雙重公差原則同軸度誤差評定的不確定度研究

孫永厚，楊盛宇，唐哲敏，黃美發

（桂林電子科技大學機電工程學院，廣西 桂林 541004）

1 引言

新一代 GPS（Geometrical Product Specifications）“產品幾何技術規范”是實現數字化制造和發展先進制造技術的關鍵。新一代GPS 體系[1]中，不確定度理論的研究不再只局限于測量不確定度（方法不確定度和執行不確定度統稱為測量不確定度），而進一步拓展到依從不確定度。依從不確定度包括規范不確定度和測量不確定度。

目前，國家標準已經對舊的GPS 標準[2-3]進行了修訂和補充，國內外的相關學者也進行了大量的不確定度研究。2009 年文獻[4]通過實例給出了PUMA 法和GUM 法的比較，得到以PUMA 法作為最佳測量程序，利用不確定度傳遞規律來評定測量不確定度。雖然優化了測量方法，但不確定度的評定過程仍然很復雜。同一年，文獻[5]在新一代GPS 的現狀和標準中指出新一代GPS 不確定度理論應該是基于數學的理論。規范和檢驗提供一致的產品幾何描述時，可用以消除規范不確定度和方法不確定度，但只是在概念上的分析。2012 年文獻[6]用傳統的GUM 法和蒙特卡洛MCM 法評定平面度誤差的測量不確定度，結果表明基于MCM 的不確定定度評定方法相對于GUM 法算法簡單、靈活、效率高且更精確。但總的來說，上述文獻還只是停留在測量不確定度研究上，很少涉及到依從不確定度的評定。

近年來，文獻[7]對依從不確定度進行了研究，并給出了帶有圓度誤差零件的規范不確定度、方法不確定度和依從不確定度等評定方法。但該評定方法一般只局限于帶有簡單形狀誤差的零件，而對于帶有雙重公差原則形位誤差的零件，并不適用。

公差原則是處理尺寸公差與形位公差之間關系的原則。使用不同的公差原則，可以滿足不同的功能需求。例如幾何公差及其基準同時應用最大實體要求（MMR）時，可使零件在滿足可裝配性情況下降低其加工成本[8]。

因此，本團隊研究了基于雙重公差原則同軸度誤差的評定方法[9]，提出了用極限當量直徑與相應的邊界尺寸比較判斷零件的合格性。但該評定方法不確定度的產生和傳遞是一個復雜的問題，很難直接用現有的方法分析其不確定度，故提出把極限當量直徑作為不確定度評定的關鍵依據。通過對規范不確定度定義的理解，找到其組成因素，并得到對應的規范不確定度分量，對各分量進行合成，得到規范不確定度。正交試驗優化了測量方法，使得方法不確定度的評定更準確。通過對不確定度黑箱模型中各組成因素的分析，評定執行不確定度。最后將三種不確定度合成為依從不確定度。

2 雙重公差原則同軸度誤差評定方法

2.1 雙重公差原則同軸度誤差評定方法簡介

雙重公差原則同軸度公差的標注，如圖1 所示。

圖1 雙重公差原則同軸度的公差標注Fig.1 Marking of Coaxiality Tolerances

雙重公差原則同軸度公差規定：至少由被測部分b 和基準部分A 兩部分組成。局部尺寸分別介于各自的最大實體尺寸DbM（DAM）和最小實體尺寸Dbm（DAm）之間。基準部分A 的軸線有（直線度）形狀公差TA，當基準軸線處于最大實體狀態時，被測部分軸線與基準軸線有同軸度公差Tcoa。

滿足上述規定的零件，可基于雙重公差原則同軸度誤差的評定方法評定零件是否合格。其中，評定的關鍵是求解被測圓柱體的極限當量直徑，如果被測圓柱體的極限當量直徑能夠被相應的最大實體實效邊界MMVBb包容，則零件符合給定的雙重公差原則同軸度公差，否則零件不合格，如圖2 所示。

