由數列遞推關系探究通項公式
———2020年全國卷Ⅲ數列題的解答

◇ 云南 周必輝

數列因規律性強、題型多樣、方法靈活等特點,成為高考命題的重點,其中給出遞推關系求通項公式問題是有效考查考生化歸轉化能力、推理論證能力的重要題型．本文以2020年全國卷Ⅲ數列解答題為例,探究根據遞推關系求通項公式的方法．

1 考題說明

例(2020年全國卷Ⅲ)設數列{an}滿足a1＝3,an＋1＝3an－4n．

(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明；

(2)求數列{2nan}的前n項和Sn．

數列的遞推關系在人教版教材中雖然是以選學內容出現,但在高考中以遞推關系為背景的命題卻屢見不鮮．本題第(1)問考查考生根據遞推關系求通項公式,所給的遞推關系類型是an＝Aan－1＋f(n)．下面對這類問題的求解方法進行總結,并應用這些方法解答此題．

2 解法綜述

根據不同的遞推關系類型,常用的解題方法主要有如下4種．

1)疊加法

對于an－an－1＝f(n)的形式,可利用疊加法求通項公式,即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n)＋f(n－1)＋…＋f(2)＋a1．

2)疊乘法

3)構造法

此方法適用的類型較多,構造的原理是將所給的遞推關系進行變形,將其構造為等差數列或等比數列的形式．

4)歸納法

通過觀察數列前幾項,猜想出其通項公式,再進行證明．

3 問題解答

在某些問題的求解中,往往需要綜合應用多種方法．本題第(1)問旨在考查利用歸納法求通項公式,下面從多種視角進行解法探究．

解析

方法1由a1＝3,an＋1＝3an－4n,可得a2＝3a1－4＝5,a3＝3a2－4×2＝7,a4＝3a3－4×3＝9,猜想an＝2n＋1．

證明：當n＝1時,a1＝2×1＋1＝3．設當n＝k時,ak＝2k＋1,則當n＝k＋1時,ak＋1＝3ak－4k＝3(2k＋1)－4k＝2(k＋1)＋1,所以{an}的通項公式為an＝2n＋1．

點評

應用此方法求數列的通項公式時,要準確識別條件中隱含的關系,平時學習中要注意積累一些特殊的關系,如奇數、偶數、正整數的平方與立方等．

方法2將an＋1＝3an－4n兩邊同時除以3n＋1,得,即進而由疊加法可得

兩式相減得

點評

本解法通過對所給遞推關系進行變形,將其轉化為可利用疊加法求解的形式,再利用錯位相減法及等比數列的求和公式求得結論．

方法3設bn＝an＋λ n＋μ,則an＝bn－λ n－μ,代入an＋1＝3an－4n中,得bn＋1－λ(n＋1)－μ＝3(bn－λ n－μ)－4n,即bn＋1＝3bn－ (2λ＋4)n＋λ－2μ．

點評

本解法是通過待定系數法構造等比數列bn,而由已知可求得b1＝0,所以{bn}為常數列,各項均為0,進而求得數列{an}的通項公式．

方法4由an＋1＝3an－4n,得an＋2＝3an＋1－4(n＋1),兩式相減得an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)－4．

令bn＝an＋1－an,則bn＋1＝3bn－4．

設bn＋1＋λ＝3(bn＋λ),即bn＋1＝3bn＋2λ,由2λ＝－4得λ＝－2,所以數列{bn－2}的首項為b1－2＝a2－a1－2＝5－3－2＝0,且知b2＝2,所以{bn}為常數列,bn＝an＋1－an＝2,即數列{an}是公差為2的等差數列,所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1．

點評

在得出an＋1＝pan＋q(p≠0,q≠1)的遞推關系后,可利用待定系數法,即引入參數λ,令an＋1＋λ＝p(an＋λ),將其展開后與原遞推關系對照,求得λ值,從而構造{an＋λ}為等比數列．

由第(1)問知an＝2n＋1,則2nan＝(2n＋1)2n,進而可利用“錯位相減法”求其前n項和．第(2)問較為簡單,在此不再贅述．

綜上所述,給出遞推關系求數列通項公式的過程其實就是轉化的過程,即將一般化特殊、將陌生化熟悉．教學中我們只學了兩類特殊的數列,即等差數列和等比數列,因此所求問題最終都要轉化為與等差或等比數列相關的問題來求解．