突破立體幾何中的探索性問題

◇ 新疆 傅祖勇

探索性試題能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,對(duì)學(xué)生空間想象和數(shù)學(xué)能力的提升也起著不可或缺的作用．探索性問題是相對(duì)于封閉問題而言的,立體幾何探索性問題的條件或結(jié)論不完備,需要學(xué)生自己去思考、挖掘．

1 空間平行關(guān)系的探索性問題

例1如圖1所示,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD為正方形,BC＝PD＝2,E為PC的中點(diǎn),CB＝3CG．

(1)求證：PC⊥BC；

(2)AD邊上是否存在一點(diǎn)M,使得PA∥平面MEG?若存在,求出AM的長(zhǎng)；若不存在,請(qǐng)說明理由．

圖1

解析

(1)證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PD⊥BC．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BC⊥CD．

又PD∩CD＝D,PD?平面PCD,CD?平面PCD,所以BC⊥平面PCD．因?yàn)镻C?平面PCD,所以PC⊥BC．

(2)如圖2所示,連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接EO,GO,延長(zhǎng)GO交AD于點(diǎn)M,連接EM,則PA∥平面MEG．因?yàn)镋為PC的中點(diǎn),O是AC的中點(diǎn),所以EO∥PA．

圖2

因?yàn)镋O?平面MEG,PA?平面MEG,所以PA∥平面MEG．因?yàn)椤鱋CG≌△OAM,所以AM＝,所以AM的長(zhǎng)為

點(diǎn)評(píng)

對(duì)于空間平行關(guān)系的探索性問題,需要對(duì)命題條件和命題結(jié)論有個(gè)深刻的認(rèn)知,只有知道條件和結(jié)論分別是什么,才能更好地完成猜想與證明過程．解題時(shí)要能夠靈活將代數(shù)問題與幾何問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化．

2 空間垂直關(guān)系的探索性問題

例2如圖3,已知三棱柱ABC-A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面,AB＝AC,∠BAC＝90°,點(diǎn)M,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．

(1)求證：MN∥平面AA′C′C；

(2)若AB＝λ AA′,當(dāng)λ取何值時(shí),CN⊥平面A′MN,請(qǐng)嘗試證明你的結(jié)論．

圖3

解析

(1)證明：如圖4,取A′B′的中點(diǎn)E,連接ME,NE．

因?yàn)镸,N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn),所以NE∥A′C′,ME∥AA′．又因?yàn)锳′C′?平面AA′C′C,A′A?平面AA′C′C,所以ME∥ 平面AA′C′C,NE∥平面AA′C′C,所以平面MNE∥平面AA′C′C,因?yàn)镸N?平面MNE,所以MN∥平面AA′C′C．

(2)連接BN,設(shè)AA′＝a,則AB＝λ AA′＝λ a,由題意可知,,因?yàn)槿庵鵄BC-A′B′C′的側(cè)棱垂直于底面,故平面A′B′C′⊥平面BB′C′C,因?yàn)锳B＝AC,點(diǎn)N是B′C′的中點(diǎn),所以A′B′＝A′C′,A′N⊥B′C′,所以A′N⊥平面BB′C′C,所以CN⊥A′N,要使CN⊥平面A′MN,只需CN⊥BN即可,所以CN2＋BN2＝BC2,即,解得,故當(dāng)時(shí),CN⊥平面A′MN．

圖4

點(diǎn)評(píng)

這類問題的結(jié)論已經(jīng)給定,探求此結(jié)論成立的條件,常規(guī)的解決方法是執(zhí)果索因、逆向求索或合理猜想,最后加以證明,即多采用分析或猜想證明．

3 空間距離的探索性問題

例3如圖5所示,已知AB⊥平面BCE,CD∥AB,△BCE是等腰直角三角形,其中,且AB＝BC＝2CD＝2．

(1)在線段BE上是否存在一點(diǎn)F,使CF∥平面ADE?

(2)求線段AB上是否存在點(diǎn)M,使點(diǎn)B到平面CEM的距離等于1?如存在,試判斷點(diǎn)M的個(gè)數(shù)；如不存在,請(qǐng)說明理由．

圖5

解析

(1)當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí),CF∥平面ADE．取BE的中點(diǎn)F,AE的中點(diǎn)G,連接FG,GD,CF,所以AB．因?yàn)?所以CDGF,所以CDGF是平行四邊形,所以CF∥平面ADE．

(2)如圖6所示,設(shè)MB＝x,2＝2,又因?yàn)镸B⊥平面BEC,所以,則在Rt△MBE中,

圖6

取EC的中點(diǎn)H,因?yàn)镸E＝MC,所以MH⊥EC,而

故

因?yàn)辄c(diǎn)B到平面CEM的距離等于1,所以

而VB-MEC＝VM-BEC,所以,解得因此,在線段AB上只存在一點(diǎn)M,當(dāng)且僅當(dāng)BM＝時(shí),點(diǎn)B到平面C EM的距離等于1．

點(diǎn)評(píng)

求點(diǎn)到平面的距離的探索性問題主要有直接法(直接由點(diǎn)作垂線,求垂線段的長(zhǎng))、轉(zhuǎn)移法(轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離)、等體積法等．另外,解答該題時(shí)容易忽視點(diǎn)P在線段AB上的限制條件,誤以為方程的解就是結(jié)果而忽視λ的取值范圍導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤．