考慮回轉間隙的某型火炮動力學仿真

鄧輝詠，何循來，吳大林，熊 超

（1.陸軍工程大學石家莊校區，火炮工程系，河北 石家莊 050003；2.南通理工學院，機械學院，江蘇 南通 226002）

1 引言

某型大口徑榴彈炮，自重約3t，可以直升機吊運，具有很好的戰術機動性，非常適合山地作戰，在山地作戰中需要精確定點拔除敵方工事，因此對火炮射擊精度要求較高。采用試驗的方法研究改進火炮的射擊精度，費效比低，目前國內最有效可行的方法大多基于虛擬樣機技術，建立火炮動力學仿真模型研究火炮的動力學特性。

為了得到更精確的虛擬樣機，需要準確把握各機構的相對運動關系及其力學本質，文獻[1]通過建立齒輪齒弧的精確三維模型，基于Hertz 接觸模型，建立了某車載炮的動力學模型；文獻[2]根據火炮高低機中具有碟簧緩沖裝置的實際，建立了考慮碟簧緩沖作用的火炮動力學模型；文獻[3]基于有限段法，研究了彈丸在膛內的運動對炮口擾動影響；文獻[4]采用非線性有限元法，建立考慮彈炮耦合作用的某牽引火炮有限元模型，研究彈、炮結構參數對彈丸起始擾動的影響；文獻[5，6]用非線性彈簧阻尼模型研究了耳軸間隙在火炮射擊過程中對炮口運動的影響。

火炮射擊前通過轉輪進行方向瞄準，射擊時，由于蝸輪蝸桿的反向自鎖作用，轉輪保持不動。考慮方向機的建模有扭簧法替代[7]和回轉軸承大規模接觸/碰撞法[8]，回轉軸承的接觸/碰撞屬性顯然比扭簧替代法更能反映問題實際，但實際上，射擊過程，由于軸承游隙和齒側間隙的存在，回轉軸承不只徑向移動，還繞其回轉中心轉動，這是一種耦合運動，不能只考慮某一個間隙，而因該整體考慮。

2 回轉部分力的傳遞關系

回轉部分機構關系簡圖，如圖1 所示。方向機齒輪是方向機的輸出齒輪，方向機本體與上架固定。方向機齒輪與回轉齒圈嚙合，回轉齒圈與回轉軸承的外圈和下架固定在一起，為不動部分，回轉軸承內圈與上架固定在一起，為回轉部分。

圖1 回轉部分機構關系簡圖Fig.1 Mesh Relationship Diagram of Traversing Mechanism

射擊時，由于方向機具有反向自鎖作用，方向機齒輪不動，炮膛合力在水平面內的不平衡力矩帶著回轉部分有旋轉的趨勢，該不平衡力矩經回轉軸承內圈->滾子->回轉軸承外圈->齒圈->方向機齒輪，方向機中有緩沖裝置吸收不平衡力矩帶來的沖擊，保護方向機中的零部件。

3 考慮間隙的方向機力學模型

牽引火炮動力學模型的建立方法在許多文獻中均有論述，這里不贅述，這里重點對考慮間隙的方向機力進行建模。

為了內外圈轉動靈活，回轉軸承存在游隙；另外，對于漸開線齒輪，為了不產生干涉，兩嚙合齒間存在齒側間隙。為了討論的方便，做如下假設：（1）回轉軸承的游隙沿徑向是均勻的；（2）在射擊時，方向機齒輪某個齒剛好落在齒圈某兩個齒中間，即左右齒側間隙相等。

3.1 建模方案

為同時考慮軸承游隙和齒側間隙，在上架與下架間建立一個質量和慣量為0 的啞物體，為在數值計算時不產生奇異，可將質量和慣量設為小值。（1）啞物體與下架間通過旋轉副約束，并通過一個雙向扭力約束轉動方向的自由度，模擬方向機齒輪與齒圈的作用；（2）啞物體與上架通過平面副和垂直副約束，上架相對于啞物體只有在水平面內兩個平動自由度，用一對相互垂直的雙向力約束兩個平動自由度，模擬回轉軸承的內部作用。

