消能伸臂體系減震性能的參數變異性影響分析

劉良坤，潘兆東，譚 平，張尚榮

(1. 東莞理工學院 生態環境與建筑工程學院，廣東 東莞 523808；2. 廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405； 3. 寧夏大學 土木與水利工程學院，銀川 750021)

近年來，高層、超高層建筑在世界各地發展迅速，如何確保其在外激勵下的振動響應處于安全范圍內就顯得尤為重要[1-2]。在眾多高層建筑結構中，伸臂結構體系因其良好的抗側移性能得到了較多的關注[3-5]。起初，研究人員在模型簡化分析、伸臂位置優化及振動特性研究方面具有較大的興趣[6-11]。然而，僅通過設置常規伸臂(加強層)來提高結構體系的整體剛度、減少側移，可能引起結構剛度的突變，導致內力過大。為緩解這個問題，Willford等[12]提出了一種新型消能伸臂減震體系，該體系預先斷開伸臂與外柱連接，并將阻尼器安裝于兩者之間，以達到耗能減震的目的。隨后，Wang等[13-14]又提出了半主動伸臂控制體系，并取得了較好的控制效果；Asai等[15]則進一步對這類智能伸臂體系進行了試驗論證。不過，上述伸臂結構體系分析過程中忽略了外柱剛度的影響；實際上，這種外柱為無窮大的假定是不合理的，可能導致錯誤的結果[16-17]。

盡管消能伸臂體系具有良好的減震性能，但在構件制造、測量、安裝等過程中難免出現不確定因素，而且由這些不確定性帶來的參數變異將對其減震性能產生重大影響。因此，參數變異性的影響分析有其必要性。考慮參數變異的隨機動力系統響應分析常可采用蒙特卡羅法，但其計算量過大的問題仍難以解決；而攝動法又容易出現久期項問題[18]；為此，李杰[19-20]提出了正交次序分解方法，這一方法被Ge等[21]應用到考慮參數變異的相鄰結構系統中，不過該方法仍面臨維數的組合爆炸問題；近年來的概率密度演化方法[22-23]具有較嚴格的數學推導，也得到了認可，但計算仍較復雜。鑒此，為提高計算效率并保證精度，本文采用Gauss-Hermite積分的降維算法[24-26]來研究參數變異特征對消能伸臂體系減震性能的影響。

1 動力分析模型

當只考慮水平荷載作用時，可將消能伸臂體系簡化為二維模型，如圖1(a)所示。該體系主要由外柱，阻尼器，伸臂及核心筒構成，其中核心筒簡化為懸臂梁[27]。由于外柱的影響不可忽略，將其視為豎向彈簧具有一定的合理性；當與伸臂阻尼器組合后，形成藕聯的彈簧-阻尼器模型，如圖1(b)所示(圖中圓點表示構件連接點)。由于伸臂剛度較大，分析時可假定為無窮剛度，最終消能伸臂體系可等效成具有抗轉藕聯彈簧的懸臂梁體系，如圖2所示。

圖1 消能伸臂體系簡化模型Fig.1 The simplified model of the damped outrigger system

圖1中：EI為核心筒的彎曲剛度，計算時假定為常數；H為結構總高；r為伸臂外端到核心筒中心距離；α1H,α2H,…,αsH分別為各伸臂距地面的高度，其中s為伸臂數目；由于外柱被視為彈簧，各段豎向剛度為ke1=EcAc/(α1H),kej=EcAc/(αj-αj-1)/H,j=2,3,…,s，其中EcAc為外柱的截面剛度，計算時由假定的外柱剛度比β=EI/(2EcAcr2)確定；ue1,ue2,…,ues為外柱與阻尼器連接點的豎向位移；u1,u2,…,us為阻尼器與伸臂連接點處的豎向位移；cdj為與第j個伸臂連接的阻尼器的阻尼系數，相應的阻尼力為fdj。計算時假定所有質量均勻分布于核心筒，且不考慮伸臂與外柱的質量。

