巧妙轉(zhuǎn)化,化繁為簡(jiǎn)
———淺析指數(shù)函數(shù)f(x)＝ex 在抽象函數(shù)中的應(yīng)用

◇ 陜西 石 鵬 劉 卓

抽象函數(shù)是指沒有給出具體解析式的函數(shù),是高中數(shù)學(xué)函數(shù)中的一個(gè)重要研究對(duì)象．由于抽象函數(shù)可以全面考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性和周期性等性質(zhì)的掌握,所以抽象函數(shù)在高考中常出現(xiàn)．本文對(duì)與指數(shù)函數(shù)的抽象形式有關(guān)問題的解法進(jìn)行研究與總結(jié)．

1 在抽象函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用

例1已知函數(shù)f(x)滿足：對(duì)任意的x,y∈R有f(x)·f(y)＝f(x＋y),且f(1)＞1,則在區(qū)間[－2,2]上,自變量x取( )時(shí),f(x)取得最大值．

A．－2 B．2 C．0 D．1或－1

解析

由于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)滿足：對(duì)任意的x,y∈R有f(x)·f(y)＝f(x＋y),因?yàn)閒(1)＞1,不妨設(shè)函數(shù)f(x)＝ex,易知f(x)在區(qū)間[－2,2]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)f(x)取得最大值．故選B．

本題利用指數(shù)函數(shù)的特征,將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)問題,直接利用指數(shù)函數(shù)y＝ex的單調(diào)性,快速解決此類問題,避免了利用單調(diào)性的定義判斷的步驟,從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化．因此,我們需要熟練掌握基本初等函數(shù)的抽象形式,才能達(dá)到靈活應(yīng)用、融會(huì)貫通的目的．其他形式如下．

(1)常函數(shù)：f(x)＝f(y)；

(2)正比例函數(shù)：f(x)±f(y)＝f(x±y)；

(3)冪函數(shù)：f(x)·f(y)＝f(xy),f(x)－

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)：f(x)＋f(y)＝f(xy),f(x)－

2 在抽象函數(shù)不等式中的應(yīng)用

例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f′(x)＞2f(x),且f(1)＝1,則不等式f(x)＞e2x－2的解集為( )．

A．(－∞,1) B．(1,＋∞)

C．(－1,1) D．(0,1)

解析

由f′(x)＞2f(x)知F′(x)＞0,所以F(x)為R上的增函數(shù)．

f(x)＞e2x－2,即,由f(1)＝1可知,F(x)＞F(1),所以x＞1,故選B．

此題利用導(dǎo)數(shù)公式：(e2x)′＝2 e2x,結(jié)合題干中的抽象函數(shù)不等式f′(x)＞2f(x),構(gòu)造抽象函數(shù)F(x),容易判斷F′(x)的正負(fù)性,確定F(x)的單調(diào)性,然后將問題轉(zhuǎn)化到構(gòu)造的函數(shù)F(x),使問題簡(jiǎn)單明了．

與指數(shù)函數(shù)ex有關(guān)的抽象函數(shù)構(gòu)造方法有：

(1)f′(x)＋f(x)＞0,構(gòu)造F(x)＝exf(x)；

(2)f′(x)－f(x)＞0,構(gòu)造

(3)f′(x)＋kf(x)＞0(k＞0),構(gòu)造F(x)＝ek xf(x)；

(4)f′(x)－kf(x)＞0(k＞0),構(gòu)造F(x)＝

(5)kf′(x)＋f(x)＞0(k＞0),構(gòu)造F(x)＝

(6)kf′(x)－f(x)＞0(k＞0),構(gòu)造F(x)＝

(7)(1＋x)f(x)＋xf′(x)＞0,構(gòu)造F(x)＝xf(x)ex；

(8)(1－x)f(x)＋xf′(x)＞0,構(gòu)造F(x)＝

3 在抽象函數(shù)等式中的應(yīng)用

例3設(shè)函數(shù)f(x)滿足x2f′(x)＋2xf(x)＝,則x＞0時(shí),f(x)( )．

A．有極大值,無極小值

B．有極小值,無極大值

C．既有極大值又有極小值

D．既無極大值也無極小值

解析

因?yàn)?x2f(x))′＝x2f′(x)＋2xf(x),設(shè)g(x)＝x2f(x),則,且f(x)＝,所以

記h(x)＝ex－2g(x),則h′(x)＝ex－2g′(x)＝,所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí),h′(x)＜0,h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,＋∞)時(shí),h′(x)＞0,h(x)在(2,＋∞)上單調(diào)遞增．因此h(x)≥h(2)＝e2－2g(2)＝e2－8f(2)＝0,即x∈(0,＋∞)時(shí),f′(x)≥0,所以f(x)在(0,＋∞)單調(diào)遞增,故f(x)在(0,＋∞)上既無極大值也無極小值．故選D．

