數學雙變量函數問題的處理方法

◇ 山東 王永宗

函數是高中數學的重點、難點知識,涉及的問題類型較多,其中雙變量函數問題在各類測試以及高考中出現頻率較高．部分學生難以在短時間內找到解題思路,解題效率較低．授課中為使學生掌握雙變量函數問題的處理方法,教師應做好相關題型的匯總,并在課堂上為學生講解例題的解題思路,使其掌握該類問題的解題技巧,促進學生解題水平的提升．

1 引入參數

部分雙變量函數問題需要引入新的參數,構建新的函數,借助導數知識對新的函數進行研究,包括單調性、最值等．要注意的是構建新函數時需要找準參數的取值范圍．

例1已知若f(m)＝g(n)成立,則n－m的最小值為( )．

解析

很多學生解答該題時僅僅知道將m,n的值代入,但卻不知道接下來該怎么處理．教學中應注重給予學生啟發,引導學生引入參數k,構建關于k的函數,而后討論新函數的單調性,找到其最小值．

2 等價轉化

等價轉化是解決雙變量函數問題的重要方法之一．為使學生掌握等價轉化的技巧,教學中既要注重為學生講解恒成立問題與存在性問題之間的區別,又要列出常見的等價轉化方法,使學生深入理解．

例2已知函數f(x)＝(x＋1)3e－x＋1,g(x)＝(x＋1)2＋a,若存在x1,x2∈R,使得f(x2)＞g(x1),則實數a的取值范圍為________．

解析

讀題可知,該問題為存在性問題,可將問題轉化為fmax(x)≥gmin(x),此時只要求出兩個函數的最大值與最小值即可．對函數f(x)進行求導得f′(x)＝3(x＋1)2e－x＋1－(x＋1)3e－x＋1＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2),由f′(x)＝0,解得x＝－1或x＝2．當x＜2時,f′(x)＞0,f(x)單調遞增；當x＞2時,f′(x)＜0,f(x)單調遞減,則．由二次函數知識可得gmin(x)＝g(－1)＝a．因此a的取值范圍為

3 分離參數

求解參數范圍的問題常采用分離參數法,在解決雙變量函數問題時也可使用．

例3已知函數(a為常數)有兩個極值點．

(1)求實數a的取值范圍；

(2)設f(x)的兩個極值點分別為x1,x2,若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立,求λ的最小值．

解析

(1)通過求導轉化為一元二次方程有兩個正根問題,不難求出a的取值范圍為(4,＋∞)．

綜上,λ的最小值為l n4－3．