2.2 實際被測圓柱體的極限當量直徑

實際被測圓柱體的極限當量直徑是指：對軸而言，當基準圓柱體A 的最大實體實效邊界MMVBA（MMVBA的直徑DvA=DAM+TA）包容實際基準圓柱體時，以MMVBA的軸線為軸線的、能包容實際被測圓柱體的理想圓柱的最小直徑，如圖2 所示。

求解被測零件的極限當量直徑前，先獲取在局部坐標系下，零件的基準圓柱體和被測圓柱體的測點數據 PA，n和 Pb，m。其中，PA，n=（xA，n，yA，n，zA，n）T；當 MMVBA包容實際基準圓柱體時，通過移動實際被測零件得到最小的當量直徑（deq），即實際被測圓柱體的極限當量直徑（deq，m），如圖2 所示。

圖2 實際零件M-M 同軸度的評定Fig.2 Verification of M-M Coaxiality of Actual Parts

實際零件測點的移動過程可以用目標優化問題，最終求得被測圓柱體的極限當量直徑，如下：

式中：優化問題的最優解deq，m—實際基準圓柱體的極限當量直徑；Pm—被測圓柱體上的點第三次移動后在局部坐標系中的坐標值；nVA，L—軸線方向向量在局部坐標系中的坐標，為了便于理解和計算，軸線方向向量在局部坐標系中的坐標nVA，L=（0，0，1）；Pb，m—被測圓柱體上的點第二次移動后在局部坐標系中的坐標值；PA，n—基準圓柱體上的點第二次移動后在局部坐標系中的坐標值；R（dα，dβ）—旋轉矩陣；DvA—基準圓柱體A 的最大實體實效邊界MMVBA的直徑；（dx，dy，0）—實際基準圓柱微小平移向量；dα—實際基準圓柱體繞局部坐標系x 軸的微小旋轉弧度；dβ—實際基準圓柱體繞局部坐標系y 軸的微小旋轉弧度；LA—基準圓柱體的名義長度。

雙重公差原則同軸度誤差評定方法的詳細推導過程可參考本研究團隊唐哲敏師兄的相關研究[9]，在這里不復贅述。

3 正交試驗

正交試驗設計是針對復雜多因素多水平的試驗，用部分試驗代替整體試驗，通過對部分試驗分析進行尋優的一種設計方法。

在進行正交試驗前，首先要通過三坐標測量機（簡稱CMM）獲取實際被測零件的測點數據。使用掃描式CMM 進行測量時，需要考慮掃描式CMM 的工作原理。如掃描式CMM 在提取孔軸類零件內外圓柱面的數據點時，根據其工作原理即掃描路徑，必須考慮掃描角度A、光條方向間隔B 以及掃描間隔C 等至少3 個因素對于測量的影響。

（1）掃描間隔A：光條與光條之間的橫向間隔。

（2）光條方向間隔B：光條與光條之間的縱向間隔。

（3）掃描角度C：幾個角度可以掃描完整的圓柱面。

通過正交試驗的設計找到顯著的影響因素，首先確認試驗目的（試驗指標），然后按照顯著影響因素的測量方法進行多組重復試驗得到結果均值。編制正交試驗方案前準備如下：

①確定試驗指標：這里孔軸類零件的極限當量直徑。

②選因素定水平：影響因素是掃描式CMM 的掃描角度、掃描間隔和光條方向間隔。

③選擇合適的表頭：根據掃描式CMM 的說明手冊，A、B 因素的3 個水平，如表1 所示。C 因素根據個人經驗通常至少需要3個掃描角度掃描完整的孔軸類零件。

表1 表頭設計Tab.1 Orthogonal Table

正交試驗作為評定的關鍵測量策略貫穿了依從不確定度的整個評定過程，并為規范不確定度、執行不確定度和方法不確定度的評定提供了可靠的數據和更優化的測量方法。

4 依從不確定度

在國家標準[10]和新一代GPS 標準理論與應用[1]中給出新一代GPS 不確定度的組成，依從不確定度在測量不確定度基礎上增加了規范不確定度，使得規范的圖紙、合理的檢測方法和準確的測量設備對產品的合格性都會有一定影響。

