基于偏最小二乘法分形計盒維數的沖擊定位方法

陳思博，潘曉文，劉金福

(1. 福建農林大學 計算機與信息學院，福州 350002; 2. 生態與資源統計福建省高校重點實驗室，福州 350002)

復合材料在制造、使用和維護的過程中不可避免的會受到意外物體地低速沖擊，造成基體結構的橫向裂紋和分層損傷。與高速沖擊的穿透損傷相比，低速沖擊對結構承載能力的影響更嚴重。因此人們更加重視能否及時準確判斷出低速沖擊位置，評估可能造成的損傷情況[1-3]。

目前常用沖擊載荷定位技術中，深度學習的方法需要事先采集大量樣本數據。由于實際機械結構形式具有離散性與復雜性，大量先驗數據的采集不僅耗時，還易造成結構先期損傷，這使得該方法在工程上具有局限性；而時差定位法無需先驗知識，只需提取沖擊應力波到達的時差時間即可反推出沖擊位置，此類方法一般采用壓電傳感系統，該系統在數據采集與傳輸過程易受到電磁干擾，且壓電監測陣列需要大量傳輸線纜，需要解決大量傳感器帶來的引線數目多和占用監測系統通道多的問題[4]，同時系統體積重量大、功耗高，使得其在航空航天領域地應用受到一定限制。

光纖傳感器具有芯徑細、柔韌性好、抗電磁干擾、靈敏度高、適合長期監測等優點。Chuang等[5-6]將光纖布拉格光柵(Fiber Bragg Grating，FBG)應用于柔性懸臂梁的應變和位移動態監測。Lee等[7]將FBG應用于碳纖維增強復合材料(Carbon Fibre-Reinforced Polymer，CFRP)材料的板結構沖擊監測，認為與傳統壓電陶瓷(Piezoelectric Ceramic，PZT)傳感器進行對比，FBG傳感器更適合用于沖擊檢測。陸觀等[8]也開展了基于相似度比較的FBG低速沖擊監測研究。由于時差沖擊載荷定位方法需要信號采集系統具有較高采樣頻率，因此該方法并不適用于采樣頻率較低的FBG解調系統。

在數據樣本有限的情況下，使用FBG為傳感器進行沖擊載荷定位，需要人工提取信號特征，建立特征與沖擊載荷定位的模型，并以此模型用于監測沖擊載荷定位。曾捷等[9]將信號峰值幅度和基于小波包分解的能量譜為信號特征對沖擊載荷進行定位，小波包分解的能量譜作為沖擊響應特征，識別沖擊位置，該方法需要大量的樣本數據，且試驗條件可遷移性差。但分形維數與沖擊載荷位置有較好的相關性，對先驗知識無需過多要求，熊稚莉等[10]將沖擊響應信號關聯維數作為沖擊特征量，對沖擊載荷位置進行辨識，但是，分形維數與沖擊載荷位置之間的線性度以及重復性差。為此，本文提出基于偏最小二乘法提高分形維數的沖擊載荷定位精度的方法。

1 沖擊響應頻譜特征分析

1.1 沖擊監測試驗系統

FBG傳感器通過將光柵寫入纖芯制作而成。當一束寬帶光注入光纖時，光柵反射特定波長的光。該波長滿足光纖Bragg 反射條件。光纖光柵所受軸向應變和溫度可引起影響FBG柵距變化以及彈光效應，使得FBG 反射光中心波長發生偏移。反射光中心波長與光柵所受的軸向應變與溫度變化呈線性關系

ΔλB/λB=kεΔε+kTΔT

(1)

式中：λB為FBG中心波長； ΔλB為光纖光柵反射中心波長偏移量； Δε為應變變化量；kε為光纖光柵應變靈敏度；kT為光纖光柵溫度靈敏度； ΔT為溫度變化量。

計算機、光纖光柵解調儀、FBG以及連接光纖組成變測試系統，用于測量四周固支板結構沖擊響應。其中FBG傳感器由光纖跳線接入MOI公司光纖光柵解調儀(采樣頻率1 kHz)，系統實物如圖1所示。解調儀不僅能解調出各個FBG反射光中心波長，還能與PC機之間通過局域網相連，可將各個FBG反射光中心波長數據傳入計算機進行顯示并轉換為應變數據，解調儀組成如圖2所示。寬帶光源將白光注入FBG；各個FBG反射光通過耦合器導入光譜儀，并識別FBG 反射光中心波長；網卡與PC機之間建立局域網，實現兩者通信。計算機機上軟件識別沖擊載荷位置。

