈性彎曲，生成彈性力Fk，方向與位移相反。當彈性力Fk與慣性力F 相等時，整個系統達到平衡狀態。從而由力平衡方程F=Fk得出質量塊移動的位移為：

圖3 加速度計經典動力學模型Fig.3 The Classic Dynamic Model of Accelerometer

由牛頓第二定律可得加速度計的二階動態微分方程為：

對式（8）進行Laplace 變換，得到傳遞函數為：

當系統達到平衡狀態時，由式（8）可得到質量塊產生位移為：

通過式（10）和式（7）可以計算出質量塊的加速度a。定義加速度計的靈敏度sc為：

從式（11）可以看出，靈敏度sc和系統的固有頻率、質量塊m、剛度系數k 有關系，固有頻率越低，靈敏度越高。要想增大系統靈敏度，可以通過降低系統的剛度系數k 和增大質量塊m 的質量，但又不能使剛度系數k 過低，過低又會導致整個系統不穩定。

4 菱形變截面梁力學模型建立

圖4 菱形變截面梁結構Fig.4 The Structure of Rhombic Variable Cross-Section Beam

菱形變截面梁的結構，如圖4 所示。Y 軸為梁檢測方向，其傾角為β；Z 軸為梁非檢測方向，其傾角為α；左端橫截面的短軸和長軸長度分別為b1和a1，左端橫截面相連于質量塊，右側的橫截面為固定端。

要使Z 軸剛度與Y 軸剛度相差越大，則a、b 的尺寸相差就越大，所以不妨 a1=8μm，tanβ=0.05，b1=2μm。在梁的實際結構中，截面尺寸都是遠小于變截面梁長度的，所以可以忽略剪切力的影響，只考慮變截面梁的純彎曲力學模型，截面尺寸隨長度線性變化，距離坐標原點x 處菱形截面的長軸長ax和短軸長bx分別為：

式中：E—梁彈性模量；M（x）—梁受到的彎矩；I（x）—梁截面慣性矩；w—梁撓度。

4.1 Z 軸剛度

當在Z 軸上有加速度時，距原點x 處橫截面對Y 軸慣性矩Iy和力矩 M（x）分別為

將式（14）和式（15）代入式（13）并對 x 進行積分得轉角 φ 為：

再次對x 變量積分得撓度w：

當x=0 時，撓度w 取最大值為：

當F、wmax固定不變時，根據式（18）定義變截面梁剛度為KZ為：

式（19）的圖像，如圖5 所示。梁Z 軸剛度隨梁跨度l 減小而增大，隨截面高度a2增加而增加，當梁長度l 在100μm 到250μm范圍內，梁末端高度 a2增加到 30μm 到 60μm 之間，Z 軸剛度變化不大。

圖5 菱形變截面梁z 軸剛度與梁尺寸關系Fig.5 Relationship Between z Axis Stiffness and Size of Rhombic Variable Cross-Section Beam

4.2 Y 軸剛度分析

當在Y 軸上有加速度時，剛度分析同前文相同，距原點x 處橫截面對Z 軸的慣性矩為：

轉角為：

再次對x 變量積分得撓度w：

當 x=0 時，Y 軸的最大撓度 wmax為：

由式（23）可得 Y 軸剛度 KY為：

式（24）的圖像，如圖6 所示。Y 軸剛度隨梁跨度l 減小而增大，隨梁末端長軸 a2增大而增大。當 l 在 100μm 到 150μm 范圍內，且 a2在 35μm 到 60μm 之間時，Y 軸剛度變化不大。

圖6 菱形變截面梁Y 軸剛度與梁尺寸關系Fig.6 Relationship Between Y Axis Stiffness and Size of Rhombic Variable Cross-Section Beam

4.3 梁的強度分析

由于Iy>Iz，所以在加速度一定時必須滿足Y 軸強度要求。Y軸方向作用加速度時，由材料力學可知，距離原點x 處截面的Y軸最大彎曲應力為：

將式（14）代入式（26）得：

求導得：

圖7 菱形變截面梁Y 軸最大應力σ′（x）Fig.7 Maximum Stress σ′（x）of Y Axis of Rhombic Variable Cross-Section Beam

5 系統性能分析與量程

5.1 系統穩定性分析

為增加系統的穩定性，就要減小Y 軸方向的剛度，使Y 軸的靈敏性提高，增大Z 軸方向的剛度，使Z 軸方向的靈敏性降低。同時為使整個系統工作穩定，還應防止因產生過大的靜電力，而導致極板吸合，所以系統機械剛度必須要大于靜電剛度[13]。

