從一題多探的視角培養解題能力

◇ 山東 韓炳泉

橢圓是解析幾何中重要的曲線類型,其中蘊含著豐富多彩的性質和結論．在解答完一道題目后,如果嘗試從多種不同的視角對問題進行探究,有助于學生解題能力的培養,往往有意想不到的收獲．

例已知橢圓經過點C(0,1),離心率為為坐標原點．

(1)求橢圓E的方程；

(2)設A,B分別為橢圓E的左、右頂點,D為橢圓E上一點(不在坐標軸上_),直_線CD交x軸于點P,點Q在直線AD上,且,求證C,B,Q三點共線．

第(1)問屬于基礎題,易求得橢圓E的方程為,下面從多種視角對第(2)問進行探究．

1 思路探究

動中有定、動定結合是橢圓問題的重要特征,其中動態元素的呈現形式主要有兩種：一種是點的形式,一種是線的形式．因此,解題時要根據題目條件選擇設動點的坐標,還是選擇設動線的斜率．

本題各量的變化均是由動點D在橢圓上變動引起的,故可引入D的坐標,將有關點的坐標利用點D的坐標進行表示．

解析

設D(x0,y0),則,直線CD：y＝,令y＝0,得點P的坐標為

設Q(m,n),因為點Q在直線AD上,所以,由向量的平行關系得所以,所以

因為C(0,1),B(2,0),所以

進而問題得證．

2 變式探究

解答完一道題后,通過將題目條件或結論進行變換,能有效檢驗學生對所學內容的掌握及應用情況．本題可將條件與所證結論進行互換．

變式已知橢圓經過點C(0,1),離心率為為坐標原點．

(1)求橢圓E的方程；

(2)設A,B分別為橢圓E的左、右頂點,D為橢圓E上一點(不在坐標軸上),直線CB與AD相交于點Q,CD與x軸交于點P,證明

3 結論探究

圓錐曲線具有較豐富的幾何性質,其中蘊含著重要的結論．題目中為定值,而a2＝4,故可通過探究驗證以下結論是否成立．

結論已知橢圓b),O為坐標原點．

設A,B分別為橢圓E的左、右頂點,D為橢圓E上一點(不在坐標軸上),直線CB與AD相交于點Q,CD與x軸交于點P,則

明確了這一結果,同學們在處理有關問題時,即可迅速明確解題的方向．

在得出一道題目的答案后,探究并沒有終止,對問題的探究也并不局限于本文所述的幾種,我們也可以通過改變問題背景,即將已知條件中的橢圓變換為其他的曲線(如雙曲線、拋物線等),從而實現同類知識的融會貫通．由于篇幅所限,不再贅述,有興趣的讀者可自行探究．