問題同根 解法同源
———同角三角關系的應用

◇ 山東 謝于民

同角三角關系是指同一個角的正弦值、余弦值、正切值之間的關系,例如,sin2α＋cos2α＝1,tanα＝．同角關系建立了3個三角函數之間的橋梁,在三角恒等變換、化簡求解以及三角恒等式的證明中有著廣泛的應用．本文通過同角關系的正向應用、逆向應用以及變形應用3個視角破解三角函數化簡、求值問題．

1 正向應用

例1已知sinα·tanα＝1,則cosα＝________．

解析

由sin2α＋cos2α＝1,得sin2α＝1－cos2α,所以cos2α＋cosα－1＝0,解得．因為－1≤cosα≤1,所以(也可利用·sinαtanα＝1＞0,則α在第一象限,故cosα＞0進行取舍)．

變式已知,則tanα·sinα＝( )．

解析

點評

解題中利用同角關系進行轉化時,可以從條件向結論轉化,也可從結論向條件轉化．例1由條件向結論轉化,變式是由結論向條件轉化,兩種轉化方式均利用了同角關系,將函數名統一,從而建立了已知與未知之間的聯系．

2 逆向應用

例2已知tanα＝2,則sinαcosα＝( )．

解析

由1＝sin2α＋cos2α,得

將等式右邊分子、分母同時除以cos2α,可得

將tanα＝2代入,可得．故選D．

變式若,則tanα＝( )．

解析

將等式左邊分子、分母同時除以cos2α得

即tan2α－4 tanα＋4＝0,解得tanα＝2．故選B．

解析

用“1”代換是處理三角恒等變換問題的常用方式,上述兩道題目的求解中,將已知式或所求式的分母視為1,逆用1＝sin2α＋cos2α進行等價代換,實現了已知與未知之間的轉化,從而使問題簡捷獲解．另外需要注意的是在解含tanα的一元二次方程后,若得到兩個解,該如何取舍?本題由cosα＋可知α在第三象限,從而tanα只能取正數．

3 變形應用

例3已知,則角α所在的象限為( )．

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

解析

將sin2α＋cos2α＝1兩邊同時除以cos2α,得；將sin2α＋cos2α＝1兩邊同時除以sin2α,得．所以

進而可判斷出當α在第四象限時,有

故選D．

變式證明如下兩個等式：

(2)由1＝sin2α＋cos2α,得1－sin2α＝cos2α,即(1＋sinα)(1－sinα)＝cos2α．

由已知可得1－sinα≠0,cosα≠0,所以

點評

上述兩道題目的解答均借助了同角關系的變形應用．類似地,由1＝sin2α＋cos2α變形還可得到0)．在同角關系變形應用中,可變的形式還有很多,同學們可自行探究．

“學以致用”是學生學習的主要目標,公式的應用包括3個方面,即正用、逆用和變形用．在具體問題的求解中,如何靈活應用同角關系,關鍵在于對所給條件與所求結論的準確識別,將其與同角關系建立關聯．對于明顯的關聯,可直接利用同角關系進行求解；對于較為隱含的關聯,可通過轉化后,再建立關聯,轉化的方向基于平時學習的積累與總結．本文中所列舉的幾類問題,形異但質同,萬變不離其宗,求解過程中均體現了同角關系的正用、逆用或變形用．