2020年上海春考反函數(shù)壓軸題引發(fā)的思考

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (200241) 李 洋 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (430072) 周照杰

反函數(shù)是上海高中教材中比較重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，也經(jīng)常出現(xiàn)在上海高考的壓軸題位置．本文對(duì)2020年上海春考數(shù)學(xué)試題第12題進(jìn)行展開(kāi)，分析y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)與交點(diǎn)位置問(wèn)題，并在此基礎(chǔ)上討論高中階段比較重要的兩類函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與其反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象交點(diǎn)問(wèn)題．

1 試題呈現(xiàn)

評(píng)析：縱觀近幾年上海高考數(shù)學(xué)試題，小題的壓軸題經(jīng)常涉及對(duì)學(xué)生分析與轉(zhuǎn)化問(wèn)題能力的考查．第12題和第16題一般以動(dòng)靜結(jié)合的題目為多，常考查基本圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等基本運(yùn)動(dòng)形式，這就需要學(xué)生把握好運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界情況(即靜止?fàn)顟B(tài))．本題作為壓軸題呈現(xiàn)，考察原函數(shù)與反函數(shù)所組成方程的解的問(wèn)題，要是直接代數(shù)求解，無(wú)疑增加了問(wèn)題的運(yùn)算且難以處理．這就需要我們熟悉原函數(shù)與反函數(shù)的一些基本性質(zhì)．

2 基本性質(zhì)

引理1y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

引理2 若y=f(x+a)存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y=f-1(x)-a(有興趣的讀者可以查閱2009年上海高考數(shù)學(xué)試題(理科)第22題)．

性質(zhì)1 若y=f(x)在其定義域上為連續(xù)函數(shù)，則y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象存在交點(diǎn)的充要條件是y=f(x)的圖象與直線y=x有交點(diǎn)．

證明：(充分性)充分性是顯然的，下面我們證明必要性．

(必要性)設(shè)點(diǎn)P(a,b)是y=f(x)與y=f-1(x)的圖象的交點(diǎn)．①若a=b，則命題顯然成立．②若a≠b，則由點(diǎn)P(a,b)在y=f-1(x)的圖象上知點(diǎn)P′(b,a)在y=f(x)的圖象上，所以f(a)=b、f(b)=a．令g(x)=f(x)-x，則為連續(xù)函數(shù)，不妨設(shè)a0，g(b)=f(b)-b=a-b<0．由零點(diǎn)定理得?ε∈(a,b)，使得g(ε)=0，即f(ε)=ε，命題成立．

性質(zhì)2 若y=f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，且與其反函數(shù)y=f-1(x)圖象相交，則其交點(diǎn)一定在直線y=x上．

證明：(反證法)假設(shè)y=f(x)與y=f-1(x)的圖象的交點(diǎn)P(a,b)不在直線y=x上，則a≠b，不妨設(shè)a

利用上面性質(zhì)，我們回到例1的解答．

性質(zhì)3 若y=f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，且與其反函數(shù)y=f-1(x)圖象相交，則交點(diǎn)不一定在直線y=x上．具體地說(shuō)，在y=x上的交點(diǎn)至多只有一個(gè)，若在y=x外有交點(diǎn)，則成對(duì)出現(xiàn)且關(guān)于直線y=x對(duì)稱．

推論若y=f(x)為單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，且與其反函數(shù)y=f-1(x)圖象相交，則在直線y=x上的交點(diǎn)有且只有一個(gè)．

證明：結(jié)合性質(zhì)1和性質(zhì)3可以直接證明．

3 簡(jiǎn)單應(yīng)用

指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax是互為反函數(shù)的一對(duì)函數(shù)，在我們常見(jiàn)的圖象中，它們一般如圖1所示．當(dāng)01時(shí)，沒(méi)有交點(diǎn)．那么，它們的圖象有沒(méi)有其他情況，我們先看一道例題．

(1)01

A.PB.QC.MD.N

3.1 0

當(dāng)0

我們先求函數(shù)y=ax與其反函數(shù)y=logax相切時(shí)a的值．

3.2 a>1時(shí)的交點(diǎn)問(wèn)題

當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域R上是單調(diào)遞增的．由性質(zhì)2知，其交點(diǎn)一定在y=x上，這里只須考慮y=ax與y=x的交點(diǎn)問(wèn)題．

3.3 小結(jié)

綜上，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)與反函數(shù)y=logax圖象交點(diǎn)情況如表1．

表1

4 類題訓(xùn)練

針對(duì)例1，筆者找到了兩道類似的題目供大家思考．

A．0 B．2 C．4 D．前三個(gè)答案都不對(duì)

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