圖1 光纖光柵應變測量系統實物圖Fig.1 Physical chart of fiber Bragg grating strain measurement system

圖2 光纖光柵應變測量系統Fig.2 Fiber Bragg grating strain measurement system

板結構沖擊引起被測位置的振動，使得FBG柵距變化以及彈光效應，引起FBG 中心波長的偏移，從而測得被測位置應變信號。由于沖擊響應時間短，因此溫度變化可以忽略。

為了避免重復沖擊造成復合材料板損傷而影響試驗結果，試件首先選擇尺寸為1.2 m×1.2 m的四邊固支鋁合金板作為研究對象。監測區域為一個以鋁合金板正中心點為中心，長寬各為30 cm的正方形。傳感器布置以及坐標系定義如圖3所示。圖3中監測區域四周布置四支FBG，長方形實心方塊為FBG，其長邊為FBG軸向方向，所有FBG軸向平行于x軸。

圖3 光纖光柵傳感器布局Fig.3 Layout of fiber Bragg grating sensors

對試件的待監測區域進行均勻單元網格劃分，網格間距5 cm×5 cm，共計49個樣本點。FBG3處設置為坐標原點。使用沖擊錘對各單元網格結點依次進行沖擊，分別記錄每次加載時四支FBG的沖擊響應信號，以便于后續處理。

1.2 沖擊距離對頻譜特征的影響

低速沖擊應力波在二維彈性材料上傳播除了有衰減現象還有彌散現象。衰減現象是指在沖擊過程中，應力值會隨著應力波傳播方向而逐漸遞減[11]。彌散現象是指應力波在傳播過程中不能保持初始波形，各諧波分量以各自的相速傳播，造成波形擴散，即波形逐漸拉長變平，波形出現高頻震蕩的現象[12-13]。隨著傳播距離的增加，這種波形拉長變平的現象將會更明顯。因為傳播質點的橫向慣性效應引起不同頻率的應力波傳播速度不同所致。王從約等[14]結合傅里葉波譜分析，對有限長圓桿中彈性波的彌散進行較全面地研究。由于存在衰減與彌散現象，導致在沖擊點附近的所測得信號頻譜與遠離沖擊點處所測量的信號頻譜不相似。圖4為1 J能量在原點處(FBG3所處位置)沖擊時，FBG1，FBG2，FBG3，FBG4振動信號頻譜。FBG3振動響應信號頻譜與遠離沖擊點FBG1，FBG2與FBG4振動信號頻譜不相似，主要體現在小于200 Hz低頻成分，沖擊點處振動信號低頻成分豐富。與沖擊點的振動信號相比較，其它傳感器的振動信號低頻成分衰減較大。因此，振動信號頻譜曲線的形狀能表現傳感器位置與沖擊點之間的關系，本文擬采用分形計盒維數刻畫振動信號頻譜曲線，研究頻譜曲線分形計盒維數與沖擊載荷位置的關系，并用于識別沖擊載荷位置。

圖4 在原點處沖擊時FBG1～FBG4信號頻譜Fig.4 Frequency spectrum of FBG1-FBG4 signal when impacting at origin

2 基于頻譜分形維數的沖擊載荷判位方法

分形理論區別于傳統歐氏幾何的主要觀點是對于不規則的、復雜的幾何圖形，其維數是分數[15]。通過分形維數在狀態空間中來定量描述、刻畫非線性系統行為的復雜性，并以此度量信號的不規則度[16]。計算分形維數的方法主要有Hausdoff維數、計盒維數等。本文提出將分形計盒維數用作描述FBG振動信號頻譜變化的特征指標，為沖擊載荷定位提供依據。

2.1 分形計盒維數定義與計算

振動信號頻譜曲線S∈R2分形的計盒維數，需將頻譜圖形S放在一個均勻分割的網格上，每個網格(盒子)邊長為l，頻譜曲線S分形計盒維數e計算如式(2)所示

(2)

