素養導向下的習題課教學設計*
——以橢圓及其幾何性質習題教學為例

廣東省東莞高級中學 (523128) 劉心華

習題課是高中數學課的主要課型之一.新修訂的《普通高中數學課程標準》(2017年版)提出高中生在數學學習中應培養好數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大核心素養，其基本框架是以培養“全面發展的人”為核心.習題是發展學生數學學科核心素養的平臺，“看過問題三百個，不會解題也會問”.新課標要求在教學活動中，教師應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境和問題，引導學生用數學的眼光觀察現象、發現問題，使用恰當的數學語言描述問題，用數學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的形成和發展.

二、教學設計

橢圓是圓錐曲線部分所學的第一種曲線，橢圓及其幾何性質研究的內容、方式及方法，對進一步研究雙曲線和拋物線及其幾何性質，起到一個示范作用．

以下橢圓的習題課教學設計，從一道課本習題入手，探求問題解法并對其進行變式引申，讓學生掌握一類焦點三角形問題的解答，幫助學生理解橢圓的幾何性質及一般解題方法和規律，發展能力，感悟思想，積累經驗，培養學生的數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

1、創設情景、引入新課

設計意圖：這是原人教版《數學》選修2-1習題2.2A組第6題，本節課把它作為典型探究性問題，是因為該題可把與橢圓焦點有關的性質、面積問題的處理方法等知識聯系起來，問題處于知識的交匯點上，學生入手容易.

2、自主探究、合作學習

教師用幾何畫板展示本題的圖形，學生獨立思考嘗試解答問題，教師巡視，指導學生通過作圖、找關鍵詞理解題意，用數學語言、圖形語言、符號語言翻譯轉化問題的條件和結論，引導學生用多種方法解題，指導學生在學習小組內進行交流、討論．

設計意圖：多媒體展示本題的圖形，引導學生自主獲取資源，為學生解決問題提供直觀，為學生探索規律啟發思路，增強學生作圖、識圖、用圖的意識，熟悉題目的條件與結論，正確理解題意，尋找解法，提升數學抽象和直觀想象素養.

3、成果展示、匯報交流

設計意圖：學生1的解法應該也是大多數同學的解法，在解析幾何中，點通常用坐標來表示，要求點的坐標就要根據條件列出其坐標滿足的兩個方程組成的方程組．點在橢圓上，其坐標滿足橢圓方程是顯而易見的，關鍵是列出另一個方程．由于S△PF1F2=1，聯想三角形面積的計算公式，就可列出一個方程，從而求解，問題的解答體現了坐標法和方程思想的運用．

是否還有其他解法呢？有學生嘗試在焦點三角形中運用正余弦定理及面積公式求解：

師生探討：學生2是在焦點三角形中，通過正余弦定理及面積公式求解，思路是可行的，做不下去的原因是沒有找到θ角與P點縱坐標間的關系，下面一起來尋找問題解決方法：

設計意圖：學生2是在焦點三角形中運用正余弦定理及面積公式求解問題，幾何法的特點明顯，問題解決對三角函數運算能力要求較高，顯然這種解法比學生1方法要復雜，比較兩種解法可以感受到坐標法的簡潔性.反思學生2解法之所以復雜，其中一個主要因素是∠F1PF2的大小對解題的影響，如果∠F1PF2是一個特殊角，比如∠F1PF2=90°，情況會怎么樣呢？于是設計如下的變式問題.

學生解答并展示學生的解答如下：

設計意圖：解決焦點三角形問題要明確以|F1F2|為直徑的圓與橢圓的位置關系，用幾何畫板展示，當b、c大小關系變化時，驗證圓與橢圓的交點個數的變化情況．觀察當點P在不同的橢圓弧上運動時，∠F1PF2的大小變化情況，于是有下面的問題：

設計意圖：設計變式問題2是讓學生明確橢圓中的焦點三角形中有關角的問題常用處理方法，可以運用平面向量數量積的方法，也可運用正(余)弦定理的方法.橢圓上的點對兩焦點的張角以橢圓短軸端點最大，這一結論的推導需要學生有較強的邏輯推理和數學運算素養.

