基于偏最小二乘法分形計(jì)盒維數(shù)的沖擊定位方法

陳思博，潘曉文，劉金福

(1. 福建農(nóng)林大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福州 350002; 2. 生態(tài)與資源統(tǒng)計(jì)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州 350002)

復(fù)合材料在制造、使用和維護(hù)的過程中不可避免的會(huì)受到意外物體地低速?zèng)_擊，造成基體結(jié)構(gòu)的橫向裂紋和分層損傷。與高速?zèng)_擊的穿透損傷相比，低速?zèng)_擊對結(jié)構(gòu)承載能力的影響更嚴(yán)重。因此人們更加重視能否及時(shí)準(zhǔn)確判斷出低速?zèng)_擊位置，評估可能造成的損傷情況[1-3]。

目前常用沖擊載荷定位技術(shù)中，深度學(xué)習(xí)的方法需要事先采集大量樣本數(shù)據(jù)。由于實(shí)際機(jī)械結(jié)構(gòu)形式具有離散性與復(fù)雜性，大量先驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集不僅耗時(shí)，還易造成結(jié)構(gòu)先期損傷，這使得該方法在工程上具有局限性；而時(shí)差定位法無需先驗(yàn)知識，只需提取沖擊應(yīng)力波到達(dá)的時(shí)差時(shí)間即可反推出沖擊位置，此類方法一般采用壓電傳感系統(tǒng)，該系統(tǒng)在數(shù)據(jù)采集與傳輸過程易受到電磁干擾，且壓電監(jiān)測陣列需要大量傳輸線纜，需要解決大量傳感器帶來的引線數(shù)目多和占用監(jiān)測系統(tǒng)通道多的問題[4]，同時(shí)系統(tǒng)體積重量大、功耗高，使得其在航空航天領(lǐng)域地應(yīng)用受到一定限制。

光纖傳感器具有芯徑細(xì)、柔韌性好、抗電磁干擾、靈敏度高、適合長期監(jiān)測等優(yōu)點(diǎn)。Chuang等[5-6]將光纖布拉格光柵(Fiber Bragg Grating，F(xiàn)BG)應(yīng)用于柔性懸臂梁的應(yīng)變和位移動(dòng)態(tài)監(jiān)測。Lee等[7]將FBG應(yīng)用于碳纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(Carbon Fibre-Reinforced Polymer，CFRP)材料的板結(jié)構(gòu)沖擊監(jiān)測，認(rèn)為與傳統(tǒng)壓電陶瓷(Piezoelectric Ceramic，PZT)傳感器進(jìn)行對比，F(xiàn)BG傳感器更適合用于沖擊檢測。陸觀等[8]也開展了基于相似度比較的FBG低速?zèng)_擊監(jiān)測研究。由于時(shí)差沖擊載荷定位方法需要信號采集系統(tǒng)具有較高采樣頻率，因此該方法并不適用于采樣頻率較低的FBG解調(diào)系統(tǒng)。

在數(shù)據(jù)樣本有限的情況下，使用FBG為傳感器進(jìn)行沖擊載荷定位，需要人工提取信號特征，建立特征與沖擊載荷定位的模型，并以此模型用于監(jiān)測沖擊載荷定位。曾捷等[9]將信號峰值幅度和基于小波包分解的能量譜為信號特征對沖擊載荷進(jìn)行定位，小波包分解的能量譜作為沖擊響應(yīng)特征，識別沖擊位置，該方法需要大量的樣本數(shù)據(jù)，且試驗(yàn)條件可遷移性差。但分形維數(shù)與沖擊載荷位置有較好的相關(guān)性，對先驗(yàn)知識無需過多要求，熊稚莉等[10]將沖擊響應(yīng)信號關(guān)聯(lián)維數(shù)作為沖擊特征量，對沖擊載荷位置進(jìn)行辨識，但是，分形維數(shù)與沖擊載荷位置之間的線性度以及重復(fù)性差。為此，本文提出基于偏最小二乘法提高分形維數(shù)的沖擊載荷定位精度的方法。

