小學數學教師培養學生數學思維的教學準備

徐文彬

“小學數學課堂教學要培養學生的數學思維”，毫無疑問，應該是小學數學教育的應有之義，也應是小學數學課堂教學的應然追求。那么，什么是數學思維呢？小學數學教師又需要做好哪些功課或準備工作呢？

一、什么是數學思維

思維指的是“人們的理性認識活動”。思維“作為對客觀存在、物質及其規律性的反映”，它是“以概念、判斷、推理、假說和理論等形式，反映客觀世界的能動的過程”。因此，從哲學認識論的視角來看，數學思維應該是指，人們借助數學概念、判斷或命題、推理、假說和理論等形式，對客觀世界的量（包括數與形兩個層面）的這一側面及其規律性的理性的和能動的認識過程與活動。

鑒于數學思維對象的“客觀世界的量”這一獨特性，數學思維具有抽象性、建構性和過程的二重性，以及結果的雙重性。具體而言，其思維的抽象性是指，數學思維之抽象的間接性、結果的多樣性和某種程度上的“任意性”（思想的自由創造）；其思維的建構性是指，相較于“客觀世界的量”而言，數學思維之對象的“思想建構”（數學的對象是思想事物）或“形式建構”（數學的對象也是形式符號）；其思維過程的二重性是指，就實際發生的數學思維活動而言，不僅存在著由“非形式”到“形式”的過渡（抽象或概括）過程，同時也存在著由“形式”到“非形式”的“具體化”（表象和直覺）過程；其思維結果的雙重性是指，不論是數學的陳述性知識還是數學的程序性知識，其實質上都包含著對象和過程這兩個層面。

由此可見，“小學數學課堂教學要培養學生的數學思維”這一應然追求并非易事。因此，小學數學教師要想在課堂教學中真正培養學生的數學思維，而不是僅僅傳授數學知識與技巧，就應該至少要做好以下幾項功課或準備工作，其中深刻領會“數學課標”中的課程目標，應該是開展“小學數學課堂教學要培養學生的數學思維”活動的首要任務。

二、深刻領會“數學課標”中的課程目標

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》明確指出，數學課程的總目標是，“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗；體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力；了解數學的價值，提高學習數學的興趣，增強學好數學的信心，養成良好的學習習慣，具有初步的創新意識和科學態度”。而且還從知識技能、數學思考、問題解決和情感態度等四個方面給予了具體闡述。

其實，上述總目標和具體闡述可以概括為“四基”“四能”和“必備品格”（或情感態度），而其中的數學思考和問題解決則是其核心。因為，如果沒有這貫穿“數學的過程與方法”始終的數學思考和問題解決，那么，所謂的“四基”就是僵硬的死知識，“四能”就是某些程序的機械模仿甚至機械套用，而所謂的情感態度或“必備品格”則必定是虛假的替代表演。而數學思考和問題解決的核心就是上述所明確的數學思維，即借助數學概念、判斷或命題、推理、假說和理論等形式，對客觀世界的量（包括數與形兩個層面）的這一側面及其規律性的理性的和能動的認識過程與活動。

因此，深刻領會“數學課標”中的課程目標，即數學課程的育人價值，就其實質而言，就是培養學生的數學思維，是“小學數學課堂教學培養學生數學思維”的極其必要的前提條件，也是極其重要的“政策”依據或保障。而培養學生的數學思維則是培養或提升其數學核心素養的必由之路。所以，努力提煉教材內容所蘊含的數學思維，應該是開展“小學數學課堂教學培養學生數學思維”活動的核心任務。

三、努力提煉教材內容所蘊含的數學思維

小學數學教材內容主要包括“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等內容。而“數與代數”的整合，不僅是算術知識和代數知識的簡單合并，更是算術思維和代數思維的有機融合。

算術思維的核心是程序或步驟及其遵守或運用，其思維目的是求得一個結果（數字），所以它是程序思維；而代數思維的核心則是關系及其轉換，其思維目的是尋求各種數量關系之間的轉變或轉化，所以它是關系思維。但是，由于關系思維比程序思維對學生心智發展的成熟水平要求要高許多，所以直接在小學引入甚至滲透大量的代數內容可能是不可取的，也是行不通的。因此，可行的滲透方式應該是能夠兼顧算術的程序思維和代數的關系思維的綜合方式，而“準變量思維”的引入便是這種滲透方式。

