突破立體幾何中的探索性問題

◇ 新疆 傅祖勇

探索性試題能夠培養學生發現問題、解決問題的能力,對學生空間想象和數學能力的提升也起著不可或缺的作用．探索性問題是相對于封閉問題而言的,立體幾何探索性問題的條件或結論不完備,需要學生自己去思考、挖掘．

1 空間平行關系的探索性問題

例1如圖1所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,BC＝PD＝2,E為PC的中點,CB＝3CG．

(1)求證：PC⊥BC；

(2)AD邊上是否存在一點M,使得PA∥平面MEG?若存在,求出AM的長；若不存在,請說明理由．

圖1

解析

(1)證明：因為PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC．因為四邊形ABCD是正方形,所以BC⊥CD．

又PD∩CD＝D,PD?平面PCD,CD?平面PCD,所以BC⊥平面PCD．因為PC?平面PCD,所以PC⊥BC．

(2)如圖2所示,連接AC,BD交于點O,連接EO,GO,延長GO交AD于點M,連接EM,則PA∥平面MEG．因為E為PC的中點,O是AC的中點,所以EO∥PA．

圖2

因為EO?平面MEG,PA?平面MEG,所以PA∥平面MEG．因為△OCG≌△OAM,所以AM＝,所以AM的長為

點評

對于空間平行關系的探索性問題,需要對命題條件和命題結論有個深刻的認知,只有知道條件和結論分別是什么,才能更好地完成猜想與證明過程．解題時要能夠靈活將代數問題與幾何問題進行相互轉化．

2 空間垂直關系的探索性問題

例2如圖3,已知三棱柱ABC-A′B′C′的側棱垂直于底面,AB＝AC,∠BAC＝90°,點M,N分別為A′B和B′C′的中點．

(1)求證：MN∥平面AA′C′C；

(2)若AB＝λ AA′,當λ取何值時,CN⊥平面A′MN,請嘗試證明你的結論．

圖3

解析

(1)證明：如圖4,取A′B′的中點E,連接ME,NE．

因為M,N分別為A′B和B′C′的中點,所以NE∥A′C′,ME∥AA′．又因為A′C′?平面AA′C′C,A′A?平面AA′C′C,所以ME∥ 平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,所以平面MNE∥平面AA′C′C,因為MN?平面MNE,所以MN∥平面AA′C′C．

(2)連接BN,設AA′＝a,則AB＝λ AA′＝λ a,由題意可知,,因為三棱柱ABC-A′B′C′的側棱垂直于底面,故平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,因為AB＝AC,點N是B′C′的中點,所以A′B′＝A′C′,A′N⊥B′C′,所以A′N⊥平面BB′C′C,所以CN⊥A′N,要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,所以CN2＋BN2＝BC2,即,解得,故當時,CN⊥平面A′MN．

圖4

點評

這類問題的結論已經給定,探求此結論成立的條件,常規的解決方法是執果索因、逆向求索或合理猜想,最后加以證明,即多采用分析或猜想證明．

3 空間距離的探索性問題

例3如圖5所示,已知AB⊥平面BCE,CD∥AB,△BCE是等腰直角三角形,其中,且AB＝BC＝2CD＝2．

(1)在線段BE上是否存在一點F,使CF∥平面ADE?

(2)求線段AB上是否存在點M,使點B到平面CEM的距離等于1?如存在,試判斷點M的個數；如不存在,請說明理由．

圖5

解析

(1)當F為BE的中點時,CF∥平面ADE．取BE的中點F,AE的中點G,連接FG,GD,CF,所以AB．因為,所以CDGF,所以CDGF是平行四邊形,所以CF∥平面ADE．

(2)如圖6所示,設MB＝x,2＝2,又因為MB⊥平面BEC,所以,則在Rt△MBE中,

圖6

取EC的中點H,因為ME＝MC,所以MH⊥EC,而

故

因為點B到平面CEM的距離等于1,所以

而VB-MEC＝VM-BEC,所以,解得因此,在線段AB上只存在一點M,當且僅當BM＝時,點B到平面C EM的距離等于1．

點評

求點到平面的距離的探索性問題主要有直接法(直接由點作垂線,求垂線段的長)、轉移法(轉化成求另一點到該平面的距離)、等體積法等．另外,解答該題時容易忽視點P在線段AB上的限制條件,誤以為方程的解就是結果而忽視λ的取值范圍導致出現錯誤．