1 沖擊響應(yīng)頻譜特征分析

1.1 沖擊監(jiān)測試驗(yàn)系統(tǒng)

FBG傳感器通過將光柵寫入纖芯制作而成。當(dāng)一束寬帶光注入光纖時(shí)，光柵反射特定波長的光。該波長滿足光纖Bragg 反射條件。光纖光柵所受軸向應(yīng)變和溫度可引起影響FBG柵距變化以及彈光效應(yīng)，使得FBG 反射光中心波長發(fā)生偏移。反射光中心波長與光柵所受的軸向應(yīng)變與溫度變化呈線性關(guān)系

ΔλB/λB=kεΔε+kTΔT

(1)

式中：λB為FBG中心波長； ΔλB為光纖光柵反射中心波長偏移量； Δε為應(yīng)變變化量；kε為光纖光柵應(yīng)變靈敏度；kT為光纖光柵溫度靈敏度； ΔT為溫度變化量。

計(jì)算機(jī)、光纖光柵解調(diào)儀、FBG以及連接光纖組成變測試系統(tǒng)，用于測量四周固支板結(jié)構(gòu)沖擊響應(yīng)。其中FBG傳感器由光纖跳線接入MOI公司光纖光柵解調(diào)儀(采樣頻率1 kHz)，系統(tǒng)實(shí)物如圖1所示。解調(diào)儀不僅能解調(diào)出各個(gè)FBG反射光中心波長，還能與PC機(jī)之間通過局域網(wǎng)相連，可將各個(gè)FBG反射光中心波長數(shù)據(jù)傳入計(jì)算機(jī)進(jìn)行顯示并轉(zhuǎn)換為應(yīng)變數(shù)據(jù)，解調(diào)儀組成如圖2所示。寬帶光源將白光注入FBG；各個(gè)FBG反射光通過耦合器導(dǎo)入光譜儀，并識別FBG 反射光中心波長；網(wǎng)卡與PC機(jī)之間建立局域網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)兩者通信。計(jì)算機(jī)機(jī)上軟件識別沖擊載荷位置。

圖1 光纖光柵應(yīng)變測量系統(tǒng)實(shí)物圖Fig.1 Physical chart of fiber Bragg grating strain measurement system

圖2 光纖光柵應(yīng)變測量系統(tǒng)Fig.2 Fiber Bragg grating strain measurement system

板結(jié)構(gòu)沖擊引起被測位置的振動(dòng)，使得FBG柵距變化以及彈光效應(yīng)，引起FBG 中心波長的偏移，從而測得被測位置應(yīng)變信號。由于沖擊響應(yīng)時(shí)間短，因此溫度變化可以忽略。

為了避免重復(fù)沖擊造成復(fù)合材料板損傷而影響試驗(yàn)結(jié)果，試件首先選擇尺寸為1.2 m×1.2 m的四邊固支鋁合金板作為研究對象。監(jiān)測區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)以鋁合金板正中心點(diǎn)為中心，長寬各為30 cm的正方形。傳感器布置以及坐標(biāo)系定義如圖3所示。圖3中監(jiān)測區(qū)域四周布置四支FBG，長方形實(shí)心方塊為FBG，其長邊為FBG軸向方向，所有FBG軸向平行于x軸。

圖3 光纖光柵傳感器布局Fig.3 Layout of fiber Bragg grating sensors

對試件的待監(jiān)測區(qū)域進(jìn)行均勻單元網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格間距5 cm×5 cm，共計(jì)49個(gè)樣本點(diǎn)。FBG3處設(shè)置為坐標(biāo)原點(diǎn)。使用沖擊錘對各單元網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)依次進(jìn)行沖擊，分別記錄每次加載時(shí)四支FBG的沖擊響應(yīng)信號，以便于后續(xù)處理。

