巧用平面向量不等式求函數的最值

◇ 山東 劉 麗

平面向量在數學解題中有著廣泛的運用,它融數、形于一體,兼具幾何形式與代數形式的“雙重身份”,是中學數學知識的一個交會點和聯系多項內容的媒介．利用平面向量求解最值問題是近年來最值求解研究的一個新突破．

在平面向量中有下面這幾個不等式．

1)a·b≤|a|·|b|,當且僅當a與b同向時,等號成立．

2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|,當且僅當a與b同向時,右邊等號成立；當a與b反向時,左邊等號成立．

3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|,當且僅當a與b反向時,右邊等號成立；a與b同向時,左邊等號成立．

用這幾個不等式可以快速求解某些函數的最值,下面舉例說明．

例1求的最大值．

解析

例2求的最大值．

解析

例3求的最小值．

解析

設a＝(x,2),b＝(3－x,3),則

當且僅當3x＝2(3－x),即時,等號成立,故函數f(x)的最小值為的最大值．

例4求

解析

設a＝(x,1),b＝(x＋1,2),則

當且僅當2x＝x＋1,即x＝1時,a與b共線同向,此時等號成立,故函數f(x)的最大值為．

例5求的最大值．

解析

例6已知實數x1,x2,y1,y2滿足,且,求的最大值．

解析

設A(x1,y1),B(x2,y2),所以A,B兩點在圓x2＋y2＝1上,因為,所以,所 以又因為表示A,B兩點到x＋y－1＝0的距離之和,設為d1＋d2,取AB中點P,則P到x＋y－1＝0的距離d＝．因為△AOB為正三角形,則P到x＋y－1＝0的最大距離,所以d1＋d2最大值為

圖1

通過以上例題不難看出,使用平面向量求解函數最值的關鍵在于構造向量,在平面向量知識的輔助下,能夠降低運算量,提高解題速度和準確率,為解決函數最值問題開辟了一條新的途徑．