RV 減速器擺線輪齒廓曲線的曲率影響因素研究

張躍明，王 巍，紀姝婷

（北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124）

1 引言

RV 減速器（Rotary Vector Reducer）是工業機器人的核心部件，而擺線輪是RV 減速器的關鍵零部件[1-2]。擺線針輪傳動是一種新型傳動，關系這種傳動效率很重要的參數就是擺線輪齒廓曲線的曲率，對擺線輪齒形的設計至關重要。當前國內技術對擺線輪的設計方面還處于不完善狀態[3-4]。擺線針輪行星傳動也遵循齒輪傳動的一般規律，在齒廓曲線拐點處傳動性能較好，傳動效率較高，曲率的變化情況直接影響齒輪傳動的好壞[5]。對齒面磨損與潤滑、計算輪齒的接觸疲勞強度、接觸區域的變形以及齒廓修形都有直接的影響[6]。目前，嚙合線、重合度、傳動誤差在擺線針輪傳動中都有學者研究[7-8]，還有一部分學者研究了漸開線齒輪的曲率變化情況[9-10]，文獻[11]研究正交面齒輪傳動中齒面曲率，推導了面齒輪傳動的齒面主曲率和主方向；文獻[12]研究了外壓橢圓封頭當量曲率半徑，分析了當量半徑的取值方法；文獻[13]用包絡法討論了誘導法曲率，先討論了相對法曲率和相對主曲率，最后討論了誘導法曲率和綜合曲率。雖然很多學者都對曲率進行了研究，但是對擺線輪齒廓曲線的曲率研究卻很少，其中各參數的變化對擺線輪齒廓曲率的改變在國內參考文獻中尚是一片空白。因此，有必要分析和探討各參數對擺線輪齒廓曲線的曲率變化的影響，這對擺線輪齒廓修形、擺線針輪傳動裝置的設計和研發具有重要的指導意義。

針對擺線針輪行星傳動機構的嚙合特性，推導了擺線輪齒廓曲線的曲率和拐點解析式，詳細分析了幾何參數對拐點位置的影響規律，計算出在一個擺線輪齒廓凹凸區間上曲率最大值和最小值，并且深入研究了幾何參數對曲率變化快慢的一般規律。

2 擺線輪齒廓

2.1 擺線輪齒廓方程

為擺線針輪行星齒輪傳動機構，該機構主要由擺線輪、針齒殼和機架三部分組成，如圖1 所示。根據擺線輪與針輪的相對運動關系，擺線輪既有繞針齒分布圓的中心公轉，也有繞自身幾何中心的自轉，因此可以建立坐標系，如圖2 所示。讓坐標系XcOcYc與擺線輪固定，讓坐標系XpOpYp與針齒殼固定在一起。研究的是針對針齒殼固定，所以固定坐標系X0O0Y0與針齒殼坐標系XpOpYp重合。在初始位置時，Xc軸與X0軸重合，Yc軸與Yp軸是平行的。由齒輪嚙合原理可以知道，擺線輪與針輪之間的嚙合傳動，相當于擺線輪的節圓和針齒輪的節圓做內切的純滾動。點P 為節點，如圖是兩圓初始嚙合位置，初始嚙合節點為P0，擺線輪的節圓圓心Oc繞針齒輪節圓圓心Op轉過角度為θp，則小圓滾過的角度為θc，則可以得到動軸與定軸之間的夾角：Δθ=θc-θp。

圖1 擺線輪齒廓曲線的形成Fig.1 The Formation of Cycloidal Profile Curve

在兩圓轉動過程中，針齒中心A 在動坐標系XcOcYc上形成的是短幅外擺線，實際擺線輪齒廓是短幅外擺線的內側等距曲線，因此，可以通過坐標轉換求得擺線輪齒廓方程。針齒分布圓半徑為rp，滾針半徑為rrp，偏心距為a，擺線輪和針輪齒數分別為Zc和Zp。點A 在坐標系XpOpYp的位置向量為：

坐標系XpOpYp到X0O0Y0的轉換矩陣Mcp為：

則點A 在動坐標系XcOcYc中形成的短幅外擺線為：

將式（1）～式（2）代入上式，即可得到：

式中：ih=Zp/Zc—擺線輪與針輪的傳動比擺線輪齒廓曲線Wc 的單位法向量nc：

式中：K=a*Zp/rp—短幅系數

即可得到擺線齒廓曲線的短幅外擺線的等距曲線：

3 擺線輪齒廓曲率相關公式計算

3.1 曲率和曲率半徑

擺線輪齒廓是短幅外擺線的等距曲線，參數選取不合理會影響到齒廓形狀進而影響到RV 減速器的傳動性能。根據曲線曲率半徑的基本定義可得擺線理論齒廓在任意一點處的曲率半徑為：