1.2 沖擊距離對頻譜特征的影響

低速?zèng)_擊應(yīng)力波在二維彈性材料上傳播除了有衰減現(xiàn)象還有彌散現(xiàn)象。衰減現(xiàn)象是指在沖擊過程中，應(yīng)力值會(huì)隨著應(yīng)力波傳播方向而逐漸遞減[11]。彌散現(xiàn)象是指應(yīng)力波在傳播過程中不能保持初始波形，各諧波分量以各自的相速傳播，造成波形擴(kuò)散，即波形逐漸拉長變平，波形出現(xiàn)高頻震蕩的現(xiàn)象[12-13]。隨著傳播距離的增加，這種波形拉長變平的現(xiàn)象將會(huì)更明顯。因?yàn)閭鞑ベ|(zhì)點(diǎn)的橫向慣性效應(yīng)引起不同頻率的應(yīng)力波傳播速度不同所致。王從約等[14]結(jié)合傅里葉波譜分析，對有限長圓桿中彈性波的彌散進(jìn)行較全面地研究。由于存在衰減與彌散現(xiàn)象，導(dǎo)致在沖擊點(diǎn)附近的所測得信號頻譜與遠(yuǎn)離沖擊點(diǎn)處所測量的信號頻譜不相似。圖4為1 J能量在原點(diǎn)處(FBG3所處位置)沖擊時(shí)，F(xiàn)BG1，F(xiàn)BG2，F(xiàn)BG3，F(xiàn)BG4振動(dòng)信號頻譜。FBG3振動(dòng)響應(yīng)信號頻譜與遠(yuǎn)離沖擊點(diǎn)FBG1，F(xiàn)BG2與FBG4振動(dòng)信號頻譜不相似，主要體現(xiàn)在小于200 Hz低頻成分，沖擊點(diǎn)處振動(dòng)信號低頻成分豐富。與沖擊點(diǎn)的振動(dòng)信號相比較，其它傳感器的振動(dòng)信號低頻成分衰減較大。因此，振動(dòng)信號頻譜曲線的形狀能表現(xiàn)傳感器位置與沖擊點(diǎn)之間的關(guān)系，本文擬采用分形計(jì)盒維數(shù)刻畫振動(dòng)信號頻譜曲線，研究頻譜曲線分形計(jì)盒維數(shù)與沖擊載荷位置的關(guān)系，并用于識別沖擊載荷位置。

圖4 在原點(diǎn)處沖擊時(shí)FBG1～FBG4信號頻譜Fig.4 Frequency spectrum of FBG1-FBG4 signal when impacting at origin

2 基于頻譜分形維數(shù)的沖擊載荷判位方法

分形理論區(qū)別于傳統(tǒng)歐氏幾何的主要觀點(diǎn)是對于不規(guī)則的、復(fù)雜的幾何圖形，其維數(shù)是分?jǐn)?shù)[15]。通過分形維數(shù)在狀態(tài)空間中來定量描述、刻畫非線性系統(tǒng)行為的復(fù)雜性，并以此度量信號的不規(guī)則度[16]。計(jì)算分形維數(shù)的方法主要有Hausdoff維數(shù)、計(jì)盒維數(shù)等。本文提出將分形計(jì)盒維數(shù)用作描述FBG振動(dòng)信號頻譜變化的特征指標(biāo)，為沖擊載荷定位提供依據(jù)。

2.1 分形計(jì)盒維數(shù)定義與計(jì)算

振動(dòng)信號頻譜曲線S∈R2分形的計(jì)盒維數(shù)，需將頻譜圖形S放在一個(gè)均勻分割的網(wǎng)格上，每個(gè)網(wǎng)格(盒子)邊長為l，頻譜曲線S分形計(jì)盒維數(shù)e計(jì)算如式(2)所示

(2)