在反饋電壓的作用下，可動梳齒電極上受到的靜電力為Fe：

所以可得到的靜電剛度為：

由此靜電剛度ke的變化范圍為：

如果Y 軸方向上的梁的剛度k 小于靜電力產生的靜電剛度ke，那么系統將失去平衡，處于不穩定狀態，因此：

式中：ε—空氣介電常數；A—兩極板正對面積；ke—系統靜電剛度；k—系統Y 軸機械剛度；Fe—質量塊受到的靜電力；Vvef—施加在兩邊固定梳齒電極上的參考電壓；Vout—輸出電壓。

對比圖5 和圖6 可知，菱形變截面梁Z 軸剛度大約是Y 軸剛度的16.8 倍，能較好地減小對Y 軸的干擾影響。菱形變截面梁能減小應力集中的影響，提高系統的穩定性。

5.2 系統的靈敏度

根據輸入加速度與雙邊電容變化關系，可以得出電容差值量C 與加速度a 之間的關系式為：

不同加速度會產生不同的電容變化，所以只需測出電路中電容的變化，就可以求得加速度的大小。變間距型電容式加速度計的靈敏度Sc為：

由此可見，可以利用增大靜態電容C0和敏感質量塊的質量，減小初始極板間隙d0和加速度計的剛度系數k 的方法來提高加速度計的靈敏度。

5.3 系統的量程

對于閉環反饋式梳齒微機械加速度計的量程分析。當加速度計正常工作時，質量塊產生的慣性力與反饋電壓產生的靜電合力相平衡，系統處于平衡穩定狀態。由式（30）可得靜電合力為：

質量塊產生的慣性力為：F=ma

所以可得加速度的最大值amax為：

一般說來，在結構尺寸確定的情況下，提高加速度計的量程也就只能增加參考電壓。但參考電壓不可能無限制增大，還需要滿足穩定性要求。所以在滿足穩定性即機械剛度大于靜電力剛度的條件下，可算出最大加速度amax。

5.4 變截面梁的參數優化

在滿足強度要求下，要適當減小Y 軸剛度k，提高系統靈敏度，但又不能過小，否則會使系統固有頻率過低。從穩定性方面分析，主要考慮Y 軸方向的剛度，選取Y 軸剛度為最大值時的尺寸，而此時梁Z 軸的剛度為Y 軸剛度的16.7 倍，能很好的減少Z軸方向剛度對Y 軸方向檢測的影響，且Y 軸方向能夠檢測到更大的量程。菱形變截面梁尺寸，如表1 所示。當a、b 均為常數時，梁為等截面梁，當其滿足下列等式時，可計算出等截面梁的尺寸：

表1 兩種加速度計梁尺寸參數Tab.1 The Parameters of Two Kinds of Accelerometer Beams

經計算可得，等截面梁的Y 軸和Z 軸剛度分別為2.9234×10-3N/μm、0.02183N/μm。橢圓形變截面梁 Y 軸 Z 軸剛度分別為1.2998×10-3N/μm、0.02183N/μm。

系統總質量由質量塊、梳齒的質量和梁的質量構成。因為質量塊和梳齒的質量是一定的，且等截面與變截面的體積相等。所以可得等截面梁加速度計與梯形變截面梁加速度計的總質量關系為：m變梁=m等梁

菱形變截面梁加速度計與等截面梁加速度計的固有頻率關系為：ωn變=0.66ωn等

由圖7 和計算等截面梁加速度計梁的強度可得兩者的關系為：

σmax變=1.2σmax等

由式（11）可得菱形變截面梁加速度計與等截面梁加速度計的靈敏度關系為：Sc變=2.25Sc等

由式（38）可計算變截面加速度計的最大量程為：

在等截面梁和變截面梁的質量相同且Z 軸同等剛度條件下，菱形變截面梁與等截面梁相比，危險截面處應力僅增加20%，而菱形變截面梁檢測方向剛度卻是等截面梁的0.44 倍，系統靈敏度是其等截面的2.25 倍，且能達到的最大加速度量程為668.8g。

6 結論

菱形變截面梁能減小梁的應力集中，可使加速度計檢測方向和非檢測方向剛度的區分度達到最大，減小非檢測方向對檢測方向靈敏度的影響，提高了系統的穩定性。在梁質量相等和非檢測方向剛度相同的條件下，菱形變截面梁與等截面梁相比，危險截面處應力相當而檢測方向剛度減小，系統靈敏度大大提高，同時梁的量程能達到668.8g。