數(shù)學(xué)競賽中組合幾何問題的常見解法

馮加輝

摘要：數(shù)學(xué)競賽旨在激發(fā)學(xué)生對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在參與競賽的過程中體會數(shù)學(xué)的魅力，從而愛上數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。同時，數(shù)學(xué)競賽對于提升學(xué)生的綜合能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提升學(xué)生獨立解決問題的能力和激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新精神也具有重要作用。而組合幾何作為數(shù)學(xué)競賽中的常見題型，掌握它的解題方法才能在數(shù)學(xué)競賽中取得一定的優(yōu)勢。本文重點舉例說明了構(gòu)建模型法、數(shù)學(xué)歸納法、化整為零以及通過找共同點建立關(guān)系的解題方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)競賽;幾何組合;常見解法

1.構(gòu)建模型法

構(gòu)造模型法是指通過將問題轉(zhuǎn)化為某種題型模式，從而得到解決問題的辦法，關(guān)鍵在于構(gòu)建模型和應(yīng)用模型。教師在教學(xué)的過程中要注意培養(yǎng)學(xué)生自己構(gòu)建模型的能力，使學(xué)生不僅能夠模仿老師構(gòu)建的模型，還能夠模仿老師分析出模型而自行構(gòu)建模型，從而提升學(xué)生的創(chuàng)造力。

例1 某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值是多少？

分析：想象投影方式，將問題歸結(jié)為具體的空間幾何體中解決。

解析：結(jié)合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算，如圖，設(shè)長方體的長寬高分別為m，n，k，由題意得，

因此a+b≤4，且僅當(dāng)a=b=2時取等號。

本題考查的是三視圖的難點，通過用移動三個試圖把問題歸結(jié)為長方體的一條體對角線在三個面上的射影，使問題得到了圓滿的解決。

2.化整為零，各個擊破綜合問題

數(shù)學(xué)競賽中有些題型對學(xué)生的思維能力要求較高，面對一些綜合性較強的問題，需要學(xué)生能夠明確自己的解題目標(biāo)，不被表面的復(fù)雜現(xiàn)象所迷惑，冷靜思考，仔細(xì)分析關(guān)鍵點，分步處理，化繁為簡。

例2?設(shè)凸四邊形ABCD的面積為1，求證：在它的邊上（包括頂點）或內(nèi)部可以找出四個點，使得以其中任意三點為頂點所構(gòu)成的四個三角形的面積大于。

解析：此問題可以分解為三種情況分別進行求證：

這道題以幾何熟知內(nèi)容為載體，構(gòu)思巧妙，綜合考查幾何、不等式等基礎(chǔ)知識，深入考察同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力。

3.結(jié)語：

本文只重點講解了這幾種解題方法，還有很多方法需要教師和學(xué)生在親自實踐的過程中不斷地進行總結(jié)和探索。組合幾何雖然變化莫測，但是我們要以不變應(yīng)萬變，只要我們明確解題目標(biāo)，冷靜思考，充分發(fā)揮我們的想象力，靈活運用數(shù)學(xué)知識，一定能夠找到解決的辦法。

參考文獻

[1]袁天舒. 立體幾何問題解法研究[D].哈爾濱師范大學(xué)，2020.

[2]程振峰，李寶毅.數(shù)學(xué)競賽中組合幾何問題的常見解法[J].中等數(shù)學(xué)，2020（05）：2-8.