將式（4）中對應的 x、y 分別對 θp求導，為了計算方便，令 θp=ψ 代入上述公式，可得到短幅外擺線的曲率半徑為：

實際齒廓曲線的曲率半徑為：

根據曲率半徑與曲率的數學關K=1/p 可以得到曲率的表達式：

3.2 擺線輪誘導法曲率

誘導法曲率是嚙合理論的重要內容，是研究兩個相切曲面相對彎曲程度的量，是決定該傳動裝置潤滑條件好壞和接觸強度大小的重要因素[13]。計算曲面的誘導法曲率可以為評價新型傳動裝置，選擇最佳參數組合及探索新型傳動裝置提供理論依據[14]。

對于擺線輪與針輪的嚙合，由于針輪半徑為定值，所以沿切線方向的法曲率為kn2=1/rp，擺線輪沿切線方向的法曲率為kn1。

在任意凸區間接觸點處擺線針輪嚙合的誘導法曲率：

在任意凹區間接觸點處擺線針輪嚙合的誘導法曲率：

3.3 齒廓曲線拐點

拐點是曲線二階導數為0 的點，是曲線凹凸特性改變的臨界點，因此在研究各參數對曲率的影響之前對拐點所在位置的研究很有必要性。

一般情況下，曲率半徑和曲率都為正數，對于分析曲線的拐點特性，最好不要取絕對值，以便于區分擺線的凹凸變化。擺線輪齒廓一個輪齒的曲率半徑隨曲柄轉角ψ 的變化，如圖2 所示。

圖2 齒廓曲線曲率半徑Fig.2 Curvature Radius of Tooth Profile Curve

齒廓曲線曲率，如圖3 所示。

圖3 齒廓曲線曲率Fig.3 Curvature of Tooth Profile Curve

結合圖3 對式（11）分析，曲線凹凸特性發生改變對應的曲柄軸轉角：

將曲率式（11）對曲柄軸轉角ψ 求導，則曲線曲率在極值處對應的曲柄軸轉角：

4 擺線齒廓特性分析

擺線針輪傳動是少齒差傳動的一種，RV 減速器主要應用一齒差，用途并不廣泛，但是隨著工業的快速發展，機器人需求量開始逐漸增大，RV 減速器型號也開始增多，參數化設計就顯得至關重要[15]。所以有必要將擺線輪參數對擺線輪齒廓曲線曲率的影響進行分析。

以本實驗RV-20E 減速器為研究對象，各數據為：針齒分布圓半徑rp=52.5mm，偏心距a=1mm，針輪半徑rrp=1.25mm，針齒數Zp=40，ih=40/39。

表1 RV-20E 減速器主要參數Tab.1 The Main Parameters of RV-20E Reducer

4.1 擺線齒廓曲線的拐點位置變化情況

由圖2 可知，曲柄軸轉角在［0，π/2］區間和［π/2，π］區間曲率半徑呈對稱分布，分別存在曲率半徑突變的點。根據曲率半徑與曲率的數學關系k=1/p，可知在該點曲率應為0。為了形象描述其變化規律，作出曲率與曲柄軸轉角的圖3 便于對拐點位置進行分析。

當曲線曲率半徑>0 時，曲線內凹，曲率半徑<0 時，曲線外凸。在曲線由內凹到外凸的變化中會出現拐點，由曲率圖（3）可知，在區間［0，2π］，曲率曲線在兩個位置曲率為0，存在對稱拐點。因此，求出k=0 所對應的曲柄軸轉角，即可求出拐點位置同擺線輪齒廓參數的關系。由式（14）求得的拐點位置對應的曲柄軸轉角公式，影響拐點位置的參數有偏心距a、針齒分布圓半徑rp和針齒數Zp。

4.1.1 偏心距對拐點的影響

偏心距對拐點位置的影響，如圖4 所示。偏心距對拐點的位置影響很大，偏心距在（0.2～1）mm 之間，拐點坐標位置以拋物線形式減小，偏心距大于1mm 后，拐點坐標位置以近似指數形式減小，逐漸向齒根方向靠近。總的來說，隨著偏心距的增大，拐點位置不斷向齒根移動，從而會增強齒根位置的傳動性能。

圖4 偏心距對拐點位置的影響Fig.4 The Effect of Eccentricity on the Position of the Inflection Point

4.1.2 針齒數Zp對拐點的影響

齒數對拐點位置的影響，如圖5 所示。

圖5 齒數對拐點位置的影響Fig.5 The Effect of the Number of Teeth on the Inflection Point

在擺線針輪行星機構中，擺線輪與針齒一般相差一個針齒。針齒數影響著擺線齒廓曲線的拐點位置的移動。由仿真的圖5，拐點坐標位置隨著齒數的增加，以接近一次函數形式遞減，逐漸向齒根方向靠近。因此，在設計擺線針輪減速器時，需要綜合考慮擺線輪齒數與擺線輪齒廓曲線拐點位置的關系，在良好的傳動性能條件下，選擇合適的針齒數以保證不同條件下對傳動性能的要求。