4.1 規范不確定度

規范不確定度是指實際要素/要素的實際規范操作集內在的不確定度。

對于同一種規范，由于不同的檢測人員有不同的選擇，所以產生了n 種選擇。當選擇較多時，可根據貝塞爾公式法（2）、（3）公式求得同一規范下的規范不確定度。

式中：xs—同一規范下第s 種選擇測量結果的均值；us—以標準差形式表示的規范不確定度。

對于選擇較少時，規范不確定度采用極差法評定：

對于多種不同規范引起的規范不確定度，我們可以把它看作是一個黑箱模型，因此規范不確定度可簡單表示為：

式中：xi—基于黑箱模型的不確定度影響因素；yi—無關聯的規范不確定度影響因子；zi—有關聯的規范不確定度影響因子。在整個評定過程中包含了分離、提取、濾波和擬合等操作。規范不確定度來源于不同的檢測人員有不同的提取、濾波和擬合規范而產生的不確定度。

提取規范：正交試驗中所涉及的3 因素3 水平試驗共有33組提取數據。為了避免試驗的復雜和重復性以及其它規范算子的影響，選取3 個影響因素中的角度因素作為提取規范的影響因素。規范不確定度來源于不同的檢測人員可以選擇不同的角度，把最小外接圓柱擬合（減少優化問題的形式，降低編程成本）作為除考慮擬合規范對結果影響外唯一的擬合規范，以消除擬合規范對提取規范的影響避免重復考慮。

擬合規范：基準圓柱體的擬合通常采用最小區域法、最小外接法以及最大內接等方法。基于相同的提取規范下對基準的擬合方法不同也會造成計算得到被測圓柱體的極限當量直徑不同。

濾波規范：根據實驗室現有的實際情況，選擇上海研潤光機科技有限公司的圓柱度儀MC012-DY 作為濾波儀器。濾波的頻率UPR 根據評定基圓直徑與觸針針尖半徑之比以及測點數等條件選擇，不同頻率的濾波條件會直接影響到在相同提取和擬合規范下基準和被測圓柱體的外圓柱面測點，進而影響到被測圓柱體的極限當量直徑。

這3 種規范之間并沒有直接聯系，它們是不相關的。因此不同規范下的規范不確定度數學模型（6）可以進一步簡化，如式（7）所示。

根據實際情況選擇影響因素，共考慮到3 種規范不同引起的規范不確定度，如式（8）所示。

4.2 方法不確定度

方法不確定度是由實際規范操作集和實際檢驗操作集之間的差異產生的不確定度。

圖紙上的規范可能是不明確的，檢測人員根據圖紙選擇制定完整的規范，但由于實際檢測條件限制，只能選擇符合條件的檢驗操作，因此選擇了與理想檢驗方法近似的實際檢驗方法，這兩種方法之間的偏離就產生了方法不確定度。

主要是正交試驗選優得到最佳的測量方法并結合高于實際測量儀器精度的“理想測量儀器”（圓柱度儀）來達到忽略測量儀器的計量特性的目的。針對不同的方法得到的測量結果均值可以估計方法不確定度umt。

4.3 執行不確定度

執行不確定度（測量儀器的測量不確定度）是由實際檢驗中測量儀器的計量特性偏離理想計量特性而產生的不確定度。目前，執行不確定度來源的主要影響因素：測量的儀器、測量的環境、測量的人員、測量的方法等，采用靈敏度分析和誤差源分析法評定執行不確定度，過程復雜。基于不確定度評定的黑箱模型來評定執行不確定度。主要針對儀器的計量特性（示值誤差、分辨力等因素）以及重復性、復現性等特性進行分析。

4.3.1 示值誤差引入的不確定度

最大允許誤差MPE 通常由檢定證書或者試驗標定得到，根據檢驗規范為了得到示值誤差引入不確定度的合理估計，采用試驗標定的方法。

實驗中用到了掃描式CMM 和圓柱度儀2 種測量儀器，因此實驗最大允許誤差來自2 個測量設備在常規測量時，測量結果的最大差值。

示值誤差引入的不確定度uE=MPE·b。式中：b—誤差限。

4.3.2 分辨力引入的不確定度

測量系統的分辨力是系統固有的，因此，分辨力引入的不確定度=a2/12，式中：a—系統的分辨力。

4.3.3 重復性引入的不確定度

同一個操作人員、在同一個地點、同一時間內、用同樣的測量系統對同一個工件進行多組重復獨立測量。重復性引入的不確定度urt由在正交試驗相同影響因素（測量程序相同）下的測量結果不同引起的。