式中，N(l)為覆蓋頻譜曲線S所需最少的尺度不超過l的“盒子”(網(wǎng)格)的個(gè)數(shù)。

分形計(jì)盒維數(shù)計(jì)算步驟是： ①將頻譜曲線歸一化到單位正方形區(qū)域內(nèi)，得到歸一化頻譜曲線S； ②以ln=nδ為邊長，對單位正方形區(qū)域劃分網(wǎng)格,n為網(wǎng)格放大倍數(shù),n=1,2,3…，δ為譜線之間的間隔； ③計(jì)算不同n情況下，logN(ln)和log(1/ln)的系列值； ④以logN(ln)為縱坐標(biāo)，log(1/ln)為橫坐標(biāo)，使用直線擬合這些點(diǎn)，直線斜率即為計(jì)盒維數(shù)e。

2.2 沖擊信號頻譜分形計(jì)盒維數(shù)與沖擊位置關(guān)系

對信號的頻譜分析工具有傅里葉變換(Fast Fourier Transformation，F(xiàn)FT)、離散余弦變換(Discrete Cosine Transform，DCT)等。以FBG3為例，分別使用FFT與DCT變換計(jì)算信號頻譜，其頻譜分形計(jì)盒維數(shù)與沖擊位置之間關(guān)系如圖5所示。圖5中每條曲線代表在圖1坐標(biāo)系情況下，在y坐標(biāo)為一常數(shù)(x=0，5 cm，10 cm，15 cm，…，30 cm，共7個(gè)點(diǎn))一系列網(wǎng)格點(diǎn)上沖擊，F(xiàn)BG3信號的頻譜分形計(jì)盒維數(shù)。從圖5中可得：①信號頻譜分形計(jì)盒維數(shù)隨沖擊載荷與傳感器距離增大而增大； ②信號頻譜分形計(jì)盒維數(shù)對沿著光纖光柵軸向位置(x軸)更為敏感，即在x方向上變化大；而對垂直于光纖光柵軸向位置(y軸)上變化不大； ③基于DCT的分形計(jì)盒維數(shù)與沖擊點(diǎn)x坐標(biāo)較FFT有較好的線性度。

2.3 偏最小二乘回歸法對沖擊點(diǎn)位置識別

由于信號頻譜分形計(jì)盒維數(shù)與沖擊點(diǎn)位置坐標(biāo)之間的重復(fù)性、線性度較差，不能直接使用線性回歸建模和用于定位。因此，要采用多傳感器數(shù)據(jù)融合的方法提高定位精度。常用的方法有：主成分分析法、聚類分析法、最小二乘及其擴(kuò)展算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等。偏最小二乘回歸法(Partial Least Squares Regression, PLSR)借助主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)實(shí)現(xiàn)多傳感器數(shù)據(jù)降維，同時(shí)結(jié)合多元線性回歸(Multiple Linear Regression, MLR)和典型相關(guān)性分析方法(Canonical Correlation Analysis, CCA)，可以有效地提取對沖擊位置解釋性最強(qiáng)的綜合信息。

圖5 FBG3信號頻譜分形計(jì)盒維數(shù)與沖擊點(diǎn)位置關(guān)系Fig.5 The relationship between fractal box dimension of frequency spectrum of FBG3 signal and the position of impact point

尹力等[17]使用該方法對銑削刀具的磨損狀態(tài)進(jìn)行了建模和預(yù)測的分析。史永勝等[18]提出了一種小樣本條件下考慮發(fā)動(dòng)機(jī)眾多因素對EGT影響的發(fā)動(dòng)機(jī)性能短期預(yù)測模型。本文使用Matlab軟件提供的Plsregress函數(shù)對傳感器信號頻譜分形維數(shù)進(jìn)行建模并識別沖擊載荷位置。