4.1.3 針齒分布圓半徑rp對拐點位置的影響

針齒分布圓半徑對拐點位置的影響，如圖6 所示。不同于針齒數Zp和針齒分布圓半徑rp對曲線拐點的影響，由仿真得出的結果分析，隨著針齒分布圓半徑增大，拐點坐標位置以近似二次拋物線逐漸增大，逐漸遠離齒根，其中，針齒圓半徑在區間（45～50）mm，拐點位置變化迅速，在（45～60）mm 之間變化緩慢。增大針齒分布圓半徑，有利于增強齒頂方向的傳動性能。

圖6 針齒分布圓半徑對拐點位置的影響Fig.6 The Effect of Circular Radius on Inflection Point

4.2 擺線齒廓的曲率在凹凸區間的變化規律

MATLAB 仿真出實際齒廓曲線的曲率隨曲柄軸轉角的變化圖像，如圖3 所示。在［0，ψ1］區間內，為凹區間，曲率為正，曲率的最大值在曲柄軸轉角為0 時刻，帶入曲率公式（11），得出最大曲率Kmax=0.7412，此時對應的最小曲率半徑為pmin=1.3510。最小曲率為0，對應曲柄軸轉角為ψ1。在［ψ1，π］區間內，為凸區間，曲率最小值在曲柄軸轉角為ψ2時刻，代入本實驗室RV 減速器參數最小曲率為Kmin=-0.3386。

4.3 各因素對曲率變化快慢的影響

擺線針輪傳動是一種新型傳動，它的一個很重要的參數就是齒廓曲率，對齒廓曲率的分析有利于擺線輪修形和計算輪齒接觸力，因此研究曲率的變化有利于提高擺線針輪傳動效率。

4.3.1 偏心距對曲率的影響

圖7 偏心距對曲率的影響Fig.7 The Effect of Eccentricity on Curvature

偏心距對曲率的影響，如圖7 所示。對應相同的曲柄軸轉角，曲率最小值隨著偏心距的增大而減小，曲率的最大值隨偏心距a 的增大而增大。曲率在齒根附近變化迅速，在齒頂附件曲率變化平緩，隨著偏心距a 的增大，曲率在齒根附件變化越來越迅速，在齒頂附件齒廓曲線的曲率隨著偏心距a 的增大波動逐漸加大。

4.3.2 針齒分布圓半徑對曲率的影響

針齒分布圓半徑對曲率的影響，如圖8 所示。對應相同的曲柄軸轉角，由圖8 分析，針齒分布圓半徑的增大使擺線輪齒廓曲率的最小值和最大值隨之變大；同時，針齒分布圓半徑的增大，拐點所在位置逐漸向齒頂方向靠近，曲率的變化在靠近齒根方向開始減緩，曲率大小在齒頂方向變大，但在齒頂方向曲率的波動基本保持不變。

圖8 針齒分布圓半徑對曲率的影響Fig.8 The Effect of Circular Radius on Curvature of Needle Teeth

4.3.3 針齒半徑對曲率的影響

針齒半徑對曲率的影響，如圖9 所示。由圖9 分析，曲柄軸轉角相同，曲率最小值隨著針齒半徑rrp的改變基本保持不變，曲率的最大值隨著針齒半徑的增大先保持減小最后趨于不變。增大針齒半徑，不會影響齒廓曲線拐點所在的位置，曲線的曲率在齒頂方向的波動也不受影響，但是，隨著針齒半徑的增大，曲線的曲率在齒根方向的波動會逐漸減緩。

圖9 針齒半徑對曲率的影響Fig.9 The Effect of the Radius of the Needle on the Curvature

5 結論

（1）基于齒輪嚙合原理的方法對擺線針輪傳動進行了分析，推導出了擺線齒廓曲率公式和擺線輪與針輪嚙合的誘導法曲率公式。

（2）擺線輪齒廓在齒根到齒頂區域分別存在一個對稱拐點。

（3）擺線輪齒廓曲率在齒根附近變化迅速，在齒頂附近變化平緩，在內凹的齒廓區間，曲率的最大值在齒根處，最大值為0.7412；在外凸的齒廓區間，曲率的最小值并不在齒頂，而在曲柄軸轉角為ψ2處，對應的最小值為（-0.3386）。

（4）擺線輪偏心距a、針齒分布圓半徑rp的改變都會影響齒廓曲率的波動，增大擺線輪偏心距a 或減小針齒分布圓半徑rp會使擺線輪齒廓的拐點所在位置向齒根方向靠近，這與前面分析的影響拐點參數的結果相吻合，說明了分析的準確性。因此在設計擺線輪時，減小偏心距a 或增大針齒分布圓半徑rp均有利于改善擺線輪齒廓在齒頂方向的傳動性能。另一方面，針齒半徑的改變不會影響擺線輪齒廓曲率在齒頂方向的波動，也不改變擺線輪齒廓曲線的拐點位置。

（5）通過分析擺線輪各參數對擺線輪齒廓曲線拐點位置和齒廓曲率的影響，對擺線齒廓修形和分析擺線針輪的傳動提供理論幫助。