圖2 等效模型Fig.2 Equivalent model

2 消能伸臂體系的地震響應分析

2.1 消能伸臂體系核心筒有限元模型分析

消能伸臂體系的核心筒相當于一懸臂梁，由于其高度遠大于其寬度，那么利用歐拉梁分析是合理的，取第j個梁單元如圖3所示。

圖3 梁單元jFig.3 The jth beam element

該單元節點位移向量表示為

xe=[uj1,θj1,uj2,θj2]T

(1)

假定核心筒梁單元長度L=H/n，其中n為單元數，彎曲剛度EI為常數，相應的單元質量矩陣和單元剛度矩陣分別表示為

(2)

(3)

式中：m為單位長度質量；組裝各單元矩陣得到核心筒的總質量矩陣M和總剛度矩陣K，消除固定端部分，維數為2n×2n。

若已知單元阻尼矩陣，可按上述方法進行組裝得總阻尼矩陣，也可用Rayleigh阻尼矩陣進行構造

C=a0M+a1K

(4)

C=(φT)-1C*φ-1

(5)

式中： 上角標“T”為轉置；C*為由各振型阻尼系數Cj=2Mjωjξj,j=1,2,…,nω構成的對角矩陣，Cj為第j振型阻尼系數，Mj為第j振型質量，ξj為第j振型阻尼比，nω為振型階數。本文按式(5)的構造方法計算，并假定各階振型對應的阻尼比相同。

當消能伸臂體系受到地震激勵時，核心筒的慣性力表現為分布荷載形式，在單元j上的等效節點荷載表示為

(6)

將其組裝后得到的總地震荷載向量為Fg。無伸臂時，核心筒的振動方程為

(7)

式中，x為由xe合成的2n×1的總位移響應列向量。

2.2 外柱與伸臂阻尼器藕聯模型分析

消能伸臂體系通過外柱與伸臂連接的阻尼器進行耗能減震，因此外柱與伸臂的藕聯起著重要作用。

伸臂對相應梁單元j的作用力相當于外力偶作用，如圖4所示。那么第j單元等效節點力為

(8)

圖4 力偶的等效節點力Fig.4 The equivalent nodal force of a couple

對于無伸臂的單元，其單元等效節點力均為0。方便而言，將伸臂設置于核心筒單元j右端節點上(如梁單元j對應的右端)，此時l1=L，l2=0即

Fθj=[0 0 0Mθj]T

(9)

式中，Mθj為伸臂對核心筒的等效外力偶作用，即伸臂的抵抗彎矩，組裝后得到總外力偶等效荷載向量

(10)

式中：n1,n2,…,ns為與伸臂連接的單元序號；Γθ為伸臂安裝的位置矩陣，表示如下

(11)

式中： 矩陣中“1”為連接伸臂的梁單元右端所對應系數為1。此時，Mθ表示為

Mθ=-2fdr

(12)

將式(12)代入式(10)得

Fd=-2Γθfdr

(13)

根據圖1(b)的外柱與阻尼器藕聯模型，容易得到力平衡方程

(14)

(15)

(16)

對于核心筒，考慮伸臂作用的振動方程為

(17)

將式(13)代入式(17)為

(18)

那么式(16)和式(18)為消能伸臂體系在地震激勵下的振動方程，由于該方程利用一般的逐步積分法較難求解，需采用改進的Newmark-β(逐步積分法進行計算[30]。考慮到該方法計算過程復雜，本文建議采用狀態空間法進行求解。由于外柱與阻尼器的平衡方程式(16)無質量相關項，為防止狀態方程的相關矩陣出現奇異性，選取合適的狀態變量十分關鍵，現取狀態量為

(19)

那么由式(16)和式(18)構成的狀態方程可表示為

(20)

3 考慮參數變異的結構響應降維算法

隨機結構的響應統計量計算實際上就是多變量函數的統計量估計過程，雖然有很多方法可以直接求解隨機動力系統，但在滿足精度前提下提高計算效率宜進行降維計算。

(21)

式中：n為階數；yj為積分節點；f(yj)為相應的函數值；Wj為積分權系數； 通常取前幾階即可。將式(21)變形得

(22)

(23)

(24)

注意式(24)僅為考慮單隨機變量的隨機系統響應。對于具有p維隨機變量Θ=(Θ1,Θ2,…,Θp)的系統，其隨機動力系統響應或響應的狀態量為

(25)