4.3.4 復現性引入的不確定度

不同的操作人員、不同的時間段、在不同的測量程序下對同一個工件進行多次重復獨立測量。復現性引入的不確定度urd是由正交試驗不同影響因素（測量程序不同）下的測量結果不同引起的。

4.3.5 合成執行不確定度

國家標準[11]規定，當分辨力引入的不確定度大于重復性引入的不確定度時，應用前者取代后者。

4.4 合成依從不確定度

新一代GPS 體系中，依從不確定度由規范不確定度、方法不確定度和執行不確定度共同組成，故依從不確定度uc滿足：

根據現有的計量技術規范[12]，關于測量不確定度的合成和表示方法來表示依從不確定度，即依從不確定度的擴展不確定度。

式中：uc—以合成標準不確定度形式表示的依從不確定度；kc—包含概率為c 時的包含因子。標準中明確指出，常規測量中，一般kc=2。表示由Uc=kcuc（kc=2）確定的概率分布近似正態分布時的包含概率為95%。

5 實例分析

某閥芯的尺寸與幾何公差規范（本節，單位為mm），如圖3所示。用這里的方法對給出的雙重公差原則同軸度零件進行依從不確定度評定。實驗室給定的三坐標測量機為Hexagon Metrology（Qing Dao）生產的GLOBAL CLASSIC SR 07.10.07，測量精度為0.003。

表2 實際零件的三角度正交試驗數據Tab.2 Three Angle Orthogonal Test Data of Actual Parts

涉及正交試驗、重復實驗等多組試驗，一一列舉數據龐大。因此只列舉一組三角度的正交試驗數據作為參考。

圖3 某閥芯的尺寸與幾何公差規范Fig.3 Dimensions and Geometric Tolerance Specification of a Spool

5.1 正交試驗

根據實例的規范要求，找到試驗的指標和影響因素，選取最優組合為依從不確定度評定提供試驗依據。

（1）試驗指標：被測圓柱體b 的極限當量直徑。

（2）選因素定水平：影響因素是掃描式CMM 的掃描角度、掃描間隔和光條方向間隔。

（3）正交表的選擇：存在重復試驗，考慮誤差列對實驗的影響，因此選擇L9（34）的正交表。

（4）表頭設計：如表1 所示。

（5）編制試驗方案：繪制3 因素3 水平的9 組試驗方案，如表3 所示。

表3 試驗方案Tab.3 Testing Program

（6）最優方案：最優組合為A1B1C2，分別對應表1 中的掃描間隔A 為0.5mm，光條方向間隔B 為0.5mm，掃描角度C 為4 個角度。

利用正交試驗提供的可靠數據，通過matlab 編程運算得到被測圓柱體的極限當量直徑。根據極限當量直徑計算規范不確定定度、方法不確定度及執行不確定度。最后，合成依從不確定度。

5.2 規范不確定度

實例中，產品規范技術文件并沒有指定檢驗規范和標準，檢測人員檢測時由于不完整的規范按照自己的理解選擇合適的提取規范、擬合規范和濾波規范。

5.2.1 提取規范

使用掃描式CMM 分別多次重復測量提取基于正交試驗中涉及的不同的提取角度下的基準和被測圓柱體A、b 的外圓柱面測點，以最小外接圓柱法擬合基準，通過matlab 編程并求解被測圓柱體b 的極限當量直徑，如表4 所示。

表4 不同提取角度下的被測圓柱體極限當量直徑Tab.4 Limit Equivalent Diameters of Considered Cylinders Under Different Extraction Angles