所謂準變量思維，其實質就是把“常數”視為“變量”，進而把數量關系視為是變量之間的關系，并以此來引導學生“在算術中學習代數”（也在代數中運用算術）。因為，代數就是字母（變量）的算術，而算術則是數字（常量）的代數。譬如，21-9 = 21-10+1（=11+1=12）就蘊含著這樣一個代數恒等式：a-b=a-（b+1）+1，而前者則可看作是后者的一個特例。其實，小學數學中存在著大量的準變量及其思維。譬如，各種豎式計算的橫式改寫就是例證，如32×13=32×3+32×10（=96+320=416），而32×3=2×3+30×3（=6+90=96），它們都是運用運算律的恒等變換。因此，準變量思維的引入可望打通算術學習和代數學習之間的障礙。

“圖形與幾何”的整合，不僅是立體幾何和平面幾何的簡單聯手，更是綜合幾何（強調幾何直觀）和分析幾何（強調幾何推理）的相互滲透。

譬如，“圖形認識”一般包含直觀認識概念、定義、構成要素、特點、關系等五個維度。但是，小學階段的圖形認識的教學實踐卻主要集中于前三個維度，卻較少涉及后兩個維度。其實，關于“圖形認識”的前三維度（幾何直觀為主）的教學也可滲透后兩個維度的幾何推理。譬如，關于“多邊形內角和的命題”的學習，就可以引導學生依據“三角形內角和等于180°”來進行推導（多邊形劃歸為三角形的方式多種多樣）；“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的推導則可以引導學生通過運用“兩點間的距離線段最短”這一公理來學習；而“正方形是特殊的長方形”的學習，如果不通過“長方形的一般定義”和“正方形的定義”之間的邏輯關系來學習，將是無法理解的。

“統計與概率”的整合，不僅是統計過程（強調統計方法與技巧）與可能性（強調隨機觀念）的簡單嫁接，而是內蘊隨機觀念的統計活動。因此，統計思維的培養就應該依據統計活動的過程結構（參見圖1）來謀劃、設計和開展，不能“掐兩頭、燒中段”。

但是，現實的小學數學“統計與概率”的教學多是只關注“中段”，而較少涉及“問題與目的”“判斷與決策”。所以，其教學效果并不理想，更無法培養學生的統計思維，亟須改變。因此，上述“統計活動的過程結構”的提出可望有助于這種改變的落實。

圖1 “統計活動的過程結構”示意圖

如果不借助于數學知識與技能，則數學思維無法彰顯其“認識世界和改造世界”的強大的功效；如果沒有數學思想的統領，則數學知識與技能將不成體系，并因此有礙數學思維功效的發揮；而如果沒有必要的數學基本活動經驗，則數學知識與技能的獲得與運用都將受到極大的限制。所以，真正聚焦數學知識所蘊含的數學思想，應該是開展“小學數學課堂教學培養學生數學思維”活動的重要任務。

四、真正聚焦數學知識所蘊含的數學思想

“新課改”近20 年來，我國小學數學課堂教學把“數學思想方法”的學習作為教學要點甚至重點，幾乎已經是不爭的事實。但是，由于理解上的偏差，實際的效果可能是，數學方法得到了強化，而數學思想卻沒有受到足夠的重視。

其實，數學思想方法是一個有機整體。數學思想是統攝其相應數學方法的靈魂，而數學方法則是展現其相應數學思想的憑借；沒有數學思想的數學方法極有可能淪落為“操作程序”，而沒有數學方法的數學思想也極有可能變質為“空洞思辨”。譬如，就小學數學中的“解決問題的策略”教學而言，應該先理解其背后所蘊含的數學思想方法，然后再行施教方有可能收獲其預期目的。否則，就極有可能得了芝麻（方法），失了西瓜（思想）。