假定各隨機變量相互獨立，聯合概率密度函數為

(26)

此時使用Gauss-Hermite積分形式，隨機動力系統響應為

(27)

式中：p為維數；q為積分點數；Wij為第i個隨機變量的第j個積分點對應的權重系數；Θij為第i個隨機參數變量對應的第j個積分點變量值。實際式(27)即是隨機系統的均值響應，可見式(27)計算量與正交次序分解法大致相同，但形式更加簡潔。該方法的總計算量與所取積分點和維數有關，總計算量為qp，因此，該方法的計算量仍然較大。

將上式其表示成一般形式有

(28)

(29)

其中式(28)與式(27)都為隨機系統的響應或狀態的均值；式(29)為隨機動力系統的響應或狀態的l階中心矩，通常二階中心矩(方差)關注較多，此時取l=2即可。

為提高隨機動力系統的響應計算效率，可根據Rahman等多維函數的降維處理思想，將具有多個隨機變量參數的隨機系統響應函數分解成含有單個隨機變量的響應函數組合，那么隨機系統的響應均值為

(30)

式中：gi(t)為除了第i維隨機變量外其余隨機變量取均值時所得的隨機系統響應均值，相當于只考慮一維隨機變量，計算過程同式(24)；g(t|μ1,μ2,…,μp)為所有隨機變量取均值的系統響應值，此時相當于確定性系統，總計算量為pq+1。方差則按式(31)計算

(31)

4 減震性能的變異性性影響分析

某消能伸臂體系總高H=210 m，具有3道伸臂，伸臂長度r=12 m，伸臂位置分別為α1=1/3,α2=2/3,α3=1； 核心筒剛度及質量參數均值分別為：EI=2.16×1013N·m2，m=1.2×105kg/m； 外柱剛度比β=0.8，此時外柱截面剛度均值為EcAc=9.38×1010N； 伸臂阻尼器系數均值取較優值cd=1.0×108N·s/m。由于消能伸臂體系核心筒的阻尼較小(計算時取各階阻尼比ξi=0.02)，即使考慮變異性，其影響也較小，為減少分析參數，分析時不考慮該項變異，那么重點關注的變異參數有核心筒線質量m，核心筒彎曲度EI，伸臂阻尼器的阻尼系數cd以及外柱的截面剛度EcAc。需要注意的是，起對比作用的傳統伸臂體系(外柱與伸臂直接相連)并不包含阻尼器變異項。分析時，假定以上參數服從正態分布，簡便而言，僅取變異系數均為0.1，0.2及0.3的三種情況進行對比分析。

4.1 確定性激勵

分別取El Centro南北分量和Kobe地震記錄作為確定性激勵，峰值調整為0.3g。以蒙特卡羅方法計算一萬次的結果為基準，驗證本文方法的正確性。做出與本文方法的數據對比圖，如圖5所示(篇幅所限僅給出參數變異系數為0.1時的El Centro地震激勵下的頂層位移響應)。圖5中，MCM01表示蒙特卡羅法計算值，GHPM01表示Gauss-Hermite降維算法計算值，且計算時取5個積分點。分析圖5的蒙特卡羅法與Gauss-Hermite降維算法的計算結果可知，無論是從均值角度還是方差角度看，兩種的計算數值曲線幾乎重合，這也就說明Gauss-Hermite降維法的計算結果合理。

針對參數變異對消能伸臂體系減震性能的影響，圖6與圖7給出了確定激勵時的樓層響應對比圖。其中，圖6為位移響應，圖7為絕對加速度響應，Uncontrol為傳統伸臂系，Control為消能伸臂體系，后綴數值01為變異系數為0.1的情況，其余含義以此類推。總體來看，不管是樓層位移還是樓層絕對加速度響應，與傳統伸臂體系相比，消能伸臂體系具有較小的均值，這說明即使考慮參數變異，后者仍可取得良好的減震效果；此外，在標準差上，消能伸臂體系的響應數值也較小，可見，消能伸臂體系在安裝消能裝置(阻尼器)后，響應離散性更小，對結構參數變異具有更好的魯棒性。

圖5 確定性激勵的結果對比(El Centro)Fig.5 The results comparison under the determined exercitation (El Centro)