3.2 雙向力和雙向扭力力學模型

含間隙鉸的建模方法主要：連續接觸模型、經典碰撞模型和連續接觸力模型。連續接觸力模型考慮了變形位移以及變形速度的綜合作用，能夠計及碰撞對的法向力、切向力以及阻力。其力學模型一般采用基本Hertz 接觸理論的Lankarani-Nikravesh 非線性等效彈簧阻尼模型表征[9]。

式中：Fn—接觸點處的徑向接觸力；kn—徑向的等效接觸剛度，據經驗取常數；δ—接觸元素的相互滲透深量；δ˙—相互滲透速度；e—非線性因子；c—阻尼系數，其表達式為：

式中：ce—恢復系數；δ˙（-）—撞擊點初始相對速度；在實際建模過程中一般取經驗值或取剛度值的（0.1～1）%。

由于回轉軸承和齒輪齒圈嚙合均充分潤滑，切向摩擦力與法向力相比很小，因此暫不考慮切向力的影響。

根據假設，則雙向力的力學模型可表示為：

式中：h—上架與啞物體在水平面內沿坐標軸的相對位移量。

雙向扭力模型與雙向力模型一致，只需將接觸剛度轉換成扭轉剛度，其關系式為：

式中：R—齒圈節圓半徑；kT—扭轉剛度。

阻尼的轉換關系式與剛度具有相同的形式，其位移和速度則是下架與啞物體繞回轉中心的相對角位移量和角速度。

3.3 雙向力模型剛度計算

回轉軸承滾子受力圖，如圖2 所示。

圖2 回轉軸承滾子受力圖Fig.2 Stress Diagram of Roller of Traversing Bearing

由于滾道的存在，當座圈受到徑向作用力，其產生的接觸力也是徑向的。滾子與內外滾道的接觸是典型的Hertz 接觸問題，要用Hertz 求取經典解，需要求解橢圓率參數K、第一類橢圓積分Γ、第二類橢圓積分Σ和接觸體幾何尺寸間關系的超越方程，由于這種方法比較難于求解，采用布魯和哈姆克借助最小二乘法用線性回歸得到的 K、Γ 和Σ[10]：

對于球與內外滾道的接觸：

式中：D—滾子直徑；r—內外滾道的曲率半徑；Dm—滾子回轉中心圓直徑；Rx的表達式中；“+”—外滾道接觸；“-”—內滾道接觸。則接觸變形與應力的關系為：

式中：δ—接觸變形；Q—接觸力；Σρ—滾子、滾道在軸向平面、徑向平面的主曲率和。

得到滾子與內外滾道接觸變形與接觸應力關系后，用力法進行求解，對于軸承的徑向變形，滾子變形的幾何關系滿足：

軸承的軸向變形，滾子變形幾何關系滿足：

根據上述方程即可求取各個方向的接觸剛度，由于回轉軸承具有對稱性，因此互相垂直的兩個雙向力剛度相等。

3.4 雙向扭力模型扭轉剛度計算

雙向扭力模型主要是模擬齒輪的接觸，對于齒輪接觸，除了有接觸變形還有彎曲變形和剪切變形，另外齒寬和重合度也會對輪齒的嚙合剛度有影響。在這里采用Y Cai 提出的嚙合剛度模型計算齒輪的嚙合剛度。

用Y Cai 模型計算時變嚙合剛度[11]，在單齒嚙合情況下，其表達式為：

式中：X—作用線上，從嚙入點到嚙出點的嚙合位置，X 的原點取節點位置：

式中：ε—總重疊系數；εa—端面內重疊系數；tz—端面內轉過一個基節的嚙合時間。

Ca—與齒輪結構參數有關的量：

式中：β0—節圓上的螺旋角；B—有效齒寬（mm）；H—全齒高（mm）。

Kp—接觸剛度幅值點，對于普通材質的齒輪，其值也是與齒輪結構參數有關的量：

式中：mn—齒輪副法向模數，嚙合剛度的單位為N/μm。

當重合度ε>1 時，齒輪接觸對的綜合嚙合剛度為：

式中：I=int（ε-1）。

根據假設，取t=0 時刻的嚙合剛度：

從式中可以看出，嚙合剛度為與重合度、模數、齒寬等結構參量有關的量。嚙合剛度與模型中扭轉剛度的關系，如式（4）所示。

4 仿真計算

齒側間隙和回轉軸承的游隙其設計值均為0.1mm，考慮到使用過程中的磨損，分別對間隙值和游隙值為0.2mm 和0.5mm的情況進行發射動力學仿真，考查炮口橫向角位移θh、橫向角速度ωh情況。齒側間隙和回轉軸承游隙單獨作用及共同作用對θh的影響，如圖3～圖5 所示。

