知其然,知其所以然
———以立體幾何問題為例談思路尋找

◇ 山東 臧書華

教師在教學中常會遇到這樣的情況：對于一道學生沒有思路的問題,教師講解后學生能立刻明白求解方法,但再遇到類似的問題時,卻無從下手．究其原因,發現學生聽教師講解后,明白題目應該這樣求解,但不清楚為什么要這樣求解,也就是說對于解題思路是如何產生的并不明確．本文以一道立體幾何問題為例,談一談解題思路尋找的歷程．

例如圖1所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點O為底面ABCD的中心,點P在側面BB1C1C的邊界及其內部運動．若D1O⊥OP,則△D1C1P面積的最小值為( )．

圖1

本題是一道以正方體為背景的動態幾何問題,旨在考查學生對空間幾何體性質的識別能力,以及空間平行、垂直關系的判定與性質的應用能力．求△D1C1P面積的最小值,關鍵是確定點P的位置．

1 分析條件,確定方向

欲確定點P的位置,需要分析點P滿足的關系．點P在側面BB1C1C的邊界及其內部運動,且D1O⊥OP．D1O為定線,OP為動線,據此可知OP在一個與D1O垂直的平面內,因此構造這個平面是尋找點P位置的關鍵．構造的原理是利用線面垂直的判定定理,即一條線與一個平面內的兩條相交直線垂直,則線面垂直．在構造的過程中,往往會多次利用線線、線面、面面平行或垂直的推導關系．

類似地,若某一問題中出現一條變動的直線與一個確定的平面平行,根據面面平行的性質(即由一個平面內的直線與另外一個平面平行,可知該直線在一個與已知平面平行的平面內),因此可結合已知幾何體的結構特征,構造這個平面,從而確定動線所在的位置．

2 依托背景,探究關系

通過添加輔助線,構造與D1O垂直的平面,要充分挖掘正方體的有關性質．正方體是特殊的空間幾何體,蘊含著豐富的性質．其中面對角線與相應的對角面垂直,如AC⊥平面BDD1B1．過同一頂點的三個面對角線構成的平面與過該頂點的體對角線垂直,如BD1⊥平面ACB1,且BD1與平面ACB1的交點為BD1的三等分點．

正方體的各個側面均為正方形,正方形中除了四個角均為直角,對角線垂直以外,還存在一些重要的性質,如圖2所示,在正方形BCC1B1中,若E,F分別為BB1,BC的中點,利用平面幾何的性質可證得CE⊥C1F,這些關系都是構造輔助線的基礎．

圖2

3 關系明了,水到渠成

明確了上述原理,構造輔助線也就水到渠成了．如圖3所示,連接OC,由正方體的性質AC⊥平面BDD1B1,而D1O?平面BDD1B1,所以OC⊥D1O．

取BB1的中點E,BC的中點F,連接CE,C1F．由上述分析可知C1F⊥CE,而由正方體的性質可知D1C1⊥平面BCC1B1,所以D1C1⊥CE．因為D1C1∩C1F＝C1,所以CE⊥平面DD1C1F,而D1O?平面DD1C1F,所以D1O⊥CE,又CE∩CO＝C,所以D1O⊥平面OCE,因此D1O垂直平面OCE內的任意一條直線,所以OP在平面OCE內,則點P在線段CE上．

在△D1C1P中,D1C1＝2,D1C1⊥C1P,△D1C1P面積最小,則C1P取得最小值．由圖3易知當點P為C1E,CF的交點時,C1P取得最小值．

圖3

由正方形的性質可知△C1PC∽△C1CE,故,即,所以,所以此時△D1C1P的面積為．故選B．

綜上,問題的求解不僅要知其然,更要知其所以然,這樣在面對一道新問題時,才能順利找到切入點．