5.2.2 擬合規范

正交試驗選優后，把四角度掃描規范作為提取規范。然后在四角度提取規范下使用掃描式CMM 分別多次重復測量基于不同擬合規范下的基準和被測圓柱體A、b 的外圓柱面測點，通過Matlab 編程并求解被測圓柱體b 的極限當量直徑，如表5 所示。

表5 不同擬合規范下的被測圓柱體極限當量直徑Tab.5 Limit Equivalent Diameters of Considered Cylinders Under Different Association Specifications

根據表5，同理可以得到不同擬合規范下的規范不確定度分量us2=20.1μm。

5.2.3 濾波規范

標準GB/T 24632.2[13]關于濾波器的選擇是根據評定基圓直徑與觸針針尖半徑之比。依據實驗室現有的測量條件：上海研潤光機科技有限公司的圓柱度儀MC012-DY。因此，滿足要求的濾波UPR 及對應的被測圓柱體b 的極限當量直徑，如表6 所示。

表6 不同濾波規范下的被測圓柱體極限當量直徑Tab.6 Limit Equivalent Diameters of Considered Cylinders Under Different Filtration Specifications

根據表6，同理得到不同濾波規范下的規范不確定度分量：us3=7.6um。

5.3 方法不確定度

檢測人員通過對雙重公差原則同軸度評定的理解，進一步補充完整理想的檢驗操作集：由正交試驗得到的最優方案作為測量方案、依據最小外接圓柱法擬合基準和使用頻率響應為1～50upr 的圓柱度儀。根據方法不確定度的定義，找到由于方法不同造成的測量結果的實際值和理想值。實際值：掃描式CMM 對閥體A、b 段外圓柱面進行常規測量得到測點數據，通過matlab編程計算得到被測閥體b 的極限當量直徑（常規測量）。理想值：1～50upr 的MC012-DY 圓柱度儀對通過正交試驗選優后的測量結果進行濾波，通過matlab 編程計算得到被測閥體b 的極限當量直徑（正交試驗且經過濾波）。分別對閥體的基準和被測圓柱體進行9 組常規測量和正交試驗選優且經過濾波測量，計算得到被測閥體b 的極限當量直徑，如圖4 所示。

圖4 不同測量條件下的被測圓柱體極限當量直徑Fig.4 Limit Equivalent Diameter of Considered Cylinders Under Different Measurement Conditions

根據圖4 可知，式（9）中的，則方法不確定度umt=27.8um。

5.4 執行不確定度

執行不確定度分量，如表7 所示。

表7 執行不確定度分量Tab.7 Implementation Uncertainty Component

由表7 合成執行不確定度ui=15.1um。

5.5 基于雙重公差原則的依從不確定度

依從不確定度分量，如表8 所示。

表8 依從不確定度分量Tab.8 Compliance Uncertainty Component

由表8 合成依從不確定度uc=40.1μm。

由式（11）得到以擴展不確定度方式表示依從不確定度為Uc=80.2μm。

5.6 對比分析

基于相關文獻[7]對依從不確定度的評定結果，如表9 所示。

由式（8）得到以擴展不確定度方式表示依從不確定度為Uc=69μm 相比5.5 節的80.2μm，依從不確定度減少了14%。這個數量級說明這里的研究方法可以更全面地分析依從不確定度的影響因素，因此是有意義的。

表9 依從不確定度分量Tab.9 Compliance Uncertainty Component

6 結論

根據規范不確定度的定義，較全面地考慮了影響因素，利用正交試驗的方法，通過matlab 編程得到了方法不確定度值，與文獻[7]的方法相比，正交設計優化了測量方法，使得方法不確定度更加準確。這里研究方法雖然使依從不確定度更全面更準確，卻引起依從不確定度區域進一步變大。但只要保證設計規范明確且與檢驗者溝通一致，通過恰當的測量檢驗方法可以使不確定區域降到最低，提高產品檢驗的合格率從而減少產品的報廢率，降低成本。但由于其不確定度會隨著基準圓柱體的大小改變而發生不規則變化，因此將來的工作主要是通過蒙特卡洛模擬實驗的方法，補充評定基于雙重公差原則同軸度誤差評定方法的不確定度，使得不確定度評定更加可靠。