一道指對混合型不等式高考題的解法探究*

新疆烏魯木齊市實驗學校 (830026) 符強如新疆烏魯木齊市第97中學 (830022) 雷高龍

縱觀近幾年的高考導數壓軸題，其中一類指數、對數混合型求參數的取值范圍綜合問題處理起來比較棘手，也具有較強的區(qū)分度.下面就以一道高考導數真題來具體闡述筆者的思考.

1 問題呈現及背景

題目已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

背景:這道題是2020年新高考全國卷理數21題，從問題表述來看，傳承了全國卷高考命題樸實、簡約、穩(wěn)健的風格.從函數的角度考察指數、對數混合型問題.而現階段以指數函數與對數函數為載體的導數與含參恒成立求解參數范圍問題，在高考壓軸題中頻繁出現，它不僅考查了考生的邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養(yǎng)，并對要求考生具備較高的思維能力，不愧起到了壓軸的功能.

2 多個視角探究

視角1：直接構造

證明函數不等式恒成立的首選方法就是直接構造，也是師生在解題過程中最常用的方法.由于恒成立的不等式中同時含有指數函數和對數函數，所求構造函數的最值往往涉及到導函數零點問題存在卻不易求解情況，一般可選擇設而不求，整體代換化簡的思路，即隱零點問題處理策略，有時還會涉及到放縮.

視角2：放縮

改頭換面進行合情合理放縮.在使用放縮法時要注意把握放大或縮小的度.常見的指對函數放縮來源于人教A版數學選修2-2第32頁B組第一題,即ex≥x+1,x-1≥lnx.此題可將ex,lnx同時改頭換面放縮成直線，就可比較快速解決.

設g(x)=ex-x+1,g′(x)=ex-1,易得g(x)在(-∞，0)上單調減，在(0,+∞)上單調增,故g(x)mix=g(0)=0，∴ex≥x+1，由兩邊同時取對數可得x≥ln(x+1)，易得x-1≥lnx.由ex≥x+1可得aex-1=elna+x-1≥lna+x-1+1,由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.故f(x)≥lna+x-1+1+1-x+lna，(當x=1時取等號).∵f(x)≥1，∴2lna+1≥1，∴a≥1.

也可以從這個角度去放縮由ex≥x+1可得aex-1≥ax，由x-1≥lnx可得-lnx≥1-x.∵f(x)=aex-1-lnx+lna≥1，∴ax-x+1+lna≥1，∴(a-1)x≥-lna恒成立.當0

視角3：指對分離分而治之

指對分離分而治之是將對數式和指數式分離成兩個獨立的函數，分別求最值即可，為方便計算，我們一般分離構造的兩個獨立函數的“凹凸性”是相反的，利用公切線作為兩曲線的分界線，就將復雜的指對混合型不等式轉化為兩個簡單的不等式.值得一提的是有時分離的兩個函數不存在最值時還需要適當變形.

視角4：指對互化換元構造

有些指對混合型的不等式中不僅存在x+lnx還存在xex，此時可以利用指對恒等式x=elnx將x+lnx=ln(xex),xex=ex+lnx轉換為只含有xex或x+lnx問題，再進行構造函數快速解決.由題f(x)≥1可得aex-1-lnx+lna≥1恒成立,∴elnaex-1+lna+x-1≥lnx+x.∴elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx成立.故可構造h(x)=x+ex，h′(x)=ex+1>0，∴h(x)在x∈R上單調增.易得h(lna+x-1)≥h(lnx)，∴l(xiāng)na≥lnx-x+1，由x-1≥lnx易得lna≥0,∴a≥1.

也可如下構造：由題可得aex-1-lnx+lna≥1，∴elna+x-1-(lna+x-1)-1+(x-lnx-1)≥-2lna可構造函數，易得h(x)=ex-x-1，易得h(x)min=0，故可得-2lna≤0，∴a≥1.

評注：不同的表征形式其求解著眼點就有不同，其求解思路切入各有其特征、使用的范圍和求解步驟.因其求解的思路與著眼點相同，所以表現出得解題過程難易程度就有深有淺.角度1：對隱零點的范圍判斷是一個難點，本文從極限角度出發(fā)判斷零點的存在；角度2：改頭換面進行放縮，雖然有時很簡捷但卻具有一定的局限性；角度3：需要敏銳的眼光，才能找到凹凸性不同的兩個函數，選擇分離指對函數分而治之去解決；角度4：通過指對恒等式變形后能較好找到構造的函數再根據單調性去解決.

3 解題反思

平時我們的解題教學，利用所有有用的條件，進行觀察、聯想、對比，采取“一題多解”的形式，不僅能使同學們的思維定勢得到改觀，還可以使所學的知識得到到靈活運用，進而開拓思路，這對培養(yǎng)學生思維的廣闊性、探索性、深刻性、獨創(chuàng)性、靈活性等無疑是一條非常有效的捷徑.作為教師也有必要為學生的知識延伸和深度做指導，唯有如此，我們的復習才能真正優(yōu)質高效，學生認知結構才能更加穩(wěn)定，數學核心素養(yǎng)的培育才能深入落實.