破解數列問題中不定方程整數解的常用策略

江蘇省昆山市教師發展中心 (215300) 戈 峰江蘇省昆山市柏廬高級中學 (215300) 何曉勤

在數列綜合問題中，經常會遇到不定方程的整數解問題，此類問題往往會涉及函數、方程、不等式、數列的性質及數論等知識，精彩紛呈，解法靈活多樣.因此，探討求解此類問題的常用策略很有必要.所謂不定方程的整數解問題是指方程的個數小于未知數的個數，且未知數的解為整數的問題.筆者下面通過舉例，談談求解數列存在性問題中不定方程整數解的常用策略，供大家參考.

1.整除分析法

利用數列項數為正整數這一特性，可將不定方程中的某個變元用其他變元代數表示，并分離常數(整數)，再利用整除的性質分析方程的整數解.

例1 設數列{an}是公差為2的等差數列，數列{bn}滿足b1=1，b2=2，anbn+bn=(n+1)bn+1.

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；

解析：(1)在anbn+bn=(n+1)bn+1中，令n=1，得a1=3，所以an=3+2(n-1)=2n+1.將an=2n+1代入anbn+bn=(n+1)bn+1，得bn+1=2bn，所以數列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數列，即bn=2n-1.

2.奇偶分析法

對于某些不定方程，可從不定方程等式兩邊的符號和奇偶性角度分析，尋求矛盾來否定存在性，或構造等量關系來肯定存在性.

例2 已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足Sn=2an-1(n∈N*)，數列{bn}滿足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)(n∈N*)，且b1=1.

(1)求數列{an}和{bn}的通項公式；

(2)是否存在正整數m,n，使b1,am,bn(n>1)成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的m,n；若不存在，請說明理由.

(2)假設存在正整數m,n(n>1)，使b1,am,bn成等差數列，則b1+bn=2am，即1+n2=2m.若n為偶數，則1+n2為奇數，而2m為偶數，上式不成立.若n為奇數，設n=2k-1(k∈N*)，則1+n2=1+(2k-1)2=4k2-4k+2=2m，于是2k2-2k+1=2m-1，即2(k2-k)+1=2m-1.當m=1時，k=1，此時n=2k-1=1與n>1矛盾；當m≥2時，上式左邊為奇數，右邊為偶數，顯然不成立.

綜上所述，滿足條件的正整數m,n不存在.

總結：本題破解的關鍵是運用奇偶分析法研究方程1+n2=2m的正整數解的情況.在正整數中，奇數與偶數不等是基本矛盾之一，通常可以用來說明不定方程的整數解不存在.

3.因式分解法

若不定方程可化為一邊是兩個(或多個)因式的乘積，另一邊是一個整數的形式，則可因式分解后分析不定方程的整數解的情況．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)是否存在大于2的正整數m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300?若存在,求出所有符合條件的m、k；若不存在,請說明理由.

(2)存在大于2的正整數m、k，使得am+am+1+am+2+…+am+k=300.

總結：本題求解的關鍵在于因式分解得到am+am+1+am+2+…+am+k=(2m+k-1)(k+1)及300=22×3×52，再結合奇偶性和整除性處理.處理此類問題時，往往需要對分解所得的因式的大小、奇偶、正負等進行討論，以減小運算量.

4 不等關系轉化法

若不定方程中涉及的多個變量有范圍或大小關系時，可通過不等關系的轉化將其中一個變量的范圍縮小，從而求出這個變量的整數解，再進一步求出其他變量的整數解.

例4 已知等差數列{an}的前n項和為Sn,a2+a5=12,S4=16.

(1)求{an}的通項公式；

故存在m=2,k=12滿足題意．

總結：在多變量中，往往需要緊扣多個變量之間的大小關系(比如本題中的k>m)以及變量自身內含的范圍(比如本題中的m是大于1的正整數)，其中一個變量對另一個變量的取值范圍起著決定性作用.當不定方程的整數解較難確定時，可利用不等式前后夾逼的方法得到整數解.

5.單調性分析法

數列是特殊的函數，可利用其單調性來研究不定方程的正整數解問題.求解時，常將不定方程兩邊都看作一個以某變量為主的數列(或函數)，再分別研究這兩個數列(或函數)的單調性.

例5 已知數列{an}與{bn}的前n項和分別為An和Bn，且對任意n∈N*，an+1-an=2(bn+1-bn)恒成立.

(1)若An=n2，b1=2，求Bn；

總結：研究數列的單調性主要有作差法(即利用定義)或者構造函數(注意需要將定義域擴充為連續區間)，利用函數的性質或導數法處理.一般地，單調數列可確定數列的范圍，進而可確定方程是否有解.

6 基本不等式法

對于某些不定方程，可借助基本不等式導出矛盾，從而說明其正整數解不存在.

例6 已知數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=3(an-1)(n∈N*).

(1)求數列{an}的通項公式；

解析：(1)因為數列{an}的前n項和Sn滿足2Sn=3(an-1)(n∈N*)，所以當n≥2時，2Sn-1=3(an-1-1)，兩式相減得2an=3an-3an-1，即an=3an-1(n≥2)，又n=1時，2S1=3(a1-1)，解得a1=3≠0，所以數列{an}是以3為首項，3為公比的等比數列，從而an=3n.

7.有(無)理數定義法

若不定方程中涉及無理數，應考慮利用無理數和有理數的定義處理.

以上僅列舉了求解數列問題中不定方程整數解的七種常用策略，對于具體問題還需具體分析，靈活處理，做到以不變應萬變.