碰摩故障下轉子-MRD 系統的動力學特性研究

張桂昌 ，王 俊 ，馬 梁 ，李誠昊

（1.中國民航大學航空工程學院，天津 300300；2.天津大學內燃機燃燒學國家重點實驗室，天津 300072；3.天津大學仁愛學院，天津 301636）

1 引言

近年來，磁流變阻尼器的研究已經成為智能材料與結構領域里的一個重要分支。磁流變液作為智能材料，可在外加磁場的作用下，顯著改變其流變特性，且變化過程快速、連續、可逆、可控。這種材料在汽車、建筑、機械等領域得到廣泛的應用，被認為是最具前途的智能材料之一。

磁流變阻尼器是磁流變液的主要應用裝置之一，在變化的磁場作用下可主動改變其阻尼和剛度。作為一種半主動控制器，磁流變阻尼器被認為是被動控制裝置的理想替代裝置，并且已經在汽車、建筑和機械等領域的振動控制方面得到應用。1994 年文獻[1]最早發明了磁流變液，并成功將其應用于汽車離合器的開發。LORD 公司文獻[2-3]開發了應用磁流變阻尼器的各種裝置，如磁流變阻尼器、磁流變制動器及離合器等。日本科學未來會館安裝了兩個30t 的磁流變阻尼器，用于對建筑結構的減振[4]。文獻[5]成功開發出應用于山東濱州黃河公路大橋的磁流變阻尼器。同時磁流變阻尼器在轉子系統中的應用也逐漸受到關注，文獻[6]研究了不平衡激勵作用下磁流變阻尼器對轉子系統動力學特性的影響，發現在合理的激勵磁場條件下磁流變阻尼器能夠有效抑制轉子系統的振動。文獻[7-9]建立了基于Bingham 本構方程的磁流變阻尼器模型，研究了磁流變阻尼器的力學特性及轉子系統的不平衡響應，并搭建帶有磁流變阻尼器的轉子實驗臺，進行了一系列的實驗研究。文獻[10-11]基于磁流變液的雙線性本構方程，建立磁流變阻尼器動力學模型，并將其引入到轉子系統中，研究了磁流變阻尼器對轉子系統動力學特性的影響。文獻[12]利用兩個控制方程建立考慮熱效應的磁流變阻尼器模型，分析了溫度及電流對轉子系統穩態響應的影響。發現溫度的升高會降低磁流變阻尼器對轉子系統的振動抑制作用。盡管目前磁流變阻尼器對轉子系統動力學特性的影響已經有一些研究，且相關理論較為成熟，但是關于磁流變阻尼器對轉子系統碰摩故障的抑制還很少涉及。

利用有限元法建立了碰摩故障下轉子-磁流變阻尼器的動力學模型，其中磁流變液被考慮為雙線性材料。利用Newmark 數值積分法對轉子系統動力學方程進行求解，采用分岔圖、軸心軌跡圖及頻譜圖等進行對比分析，研究磁流變阻尼器對典型工況下轉子系統碰摩故障的抑制作用。

2 數學建模

帶有MRD 的碰摩故障轉子-滾動軸承系統動力學模型，如圖1 所示。

圖1 帶有MRD 的碰摩故障轉子-滾動軸承系統動力學模型Fig.1 Dynamics Model of Rotor-rolling Bearing System under the Rub-impcat Fault with MRD

圖中：Dd—圓盤直徑；Bd—圓盤厚度；DS—轉軸直徑；LS—轉軸長度。

轉軸被劃分為10 個單元，共11 個節點。每個節點包含兩個轉動和兩個平動自由度。在模型中考慮轉動慣量、剪切變形以及陀螺力矩的影響。將轉子系統的動能和勢能代入到Lagrange 方程中，可得到轉子系統的動力學方程：

式中：E—彈性模量；G—剪切模量；v—泊松比；I—轉動慣量；ρ—密度；A—截面面積；l—梁單元的長度；μ—剪切因子。

2.1 油膜力模型

MRD 及其坐標系統的簡圖，如圖2 所示。MRD 外環與基座固定，內環與鼠籠相連，其轉動被限制，只能做彎曲振動。h 為油膜厚度，其可表示為：h=c-eBcosθ，式中：c—轉子未發生變形時的初始間隙；eB—轉子離心距離；θ—油膜方位角。

圖2 MRD 坐標系統簡圖Fig.2 Coordinate System Diagram of MRD

基于雙線性磁流變液特性的MRD 油膜壓力分布表示為：

式中：η—未加磁場狀態下的磁流變液粘度；αη—粘度比，αη=ηc/η；ηc—硬核處的粘度；τy—屈服剪切應力；τc—硬核邊界處的剪切應力；油膜厚度對時間的導數；p′—油膜壓力相對于 Z 的一階導數；C1、C2—積分常數。