譬如，“列表”所蘊含的數學思想方法就是，對象的分類或概念的劃分以及相應的分類或劃分的方法；“畫示意圖”所蘊含的數學思想方法就是，數形結合思想與相應的畫圖法；“列舉”所蘊含的數學思想方法就是，分類思想以及相應的分類方法；“倒推”所蘊含的數學思想方法就是，過程或運算的可逆性思想以及相應的互逆運算；“替換”所蘊含的數學思想方法就是，過程中的不變量思想以及相應的等量關系；“假設”所蘊含的數學思想方法就是，不變量思想和逼近思想以及相應的等量關系和逼近方法；“轉化”所蘊含的數學思想方法就是，不變量思想以及相應的等量代換方法等。

由此可見，策略的相對性和多樣性。因此，那種在教學中把策略解釋為是“最好的方法或最有效的方法”的理解是不足為道的，而那種在教學中只關注一種策略卻不對多種策略進行比較或分析的做法也是不值得提倡的。

再譬如，數形結合思想方法是貫穿于整個小學數學始終的一個數學思想方法，是我們培養學生數學直觀和邏輯推理能力的“高效材料”。其核心思想是“數”與“形”之間的相互轉換、相互表達和相互解決，其具體方法則有數軸、數對表示位置（坐標系）、示意圖等。就示意圖而言，其重在用圖來表達意蘊，而非用圖來表示具體含義，而教學實踐中卻時常相反，值得注意。

但是，如果我們任意拔高數學思維的“含量”，而無法顧及兒童自身發展尤其是其數學思維發展的一般規律，那么，任何旨在培養學生數學思維的教學活動甚至數學課程改革或數學教育改革運動，都無法收獲其預期的成效。譬如，數學教育發展歷史上的“新數學”教育改革運動的失敗，就是明證。因此，靈活運用兒童數學思維發展一般規律，應該是開展“小學數學課堂教學培養學生數學思維”活動的必要任務和準備。

五、靈活運用兒童數學思維發展的一般規律

依據皮亞杰的兒童認知發展階段理論，8歲左右的兒童其認知發展水平主要處于從前運算階段到具體運算階段的認知發展階段。而身處此認知發展階段的兒童，其學習心理尤其是其認知發展特點主要是，通過對自身活動的反身抽象，可達成對活動對象的相關認識，并獲得相應的概念認知。

譬如，就“一一間隔排列”的學習而言，三年級學生可通過自身具體的操作活動與反省觀察，以形成“一一間隔排列”（排成一行）概念，并通過“社會協商”（即同伴之間的溝通、交流與研討）達成對“一一間隔排列”各種具體情況進行分類的依據之認同（排成一圈則僅是其中一類的“變形”）；至于“一一間隔排列”中兩種物體數量之間的關系，三年級學生則可通過其已有的知識經驗（即此前的“一一對應”操作活動的經驗及其認知）或對具體事例的量化觀察、抽象與概括而較為容易地得出。

具體而言，就三年級學生學習而言，“一一間隔排列”概念的獲得應主要以概念形成的方式來達成，而“分類依據”的認同則應主要以“社會協商”活動來求得，至于“一一間隔排列”中兩種物體數量之間的關系則可通過再現“一一對應”活動來獲得。

由此可見，圖2 是小學三年級學生學習“一一間隔排列”的一種可能的心理過程：圖2 中的“上半部分”只是小學生學習這類數學內容的一般心理過程或認知過程，而其“下半部分”則是學習“一一間隔排列”這一數學內容可能的具體心理過程或認知過程。

圖2 兩種物體“一一間隔排列”學習心理過程圖

因此，對“兒童數學思維發展一般規律”的運用，不能直接或機械地搬用，必須結合具體的數學內容和教師的教學經驗和反思來建構可能的學習過程，并據此設計教學活動，反思教學效果，不斷提升“學習過程建構”的科學性及其可行性。

總之，只要小學數學教師想在自己的課堂教學中真正培養學生“學會數學思維”，就必須知曉“什么是數學思維”，并做好上述幾項功課或準備工作。但是，這只是“教會學生數學思維”的必要條件。想使其轉變為“充分條件”，還需要我們小學數學教師不斷地研學數學與運用數學，成為數學教育的“自立”之人；不斷地實踐嘗試與自我反思，成為數學教育的“自覺”之人；不斷地拓展自己的視野，溝通數學各部分內容及其之間的內在關聯、數學與其他學科或領域的關聯、數學與兒童生活和社會實踐的關聯，堅信“數學育人”，成為數學教育的“自新”之人。