在試件監(jiān)測區(qū)域內(nèi)(x∈[0,30] cm,y∈[0,30] cm)，沖擊錘使用1 J量在網(wǎng)格(5 cm×5 cm)點(diǎn)上依次沖擊；記錄每次沖擊時(shí)的四支FBG信號，對測信號進(jìn)行DCT變換，并計(jì)算分形計(jì)盒維數(shù)；然后將分形計(jì)盒維數(shù)以及沖擊點(diǎn)坐標(biāo)加入樣本集中(總樣本數(shù)量為49)。從樣本集中隨機(jī)抽取部分?jǐn)?shù)據(jù)用于PLSR建模，其余數(shù)據(jù)用于測試。當(dāng)建模樣本數(shù)量為30時(shí)，所建立的PLSR模型，在測試樣本集(19個(gè)樣本)上，識別沖擊點(diǎn)x坐標(biāo)的平均誤差2.43 cm，最大誤差6.06 cm，回歸方程為

Ux=6.705 2-8.485 3e1+0.924 9e2+
9.255 5e3-3.632 8e4

(3)

式中：e1，e2，e3，e4分別為FBG1，F(xiàn)BG2，F(xiàn)BG3，F(xiàn)BG4四支傳感器信號DCT頻譜分形計(jì)盒維數(shù)；Ux為沖擊點(diǎn)x坐標(biāo)。

觀察式(3)中的回歸系數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)處于對角線的FBG1與FBG3兩個(gè)傳感器，其分形計(jì)盒維數(shù)e1與e3在解釋沖擊位置中起著重要作用。由于監(jiān)測區(qū)域是對稱結(jié)構(gòu)，因此可以考慮使用任意兩個(gè)處于對角線上的傳感器數(shù)據(jù)建模。本文采用e1與e3建模，建模樣本數(shù)量仍然為30，在測試樣本集(19個(gè)樣本)上識別沖擊點(diǎn)x坐標(biāo)的平均誤差2.35 cm，最大誤差7.01 cm。該方案較四支傳感器布局，誤差略大，但是節(jié)省一半傳感器數(shù)量。由于y方向分形維數(shù)變化相對較小，因此無法進(jìn)行y方向定位。

2.4 建模樣本數(shù)量對識別精度的影響

建模樣本從樣本集合中隨機(jī)抽取。表1體現(xiàn)了不同建模樣本數(shù)，模型的單個(gè)方向識別精度。增加樣本數(shù)量有利于提高建模精度，在樣本數(shù)量超過10時(shí)，樣本數(shù)量對建模精度提升作用不大。采用FFT的分形維數(shù)建模精度較DCT低，因此本文采用DCT作為頻譜分析工具，使用12個(gè)樣本建模，單個(gè)方向的識別平均誤差為2.64 cm。

表1 建模樣本數(shù)量對識別精度的影響

2.5 載荷大小對識別精度的影響

在FBG3周邊網(wǎng)格(x∈[-15,15] cm,y∈[-15,15] cm，包括非監(jiān)測區(qū))上，使用沖擊錘，分別以1 J沖擊兩次和2 J能量沖擊一次，并記錄相關(guān)數(shù)據(jù)作為測試集。其中，沿著y=0，x∈[-15,15] cm的網(wǎng)格點(diǎn)上沖擊，F(xiàn)BG3頻譜計(jì)盒分形維數(shù)如圖6所示。兩次1 J沖擊試驗(yàn)結(jié)果顯示其數(shù)據(jù)的重復(fù)性和線性度不佳；1 J沖擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)與2 J沖擊試驗(yàn)數(shù)據(jù)基本重合。使用表1中的 3號(12個(gè)樣本)的數(shù)據(jù)所建立的模型，對本次試驗(yàn)中在監(jiān)測區(qū)域(x∈[0,15] cm,y∈[0,15] cm)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行識別，對1 J數(shù)據(jù)的識別均方根誤差2.62 cm，最大誤差為4.34 cm；對2 J數(shù)據(jù)的識別均方根誤差2.14 cm，最大誤差為5.26 cm。因此，可以認(rèn)為載荷大小對沖擊位置識別精度無影響。對監(jiān)測區(qū)域外識別精度較差，這是因?yàn)闆_擊超出FBG1監(jiān)測距離(30 cm)，其分形維數(shù)在1.78左右基本保持不變。