例4已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f′(x)＝e－x(2x＋3)－f(x)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且f(0)＝1,若關(guān)于x的不等式f(x)－m＜0的解集中恰有2個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )．

A．(－e,0] B．[－e2,0)

C．[－e,0) D．(－e2,0]

解析

由f′(x)＝e－x(2x＋3)－f(x),可知(f′(x)＋f(x))ex＝2x＋3,即

所以exf(x)＝x2＋3x＋C(其中C為常數(shù)),所以．由f(0)＝1,可知C＝1,所以,則

故f(x)的增區(qū)間為(－2,1),減區(qū)間為(－∞,－2)和(1,＋∞),且有f(－2)＝－e2,_________________的圖象如圖1所示,f(－1)＝－e,f(－3)＝e3．

圖1

綜上,不等式m＞f(x)的解集中恰有2個(gè)整數(shù),這2個(gè)整數(shù)只能是－2,－1,所以m∈(f(－1),0],即m∈(－e,0]．故選A．

上述兩道例題條件的一般形式為定義在D上的函數(shù)f(x)滿足：f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＝h(x),且f(x0)＝m,然后判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

解題思路由題意知(f(x)g(x))′＝h(x)．

① 若存在函數(shù)H(x),使得H′(x)＝h(x),則f(x)g(x)＝H(x)＋C(其中C為常數(shù)),f(x)＝,由f(x)＝m,解得C＝C,于是函數(shù)00f(x)的解析式確定．

② 若不存在函數(shù)H(x),使得H′(x)＝h(x),令F(x)＝f(x)g(x),則F′(x)＝h(x),所以f(x)＝,所以

于是使得G′(x)不是抽象函數(shù),且可判斷G′(x)的正負(fù)性,從而判斷G(x)的單調(diào)性,結(jié)合f(x0)＝m與可判斷函數(shù)f′(x)的正負(fù)性,從而判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．

4 在與抽象函數(shù)有關(guān)的數(shù)列中的應(yīng)用

例5已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽,當(dāng)x＜0時(shí),0＜f(x)＜1,且對(duì)任意的x,y∈R,等式f(x)·f(y)＝f(x＋y)成立,若數(shù)列{an}滿足f(an＋1)·,且a1＝f(0),則下列結(jié)論成立的是( )．

A．f(a2016)＜f(a2019) B．f(a2017)＜f(a2020)

C．f(a2018)＜f(a2020) D．f(a2018)＜f(a2019)

解析

由任意的x,y∈R,等式f(x)·f(y)＝f(x＋y)成立和當(dāng)x＜0時(shí),0＜f(x)＜1,不妨設(shè)f(x)＝ex,所以

所以,數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列,

所以a2020＞a2018＞a2019,f(a2020)＞f(a2018)＞f(a2019),故選C．

本題利用抽象函數(shù)構(gòu)造數(shù)列,將數(shù)列的周期性與函數(shù)的單調(diào)性綜合考查,根據(jù)抽象函數(shù)遞推式,將抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化到指數(shù)函數(shù)y＝ex,使得抽象函數(shù)的單調(diào)性簡(jiǎn)單明了,再借助指數(shù)運(yùn)算容易給出數(shù)列的遞推關(guān)系式,從而得到數(shù)列的周期性,使問題得以解決．

5 在抽象函數(shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列中的應(yīng)用

例6已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足：對(duì)任意的x,y∈R都有f(x)f(y)g(x＋y)＝g(x)g(y)f(x＋y),且f′(x)g(x)＞f(x)g′(x),e(f(1)g(－1)＋f(－1)g(1))＝ (e2＋1)g(1)·g(－1),數(shù)列{bn}滿足：f(n)＝bn·g(n),則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為( )．

解析

對(duì)任意的x,y∈R,有

由e(f(1)g(－1)＋f(－1)g(1))＝(e2＋1)·g(1)g(－1)可知解得a＝e或(舍),所以,即{bn}為等比數(shù)列,前10項(xiàng)和為,故選C．

求解此題的關(guān)鍵是將抽象函數(shù)的一般形式向指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)形式轉(zhuǎn)化,結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算確定單調(diào)性,從而解得數(shù)列的通項(xiàng)公式．

指數(shù)函數(shù)作為高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)考查對(duì)象,在函數(shù)中有著舉足輕重的地位．當(dāng)遇到對(duì)任意的x,y∈R有f(x)f(y)＝f(x＋y)的模型時(shí),就可以向指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)上轉(zhuǎn)化,從而使問題得以簡(jiǎn)化,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的目的．