4、高考鏈接、本質變式

(1)(2018全國新課標Ⅱ文)已知F1、F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為( ).

設計意圖：習題課要引發學生的體驗學習，教師要確定通過什么樣的內容來提升發展學生，即提供恰當的教學材料，習題課中引入高考真題能很好地縮短了教學內容與學生的心理距離，更為具體，也更具操作性和活動性.

5、拓展延伸、遷移應用

(1)(2019年高考全國Ⅰ卷理科10)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0)，過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

設計意圖：問題(1)比前面的變式問題要復雜，需在橢圓焦點三角形中轉化兩個等式，結合橢圓定義找到|AF1|=|AF2|的等量關系，由|AF2|=2|F2B|得到點B的坐標，求得橢圓的標準方程.問題設計要考慮學生對解析幾何中通性通法的掌握程度，問題解決可以幫助學生提升數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算等學科核心素養.

設計意圖：問題(2)雖然不是焦點三角形問題，但問題解決的方法與思路完全可以借鑒前面的焦點三角形問題，所以有下面的方法一與方法二，這是習題課教學中的遷移應用.把一個看似未知的問題轉化為幾個已經具備的經驗可以解決的問題，是數學常規解題策略，這個任務不可能一蹴而就，但可以水滴石穿，進一步的挖掘，可以讓問題簡單化，應用價值就更高，看似一小步，其實一大步.

學生14：(方法二)設焦點在x軸上，點M(x,y)，過點M作x軸的垂線交x軸于點N，則N(x,0)故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)=

設計意圖：問題(3)的焦點三角形中涉及到角平分線的長度問題，在焦點三角形中運用正(余)弦定理、角平分線定理、面積公式等入手，解決看似有一定困難，但若將問題中的長度全部轉化為角度，運用三角函數的變換求解，問題很快得以解決.教師要基于教學目的去設計并引導學生的主動學習活動與學習進程，提供這樣的教學材料，能更好地促進學生解題活動，提升數學素養.

設計意圖：習題課的問題設計，要引發學生的積極思考和數學活動，教師不要因學生學習困難就降低難度，教師的作用就是要幫助學生成為教學的主體，主動去挑戰困難、克服困難，促進學生的發展，從現有水平主動積極地走向未來水平.

6、歸納總結、分層作業

(5)結合本節課的探究性問題，請自編一道“改變條件或改變結論”(特殊化、一般化)的變式問題．

設計意圖：作業是習題課的自然延伸，教師在布置作業時要尊重學生的差異，找準學生學習的最近發展區，優化設計階梯式分層作業，讓不同層次學生選擇，達到相應單元的學業要求，同時更深層次地喚醒學生對數學學習的需要，實現不同的人在數學上得到不同的發展.

三、教學反思

本節習題課設計了環環相扣的問題鏈，充分體現了以發展學生數學核心素養為導向的教學理念.從一道課本習題引入新課，引導學生自主探究合作學習,鼓勵學生充分發表自己的感受和見解，讓學生在問題解決的過程中充分參與課堂活動.變式問題1比課本習題入手更容易，學生可以從更多的角度切入解題，讓不同水平的學生思維都動起來.變式問題2的設計讓學生在解決問題的過程中，通過學生自己的思維活動進一步將符號化的知識打開，將靜態的知識激活，全身心地體驗問題豐富的內涵與意義.高考鏈接本質變式題組的設計是讓學生再次經歷問題解決的關鍵環節，讓學生與自己正在學習的內容之間建立一種緊密的聯系，通過解題活動去把握數學問題的本質，發展著學生的思維品質，提升學生的核心素養. 拓展延伸遷移應用題組的設計抓住了知識生長點，又扣住了問題的本質，有濃濃的數學問味.在習題課教學活動中，遷移應用是對本質變式的印證與檢驗，有聯想才能有遷移，有結構才能去應用.歸納總結分層作業設計了必做題與選做題，必做題由易到難、結構由簡單到復雜、要求由低到高，學生人人都有會做的題，個個都有信心去嘗試，給不同層次的學生創造了成功的機會.