通過求解上述立方代數方程，可求得油膜壓力相對于Z 的一階導數。通過對p′進行積分可得油膜壓力：

式中：pA—大氣壓力，則磁流變阻尼器的阻尼力可表示為：

式中：R—MRD 半徑。該磁流變阻尼器阻尼力沿x 和y 方向的分力可表示為：

式中：xe、ye—內環在 x 和 y 方向上的位移。

本研究選取SG-MRF2035 型磁流變液，利用數值擬合法可得屈服應力和磁場強度之間的關系表達式為：

2.2 滾動軸承力模型

設軸承滾珠在內外滾道間等距排列，滾珠與滾道之間為純滾動。基于Hertz 彈性接觸理論，參考文獻[13]可得滾動軸承作用力表達式：

式中：Fbx、Fby—滾動軸承力在 X、Y 方向分量；Cb—赫茲接觸剛度；n—滾動軸承滾珠數目；α—滾動軸承接觸角；θi—第i 個滾珠角位置；ωcage—滾珠公轉的角速度；Ri、Ro—內外圈滾道半徑；μ—軸承間隙；H（·）—亥維賽函數，當括號中的數大于0時，其值為1，否則為0。

2.3 碰摩力模型

圖3 碰摩接觸接觸模型Fig.3 Rub-impcat Contact Model

轉靜子接觸力模型，如圖3 所示。δ0為初始轉靜子間隙，δr為圓盤徑向位移，當轉靜子接觸時，碰摩力可表示為：

式中：kr—碰摩剛度；

μr—摩擦系數；

xd、yd—圓盤在 x 和 y 方向的位移。

則碰摩力可表示為：

2.4 數值仿真參數的確定

本研究選取的轉軸、MRD、滾動軸承以及碰摩參數，如表1～表4 所示。

表1 轉軸模型參數Tab.1 Rotary Model Parameters

表2 MRD 模型參數Tab.2 MRD Model Parameters

表3 滾動軸承參數Tab.3 Rolling Bearing Parameters

表4 碰摩參數Tab.4 Misalignment-Rubbing Coupling Parameter

3 計算結果及分析

選取轉子典型工作轉速ω=1100rad/s 和ω=1580rad/s，研究磁流變阻尼器對轉子系統動力學特性的影響。典型轉速下系統響應的時間歷程圖、軸心軌跡圖、頻譜圖以及Poincaré 圖，如圖4～圖9 所示。每一個軸心軌跡中的紅色虛線表示碰摩發生的閾值。當，轉靜子剛好發生接觸。

在轉速ω=1100rad/s 時，系統圓盤處振動軸心軌跡圖、時間歷程圖、頻譜圖和Poincaré 圖，如圖4 所示。軸心軌跡圖紛繁復雜且與紅色虛線相交，說明轉子與靜子間歇性接觸。時間歷程圖比較復雜，無法判別系統的響應類型。Poincaré 圖中表現為無限個點聚集成一片云狀區域。由旋轉頻率、VC 頻率和碰摩故障頻率通過和與差的不同合成方式，產生了大量的低頻成分，在（0～f0）之間有明顯的連續譜。系統發生局部碰摩，且表現為混沌運動。

圖4 轉速ω=1100rad/s 時，系統響應的時間歷程圖、軸心軌跡圖、頻譜圖和Poincaré 圖Fig.4 Time History Diagram，Axial Trajectory Diagram，Spectrogram and Poincaré Diagram of System Response at Speed ω=1100 rad/s

ω=1100rad/s 時，MRD 對碰摩故障轉子系統響應的影響，如圖5 所示。由于轉子系統的響應能量是無限的，屬于功率信號。因此定義平均功率Pr來描述碰摩故障的嚴重程度。Pr=1/（Tn-Tm）為轉子嵌入靜子的深度。Tm和Tn分別為轉子系統穩態響應的起始和終止周期。定義ξc描述磁流變液在MRD 中的狀態。其表示為：ξc=Vˉc/V，其中Vc為平均硬核體積，V 為MRD 內外環之間總的油膜體積。

從圖中可以發現，在I=［0，1.4］A，ξc以兩個不同的斜率從 0增加到84.53%，然后到達飽和狀態，并保持不變。從圖5 中還可以看出，當電流從0A 增大到0.2A 時，基本保持不變。

轉速ω=1100rad/s 時，不同電流作用下系統動力學響應的對比，如圖6 所示。在波形圖中，洋紅色的虛線表示圓盤中心徑向位移的閾值，當 δr/δ0＝1 時，碰摩發生。當 I=0.2A 時，與 I=0A 相比，其頻譜圖中的非線性得到有效的抑制，并出現較弱的1/2 倍頻。1 倍頻幅值由0.133mm 增大到0.144mm，增大約7.6%。軸心軌跡表現為兩個穩態的橢圓。這些現象表明在碰摩程度較低的狀態下，MRD 對其影響較弱，但是其對轉子系統的非線性有較好的抑制，并使其穩定性增強。

隨著電流的增大，在I=［0.2，1.4］A，碰摩程度逐漸增強。當I=0.4A 時，和 I=0.2A 時相比，其 1 倍頻幅值由 0.144mm 增大到0.18mm，幅值增大約20%。波形圖中的幅值大于1，這意味著轉子系統發生了全周碰摩。軸心軌跡圖表現為一穩態的橢圓。系統做1 倍周期運動。

