函數(shù)周期靈活多變,多維探究力顯身手

◇ 山東 韓建坤

“東升西落照蒼穹,影短影長角不同．晝夜循環(huán)潮起伏,冬春更替草枯榮．”數(shù)學(xué)與詩歌本不是一家,數(shù)學(xué)是抽象思維活動,詩詞是闡述心靈的文學(xué)藝術(shù),但有些詩與數(shù)學(xué)“聯(lián)姻”,把數(shù)學(xué)嵌入詩中,裝點了詩詞的國度,讓詩詞多了一種氣質(zhì)和風(fēng)情,而周期函數(shù)就是具有這種“氣質(zhì)風(fēng)韻”的一類函數(shù)．

1 求函數(shù)的周期

例1若對任意x∈R,f(x)滿足f(x＋2019)＝－f(x＋2020),則函數(shù)f(x)的周期為_______．

解析

由f(x＋2019)＝－f(x＋2020),得f(x＋2019)＝－f(x＋2019＋1),令x＋2019＝t,即f(t＋1)＝－f(t),所以f(t＋2)＝f(t),函數(shù)f(x)的周期為2．

點評

求解函數(shù)的周期問題,要緊扣函數(shù)周期的定義,牢記函數(shù)周期的常用結(jié)論,熟練掌握函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系．

變式已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足,則函數(shù)f(x)的周期為________．

2 周期函數(shù)的判定

例2設(shè)函數(shù)y＝f(x),x∈R．若函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱,求證：函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)．

解析

由圖象關(guān)于x＝a對稱得f(2a－x)＝f(x),即f(2a＋x)＝f(－x)．

因為f(x)為偶函數(shù),所以f(－x)＝f(x),從而f(2a＋x)＝f(x),所以f(x)是以2a為周期的函數(shù)．

點評

應(yīng)用定義法判斷或證明函數(shù)是否具有周期性的關(guān)鍵是從函數(shù)周期的定義出發(fā),充分挖掘隱含條件,合理賦值,巧妙轉(zhuǎn)化．

變式設(shè)函數(shù)y＝f(x),x∈R．若函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對稱,求證：函數(shù)y＝f(x)是以4a為周期的函數(shù)．

解析

若f(x)為奇函數(shù),則圖象關(guān)于原點對稱,f(－x)＝－f(x),由條件得f(2a－x)＝f(x),f(2a＋x)＝f(－x)＝－f(x),故f(4a＋x)＝f(x),所以f(x)是以4a為周期的函數(shù)．

3 利用函數(shù)的周期性求值或范圍

例3設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x),且當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)＝2x－x2,則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝________．

解析

因為f(x＋2)＝f(x),所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝2．又當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)＝2x－x2,所以f(0)＝0,f(1)＝1,則

故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝1009．

點評根據(jù)函數(shù)的周期性,可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì),在解決具體問題時,要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期,則k T(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．

變式已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù),若,則實數(shù)a的取值范圍為________．

4 在周期現(xiàn)象中的應(yīng)用

例4某班有48名學(xué)生,每天安排4名同學(xué)值日,一周上五天課,一學(xué)期按二十周計算,該班每位同學(xué)一學(xué)期要值日幾次?

解析

共有48名學(xué)生,每天安排4名,則12個上課日就輪完一遍,而一學(xué)期有5×20＝100個上課日,12×8＝96個上課日,所以該班每位同學(xué)一學(xué)期至少值日8次,有一部分同學(xué)要值日9次．

點評應(yīng)用周期現(xiàn)象解決實際問題的兩個要點,如圖1所示．

圖1

變式十字路口處紅綠燈亮滅的情況如下：1 min亮綠燈,接著10s亮黃燈,再接著1min亮紅燈,10s亮黃燈,1min亮綠燈,則剛開始亮綠燈時,某人過路口,10min后又回到此路口,此時應(yīng)該亮____燈．

太陽東升西落晝夜循環(huán)、潮漲潮落冬去春來(四季更替)、草枯草綠等盡顯著大自然的不同尋常,周期函數(shù)都以獨特的風(fēng)采給人類帶來美的感受．