式中，N(l)為覆蓋頻譜曲線S所需最少的尺度不超過l的“盒子”(網格)的個數。

分形計盒維數計算步驟是： ①將頻譜曲線歸一化到單位正方形區域內，得到歸一化頻譜曲線S； ②以ln=nδ為邊長，對單位正方形區域劃分網格,n為網格放大倍數,n=1,2,3…，δ為譜線之間的間隔； ③計算不同n情況下，logN(ln)和log(1/ln)的系列值； ④以logN(ln)為縱坐標，log(1/ln)為橫坐標，使用直線擬合這些點，直線斜率即為計盒維數e。

2.2 沖擊信號頻譜分形計盒維數與沖擊位置關系

對信號的頻譜分析工具有傅里葉變換(Fast Fourier Transformation，FFT)、離散余弦變換(Discrete Cosine Transform，DCT)等。以FBG3為例，分別使用FFT與DCT變換計算信號頻譜，其頻譜分形計盒維數與沖擊位置之間關系如圖5所示。圖5中每條曲線代表在圖1坐標系情況下，在y坐標為一常數(x=0，5 cm，10 cm，15 cm，…，30 cm，共7個點)一系列網格點上沖擊，FBG3信號的頻譜分形計盒維數。從圖5中可得：①信號頻譜分形計盒維數隨沖擊載荷與傳感器距離增大而增大； ②信號頻譜分形計盒維數對沿著光纖光柵軸向位置(x軸)更為敏感，即在x方向上變化大；而對垂直于光纖光柵軸向位置(y軸)上變化不大； ③基于DCT的分形計盒維數與沖擊點x坐標較FFT有較好的線性度。

2.3 偏最小二乘回歸法對沖擊點位置識別

由于信號頻譜分形計盒維數與沖擊點位置坐標之間的重復性、線性度較差，不能直接使用線性回歸建模和用于定位。因此，要采用多傳感器數據融合的方法提高定位精度。常用的方法有：主成分分析法、聚類分析法、最小二乘及其擴展算法、人工神經網絡等。偏最小二乘回歸法(Partial Least Squares Regression, PLSR)借助主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)實現多傳感器數據降維，同時結合多元線性回歸(Multiple Linear Regression, MLR)和典型相關性分析方法(Canonical Correlation Analysis, CCA)，可以有效地提取對沖擊位置解釋性最強的綜合信息。

圖5 FBG3信號頻譜分形計盒維數與沖擊點位置關系Fig.5 The relationship between fractal box dimension of frequency spectrum of FBG3 signal and the position of impact point

尹力等[17]使用該方法對銑削刀具的磨損狀態進行了建模和預測的分析。史永勝等[18]提出了一種小樣本條件下考慮發動機眾多因素對EGT影響的發動機性能短期預測模型。本文使用Matlab軟件提供的Plsregress函數對傳感器信號頻譜分形維數進行建模并識別沖擊載荷位置。

在試件監測區域內(x∈[0,30] cm,y∈[0,30] cm)，沖擊錘使用1 J量在網格(5 cm×5 cm)點上依次沖擊；記錄每次沖擊時的四支FBG信號，對測信號進行DCT變換，并計算分形計盒維數；然后將分形計盒維數以及沖擊點坐標加入樣本集中(總樣本數量為49)。從樣本集中隨機抽取部分數據用于PLSR建模，其余數據用于測試。當建模樣本數量為30時，所建立的PLSR模型，在測試樣本集(19個樣本)上，識別沖擊點x坐標的平均誤差2.43 cm，最大誤差6.06 cm，回歸方程為

Ux=6.705 2-8.485 3e1+0.924 9e2+
9.255 5e3-3.632 8e4

(3)

式中：e1，e2，e3，e4分別為FBG1，FBG2，FBG3，FBG4四支傳感器信號DCT頻譜分形計盒維數；Ux為沖擊點x坐標。

觀察式(3)中的回歸系數。可以發現處于對角線的FBG1與FBG3兩個傳感器，其分形計盒維數e1與e3在解釋沖擊位置中起著重要作用。由于監測區域是對稱結構，因此可以考慮使用任意兩個處于對角線上的傳感器數據建模。本文采用e1與e3建模，建模樣本數量仍然為30，在測試樣本集(19個樣本)上識別沖擊點x坐標的平均誤差2.35 cm，最大誤差7.01 cm。該方案較四支傳感器布局，誤差略大，但是節省一半傳感器數量。由于y方向分形維數變化相對較小，因此無法進行y方向定位。

