見微而知著 小題大世界
———對高中數學橢圓離心率問題的探究和拓展

◇ 江蘇 石懷榮

高考中橢圓題常作為壓軸題,且分值較高．為實現“新課標”對提高學生數學核心素養的要求,教師在實際教學中,常通過對一道題目的多角度分析來解決若干相似的問題．本文剖析了一個經典橢圓離心率問題的求解過程,點評優劣,多元思考各種數學思想,以達殊途同歸之效．

例已知F1,F2是橢圓的左、右兩焦點,P為橢圓上一點,若則橢圓離心率的取值范圍為________．

方法1多數同學遇到這個題目首先想到的是幾何方法,數形結合,利用極限(極端)情況來求范圍．首先證明當P在y軸上時,∠F1PF2＝θ取最大值．

設|PF1|＝s,|PF2|＝t,橢圓中s＋t＝2a,|F1F2|＝2c,又

點評

當該題是選擇題或填空題時,宜考慮使用極限概念求解,不需要證明,但是極限兩端要厘清．

方法2利用隱形圓構造齊次不等式．|F1F2|＝2c為定值,定弦對應角為定值,說明為隱形圓．設△F1PF2外接圓半徑為R,在∠F1PF2中,由正弦定理得,得,易知外接圓圓心在y軸上,由橢圓的對稱性,考慮外接圓在x軸上方,易求得外接圓方程,可知點P既在圓C上,又在橢圓上,說明圓C和橢圓有公共點,可知,又因為(,),所e∈01以離心率的范圍是

點評

隱形圓問題是最近幾年高考的熱點,其本質就是求軌跡,軌跡通常是一個圓或圓的一部分．學生熟練掌握利用隱形圓解題方法后,可以直接用正弦定理求外接圓的半徑．

方法1利用焦半徑公式、勾股定理．設點P(x0,y0),由勾股定理得|P F1|2＋|P F2|2＝|F1F2|2,代入焦點半徑公式(a＋e x0)2＋(a－x0)2＝4c2,所以．由橢圓的有界性－a≤x0＜a,又因為e∈(0,1),所以離心率的范圍是

點評

利用直角三角形的性質和x0的取值范圍解題,簡單明了．

方法2利用向量．設點0,即(－c－x0,－y0)(c－x0,－y0)＝0,得c2,又因為,消去x0,得,由橢圓的有界性0≤y20≤b2,又因為e∈(0,1),所以離心率的范圍是

點評

向量是幾何和代數溝通的橋梁,是研究數學非常重要的工具,很多難題巧用向量便可迎刃而解．

以上兩種方法是角度為直角時的特殊做法,能迅速解題,所以我們平時注重訓練通式通法通解的同時,也要注意到特殊的解法,這反而是快速解題的關鍵,也是數學的魅力所在．一題多解可以鍛煉學生思維的靈活性、發散性、創新性．教師絕不能讓學生拘泥于通法通解,像做八股文一樣做數學題,那樣只會禁錮學生學習數學的靈感．