2.6 傳感器優(yōu)化布局

根據(jù)2.2節(jié)分析FBG單個(gè)方向布置只能識別載荷在其軸線方向上的坐標(biāo)，即x方向坐標(biāo)，且每個(gè)方向只需在監(jiān)測區(qū)域?qū)蔷€上布置兩個(gè)FBG。因此，與x方向判位原理類似，只需在圖3傳感器布局中，將FBG2，F(xiàn)BG4布置為軸向平行于y軸方向的光纖光柵光感器，即可實(shí)現(xiàn)對沖擊載荷x，y方向坐標(biāo)的同步識別。將此布局應(yīng)用于環(huán)氧樹脂板結(jié)構(gòu)沖擊載荷位置如圖7所示。

圖6 不同能量沖擊FBG3信號頻譜分形計(jì)盒維數(shù)Fig.6 Fractal box dimension of frequency spectrum of FBG3 signal impacted by different energy

圖7 環(huán)氧樹脂板傳感器布局與沖擊監(jiān)測結(jié)果Fig.7 Sensors layout and impact monitoring results on epoxy resin board

2.7 環(huán)氧樹脂板沖擊定位識別

將試驗(yàn)系統(tǒng)的鋁合金板替換為環(huán)氧樹脂板，在監(jiān)測區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選擇12個(gè)位置使用沖擊錘1 J能量沖擊，將其數(shù)據(jù)作為樣本用于PLSR建模。在監(jiān)測區(qū)域內(nèi)，隨機(jī)沖擊三次，雙方向識別結(jié)果如圖7所示。沖擊載荷1～3，識別距離誤差分別為4.90 cm，4.74 cm，8.91 cm，誤差較均質(zhì)鋁合金板大。試驗(yàn)分析與環(huán)氧樹脂板質(zhì)量有關(guān)，部分?jǐn)?shù)據(jù)與周邊數(shù)據(jù)存在突變，降低建模精度。

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于分形計(jì)盒維數(shù)的板結(jié)構(gòu)分布式光纖沖擊載荷定位方法。采用頻譜分形維數(shù)作為沖擊響應(yīng)特征參數(shù)，實(shí)現(xiàn)沖擊載荷在沿光纖光柵傳感器軸向方向的位置信息識別。由于板結(jié)構(gòu)沖擊應(yīng)力波除了有衰減、彌散效應(yīng)，還有邊界以及損傷區(qū)域的多次反射現(xiàn)象，沖擊響應(yīng)復(fù)雜。因此，分形計(jì)盒維數(shù)與坐標(biāo)之間的線性度較差，需要使用多傳感器數(shù)據(jù)融合方法提高預(yù)測精度。本文采用PLSR建模具有以下優(yōu)點(diǎn)：

(1) 載荷大小對建模精度無影響，且建模所需要的樣本數(shù)量較少，可以避免建模過程對復(fù)合材料造成損傷。

(2) 試驗(yàn)數(shù)據(jù)重復(fù)性和線性度較差，但是使用PLSR建立的模型具有魯棒性。

(3) 可以根據(jù)建模的回歸方程推斷出傳感器的優(yōu)化布局，使得本文所需的傳感器數(shù)量少于相關(guān)文獻(xiàn)。

對環(huán)氧樹脂板進(jìn)行監(jiān)測有較大誤差，根據(jù)文獻(xiàn)[16]是板結(jié)構(gòu)損傷造成的，因此可進(jìn)一步研究頻譜分形維數(shù)作為復(fù)合材料的損傷特征。