從圖3 可以看出，回轉軸承間隙的影響顯著，間隙增大到0.5mm 后，其擾動幅值是初始間隙的兩倍。這是由于反后坐裝置的復進機力和駐退機力是一對不平衡力，在回轉平面內產生不平衡力矩。在炮身后坐時，這一不平衡力矩使得炮身向駐退機一側旋轉。由于間隙的存在，回轉部分初期處于自由狀態，此時受到的力作用和邊界條件相同，因此其運動狀態基本一致。間隙越大，回轉部分回轉角度越大，輪齒接觸時的相對運動速度越大，碰撞力越大，炮口擾動越明顯，炮口橫向角位移越大。

圖3 回轉軸承游隙為0.1mm 時，隨齒側間隙變化曲線Fig.3 Changing Curve by the Backlash in Circular Tooth when the Clearance of Gear Ring was 0.1mm

圖4 齒側間隙為0.1mm 時，隨回轉軸承游隙變化曲線Fig.4 Changing Curve by the Clearance of Gear Ring when the Backlash in Circular Tooth was 0.1mm

從圖4 中可以看出，回轉軸承游隙影響不明顯階段比齒側間隙影響長（前者約為0.3s，后者為0.1s），幅值隨齒側間隙影響較小。這是由于在相同齒側間隙下，齒圈游隙越大，在炮膛合力作用下，回轉部分在后坐方向的自由行程增長，后坐方向接觸力增大，但該接觸力影響回轉運動，炮身橫向角位移不變。后期炮口橫向角隨間隙變化出現不一致性，是齒圈游隙和齒側間隙耦合作用引起的。

圖5 齒圈游隙和齒側間隙均變化時的曲線Fig.5 Changing Curve by Both the Backlash in Circular Tooth and the Clearance of Gear Ring

從圖5 中可以看出，當齒側間隙和回轉軸承游隙共同作用時，曲線形狀和幅值與圖3 有較高的相似性，說明齒側間隙是引起炮口橫向角位移的主要因素。

圖6 齒圈游隙為0.1mm 時，隨齒側間隙變化曲線Fig.6 Changing Curve by the Backlash in Circular Tooth when the Clearance of Gear Ring was 0.1mm

圖7 齒側間隙為0.1mm 時，隨齒圈游隙變化曲線Fig.7 Changing Curve by the Clearance of Gear Ring when the Backlash in Circular Tooth was 0.1mm

圖8 齒圈游隙和齒側間隙均變化時的曲線Fig.8 Changing Curve by both the Backlash in Circular Tooth and the Clearance of Gear Ring

齒側間隙在轉軸承游隙單獨和共同作用對炮口橫向角速度的影響，如圖6～圖8 所示。從圖中可以得到與炮口橫向角位移相似的結論。不同之處在于：在運動后期ωh變化激烈，角速度曲線表現出了強非線性，從幅值來看，當軸承游隙為0.1mm 時，ωh反而最大，這是齒圈游隙和齒側間隙耦合運動產生。

5 結論

基于虛擬樣機技術，建立了考慮回轉軸承游隙和齒側間隙的某型火炮發射動力學模型，討論了回轉部分間隙非線性建模方案，回轉軸承徑向支撐剛度以及齒圈與方向機輸出齒輪嚙合剛度計算方法，最后分別對齒側間隙、回轉軸承游隙以及其共同作用對炮口橫向角位移和角速度進行了仿真，仿真結果顯示：（1）齒側間隙越大，炮口橫向角位移位移越大，當間隙增大到0.5mm 時，橫向角位移幅值約為初始間隙幅值的2 倍；（2）齒圈游隙對炮口橫向角位移的影響不顯著；（3）在考慮齒圈游隙和齒側間隙共同作用時，齒側間隙是引起炮口橫向角位移與角速度的主要因素，兩因素共同作用與齒側間隙單獨作用曲線有較高的一致性；（4）由于兩因素的耦合作用，炮口橫向角速度曲線在運動后期產生了強非線性。