2.4 建模樣本數量對識別精度的影響

建模樣本從樣本集合中隨機抽取。表1體現了不同建模樣本數，模型的單個方向識別精度。增加樣本數量有利于提高建模精度，在樣本數量超過10時，樣本數量對建模精度提升作用不大。采用FFT的分形維數建模精度較DCT低，因此本文采用DCT作為頻譜分析工具，使用12個樣本建模，單個方向的識別平均誤差為2.64 cm。

表1 建模樣本數量對識別精度的影響

2.5 載荷大小對識別精度的影響

在FBG3周邊網格(x∈[-15,15] cm,y∈[-15,15] cm，包括非監測區)上，使用沖擊錘，分別以1 J沖擊兩次和2 J能量沖擊一次，并記錄相關數據作為測試集。其中，沿著y=0，x∈[-15,15] cm的網格點上沖擊，FBG3頻譜計盒分形維數如圖6所示。兩次1 J沖擊試驗結果顯示其數據的重復性和線性度不佳；1 J沖擊試驗數據與2 J沖擊試驗數據基本重合。使用表1中的 3號(12個樣本)的數據所建立的模型，對本次試驗中在監測區域(x∈[0,15] cm,y∈[0,15] cm)中的數據進行識別，對1 J數據的識別均方根誤差2.62 cm，最大誤差為4.34 cm；對2 J數據的識別均方根誤差2.14 cm，最大誤差為5.26 cm。因此，可以認為載荷大小對沖擊位置識別精度無影響。對監測區域外識別精度較差，這是因為沖擊超出FBG1監測距離(30 cm)，其分形維數在1.78左右基本保持不變。

2.6 傳感器優化布局

根據2.2節分析FBG單個方向布置只能識別載荷在其軸線方向上的坐標，即x方向坐標，且每個方向只需在監測區域對角線上布置兩個FBG。因此，與x方向判位原理類似，只需在圖3傳感器布局中，將FBG2，FBG4布置為軸向平行于y軸方向的光纖光柵光感器，即可實現對沖擊載荷x，y方向坐標的同步識別。將此布局應用于環氧樹脂板結構沖擊載荷位置如圖7所示。

圖6 不同能量沖擊FBG3信號頻譜分形計盒維數Fig.6 Fractal box dimension of frequency spectrum of FBG3 signal impacted by different energy

圖7 環氧樹脂板傳感器布局與沖擊監測結果Fig.7 Sensors layout and impact monitoring results on epoxy resin board

2.7 環氧樹脂板沖擊定位識別

將試驗系統的鋁合金板替換為環氧樹脂板，在監測區域內隨機選擇12個位置使用沖擊錘1 J能量沖擊，將其數據作為樣本用于PLSR建模。在監測區域內，隨機沖擊三次，雙方向識別結果如圖7所示。沖擊載荷1～3，識別距離誤差分別為4.90 cm，4.74 cm，8.91 cm，誤差較均質鋁合金板大。試驗分析與環氧樹脂板質量有關，部分數據與周邊數據存在突變，降低建模精度。

3 結 論

本文提出了一種基于分形計盒維數的板結構分布式光纖沖擊載荷定位方法。采用頻譜分形維數作為沖擊響應特征參數，實現沖擊載荷在沿光纖光柵傳感器軸向方向的位置信息識別。由于板結構沖擊應力波除了有衰減、彌散效應，還有邊界以及損傷區域的多次反射現象，沖擊響應復雜。因此，分形計盒維數與坐標之間的線性度較差，需要使用多傳感器數據融合方法提高預測精度。本文采用PLSR建模具有以下優點：

(1) 載荷大小對建模精度無影響，且建模所需要的樣本數量較少，可以避免建模過程對復合材料造成損傷。

(2) 試驗數據重復性和線性度較差，但是使用PLSR建立的模型具有魯棒性。

(3) 可以根據建模的回歸方程推斷出傳感器的優化布局，使得本文所需的傳感器數量少于相關文獻。

對環氧樹脂板進行監測有較大誤差，根據文獻[16]是板結構損傷造成的，因此可進一步研究頻譜分形維數作為復合材料的損傷特征。