以上現象表明，在這個電流區域，MRD 的阻尼影響較弱，然而其剛度影響增強，這使得系統的同步振動能量增強。在這種情況下，盡管碰摩的能量增加，但是碰摩由局部碰摩變為輕微的全周碰摩，系統的穩定性增強。

當電流大于1.25A，MRD 達到準剛性支承狀態，Pr基本保持不變。當I=1.4A 時，和I=0.4A 時比較，發現MRD 的剛度效應進一步增強，使得1 倍頻幅值由0.253mm 增加到0.532mm，增幅約52.4%。波形圖中的穩態幅值更高，這意味著碰摩更加嚴重。與此同時，頻譜圖中出現非協調頻率成分，軸心軌跡圖表現為非穩態的橢圓。通過以上的分析可以發現，在高電流區域，MRD 使系統的非線性增強，系統變的不穩定。

圖5 轉速ω=1100rad/s 時，MRD 對碰摩故障轉子系統動力學響應的影響Fig.5 Influence of MRD on Dynamic Response of Rubbing Fault Rotor System with Rotating Speed ω=1100rad/s

圖6 轉速ω=1100rad/s 時，不同電流作用下系統動力學響應的對比Fig.6 Comparison of Dynamic Response of System under Different Currents when the Speed is ω=1100rad/s

在轉速ω=1580rad/s 時，系統圓盤處振動軸心軌跡圖、時間歷程圖、頻譜圖和poincare 圖，如圖7 所示。圓盤中心的軸心軌跡圖中有三個圈。頻譜圖中出現除主要頻率f0外的1/3f0頻率成分。Poincare 截面中出現3 個點，這是典型的3 倍周期運動。

ω=1580rad/s 時，MRD 對轉子系統響應的影響，如圖8 所示。由圖可知，與ω=1300rad/s 時相比，ξc表現出相似的變化趨勢。當I=0.65A 時，ξc達到飽和狀態，其值約為 91%。

對于 Pr，其在 I=［0，0.2］A 近似呈線性減小。由圖9 可知，當I=0.2A 時，由碰摩引起的1/3 倍頻幅值得到較好的抑制。其幅值由0.062mm 減小到0.003mm，降幅約95.2%。與電流I=0A 時相比，1 倍頻幅值有微弱的增加。轉子軸心軌跡更小。轉子系統仍然表現為3 倍周期運動。以上現象表明，隨著電流的增加，MRD 對3 倍周期局部碰摩有較好的抑制作用。當電流大于0.2A 時，Pr幾乎保持不變，直到I=0.35A。

圖7 轉速ω=1580rad/s 時，系統響應的時間歷程圖、軸心軌跡圖、頻譜圖和Poincaré 圖Fig.7 Time History Diagram，Axial Trajectory Diagram，Spectrogram and Poincaré Diagram of System Response at Speed ω=1580rad/s

隨著電流的增大超過0.35A，Pr近似呈線性增加。通過對比I=0.4A 和 I=0.2A 時的響應，可以發現，1 倍頻幅值由 0.125mm 增大到0.137mm，增幅約為8.8%。頻譜圖中出現非協調頻率成分。軸心軌跡圖表現為非穩態的橢圓。通過以上對比分析可得，隨著電流的增大，MRD 剛度增大，使得系統的同步渦動能量增大。與此同時，轉子系統的非線性增強，使得系統變得更加不穩定。

圖8 轉速ω=1580rad/s 時，MRD 對碰摩故障轉子系統動力學響應的影響Fig.8 Influence of MRD on Dynamic Response of Rotor System with Rub-impact Fault at Rotating Speed ω=1580rad/s

圖9 轉速ω=1580rad/s 時，不同電流作用下系統動力學響應的對比Fig.9 Comparison of System Dynamic Response under Different Currents at ω=1580rad/s

當電流大于0.7A 時，MRD 達到準剛性支承狀態，Pr基本保持不變。通過比較I=0.4A 和I=1.4A 時的響應發現，在高電流區域，轉子系統的非線性得到抑制，系統更加穩定。與此同時，在這種情況下，碰摩的半速同步渦動被激發。

4 結論

（1）對局部碰摩狀態下轉子系統發生的混沌運動，施加合適的電流作用，MRD 能有效的對其非協調頻率進行抑制，改變轉子系統動力學方程解的拓撲結構，使其向周期解發展。在一定的電流范圍內，MRD 能夠使系統由輕微的局部碰摩變為輕微的全周碰摩，可增強系統的穩定性。（2）對局部碰摩狀態下轉子系統發生的倍周期運動，施加合適的電流作用，MRD 能夠有效的對其分頻進行抑制，使系統由重度的局部碰摩變為輕微的局部碰摩。（3）如果采用過大的電流作用，將會加重MRD 的非線性動力學響應，使系統產生非協調頻率成分，這不僅對于故障轉子系統的減振效果降低，還使系統的穩定性越發惡化。