圖6 樓層位移響應對比Fig.6 The displacement comparison for each floor

進一步觀察變異性對消能伸臂體系與傳統伸臂體系響應均值與標準差的影響。從樓層響應均值上看(見圖6(a)、圖6(c)及圖7(a)、圖7(c))，變異系數由0.1～0.3變化時，這兩種伸臂體系的響應均值上并無統一的規律：有些樓層變異系數較小時均值更大，而在其余樓層卻剛好相反。從響應的標準差來看(見圖6(b)與圖6(d)及圖7(b)與圖7(d))，消能伸臂體系與抗震伸臂體系在數值上有著相同的規律：響應標準差均隨著變異系數增大而增大，只是對于前者來說，其標準差數值比后者小。

圖7 樓層絕對加速度響應對比Fig.7 The absolute acceleration comparison for each floor

4.2 演變隨機激勵

與確定性激勵相比，演變隨機激勵更能夠反映出結構響應的統計量信息。取演變隨機地震激勵為1964年日本新瀉中越大地震(Niigata earthquake)的演變隨機地震譜，具體表達及數值[32]為

(32)

(33)

其中，

a1=0.25 s-1，a2=0.5 s-1，
S0=4.65×10-4m2/rad·s3，

(34)

(35)

圖5對比了確定性激勵的兩種方法計算結果，圖8則給出了消能伸臂體系在演變隨機激勵下的計算結果。由圖8可知，盡管考慮了演變隨機地震激勵(此時為復合隨機情況，包含了結構參數隨機性)，但兩種方法計算的頂層位移均方差與絕對加速度均方差的變化曲線幾乎重合，這說明了在隨機激勵的情況下，Gausss-Hermite降維算法計算的結果合理且具有良好的精度。因此，該算法適合用于消能伸臂隨機結構體系的計算分析。

圖8 隨機激勵的結果對比Fig.8 The results comparison under random exercitation

圖9給出了復合隨機下參數變異性對頂層響應的影響。整體來看，消能伸臂體系的位移均方差與絕對加速度均方差最大值均遠小于傳統伸臂的響應數值。位移與加速度響應上，分別在5 s，10 s后前者的減震效果逐漸顯現，且經過前期的耗能，約20 s消能伸臂體系就已趨于一個較低值，而此時的傳統伸臂體系響應均方差數值仍較大。這些現象再次說明即便考慮結構參數的隨機性，消能伸臂體系的良好減震性能仍可得到保證。進一步觀察圖9(a)與圖9(b)，對比無變異性體系的均方差(曲線Uncontrol或曲線Control)，無論是傳統伸臂體系還是消能伸臂體系，其時變響應方差數值隨著參數變異性的增大而增大，但這種情況在傳統伸臂體系中表現更為明顯，特別是在絕對加速度的均方差上；因此，相對來說，消能伸臂體系對參數變異性的敏感性弱些，這說明它對參數變異性更具魯棒性。綜上，復合隨機下的消能伸臂體系的仍具有良好的減震性能，且對參數變異敏感性更低，減震更可靠。

圖9 變異參數對復合隨機響應影響Fig.9 The influence of variation coefficient to double random response

5 結 論

本文通過推導消能伸臂體系的有限元運動方程，提出了該體系的地震響應簡化分析的“Maxwell型阻尼器計算法”，并結合Gausss-Hermite降維算法分析了消能伸臂體系在確定性激勵與隨機激勵下的減震效果，結果表明：

(1) Gausss-Hermite降維算法計算效率較高、結果合理，且適合于伸臂體系的響應分析。

(2) 確定性激勵時，與傳統伸臂體系相比，消能伸臂體系具有較小的樓層響應均值與標準差，且其響應標準差隨著變異系數的增大而增大。

(3) 消能伸臂體系在考慮隨機激勵與參數變異的情況下其減震性能仍可得到保證，且對參數變異的敏感性低，魯棒性好，減震可靠。

總之，即使考慮參數的變異性，消能伸臂體系也具有優異的減震性能與魯棒性。但由于篇幅所限，本文僅分析了參數變異系數相同的情況，而關于參數變異性不一致及參數變異性靈敏度情況還有待進一步研究。