振動荷載下路基的能量耗散率空間分布規律的研究

江輝煌，吳龍梁，高明顯，范少峰，馬 馳

(1. 中國鐵道科學研究院集團有限公司，北京 100081； 2. 中國鐵道科學研究院集團有限公司 深圳研究設計院，廣東 深圳 518000； 3. 深圳市建設工程質量檢測中心，廣東 深圳 518052)

連續壓實控制技術[1]越來越多的應用于地基和路基的填筑壓實中。該技術的基本思想是通過處理?和分析路基振動荷載下的動力響應結果評判壓實的質量和效果，從而實現連續的碾壓監測。探討振動荷載下路基動力響應的空間規律是深入研究振動壓實機理的基礎，也是發展連續壓實控制技術的關鍵。實際上，振動壓實的本質是一個能量傳遞的過程，路基的動力響應與能量關系密切。以能量形式探討路基動力響應問題能較充分考慮到填料動力特性和填筑體波動傳遞效應，更能清晰描述路基動力響應規律和響應范圍。同時，根據能量守恒定律，內燃機輸出的能量被機械自身阻尼和填筑體所消耗，通過機械和填筑體的能量狀態間接評估路基的壓實質量是發展該技術的一個新思路。因此，從能量的角度探討路基動力響應問題，研究振動路基內的能量狀態具有重要的理論和現實意義。

目前，國內外研究路基動力響應特性的方法主要包括振動理論研究[2-4]、工程監測及分析[5-6]、各類試驗與數值模擬[7-16]。其中，試驗研究因兼備良好的針對性和可靠性而得到了廣泛采用。目前，路基累計變形沉降、動應力、動位移和振動速度等各種物理量的變化規律是路基動力響應主要研究內容，以能量的形式探討路基動力響應的報道較為罕見。當前少有的探討土體內能量衰減與分布規律的研究也主要集中在沖擊荷載作用下土體發生大變形的模型試驗[17-20]。這與研究路基在振動荷載作用下發生彈性小應變時的能量狀態有所不同：①沖擊荷載產生的瞬時沖擊波與振動荷載產生的受迫振動有所區別；②土體發生塑性變形與路基壓實后主要發生彈性變形截然不同；③受邊界條件和幾何尺寸的影響，縮尺模型試驗所得結果的可靠性有待驗證。

為此，本文通過建立路基的能量耗散率理論模型，開展振動荷載下路基動力響應現場試驗，研究路基小應變狀態下的能量衰減和分布規律。為從能量的角度探討路基動力響應特性提供有益參考，同時為從能量的角度探索連續壓實控制新方法提供一定的理論依據和研究基礎。

1 路基的能量耗散率理論模型

路基在小應變狀態下，外界對路基輸入的能量主要被材料的粘滯阻尼耗散。根據振動力學理論，有阻尼系統作穩態強迫振動時，一個周期內由激振力做功而從外界獲得的能量等于阻尼消耗的能量。因此，可利用系統的能量耗散表征系統的能量狀態。本文以單位時間內單位體積的平均耗散能量(即能量耗散率)為研究對象建立路基的能量耗散率理論模型，研究振動路基內部的能量衰減特性和分布規律。能量耗散率D可表示為

(1)

式中：Wd為一個周期內的耗散能；T為振動周期。

1.1 以動應變為變量的能量耗散率

外部作用下，單位體積的能量可表示為[21]

(2)

Y2(ω)=|Y*(iω)|sinδ

(3)

式中：W為每個作用循環對單位體積所做的功；Y1(ω)為儲能模量，體現能量儲存；Y2(ω)為損耗模量，體現能量消耗；ε(t)為動應變；ω為圓頻率；Y*(iω)為復模量，表征穩態振動中黏彈性材料的動態力學性質，與圓頻率ω和黏彈性材料參數pk，qk有關；δ為滯后角，表征黏彈性材料的粘滯程度。

式(2)中，等式右端第一項為可逆的彈性勢能，第二項則表示粘滯損耗的能量，這種損耗能量將轉換為熱量而損耗掉，它是不可恢復的耗散能。因此，其耗散能可用式(4)表示

(4)

根據式(2)和式(4)，可得到簡諧振動ε(t)=ε0cosωt的耗散率為

(5)

式中,ε0為簡諧動應變幅值。

Parseval定理[22]指出，一個信號所含有的能量(功率)恒等于此信號在完備正交函數集中各分量能量(功率)之和。它表明信號在時域的總能量等于信號在頻域的總能量，即信號經傅里葉變換后其總能量保持不變，符合能量守恒定律。因此，周期振動的能量耗散率可被表示成一系列頻率為基頻整數倍簡諧振動的能量耗散率的疊加，以動應變為變量的周期振動的能量耗散率可表述為

(6)

非周期振動的能量耗散率可被表示成無窮簡諧振動的能量耗散率的疊加。因此，對頻譜曲線進行積分可以得到非周期振動時的能量耗散率

(7)

式中：D周期,D非周期分別為基于周期、非周期信號的能量耗散率；ωn為n倍基頻；εωn為n倍基頻對應的動應變幅值；ω為圓頻率；εω為圓頻率ω對應的動應變幅值。

由于試驗中測取的應變數據為預埋在路基中混凝土塊的動應變，因此，路基的能量耗散率需考慮材料模量比例關系和尺寸效應對式(6)和式(7)進行換算[23]。假定填料與混凝土表面存在相對位移，即變形不協調，并且換算關系與頻率無關。則換算后的路基耗散率可表述為

(8)

1.2 以加速度為變量的能量耗散率

在激振力P(t)=P0sinωt作用下，假定系統的穩態響應為簡諧振動x(t)=Bsin(ωt-φ)。那么，系統中阻尼力在一個周期內損耗的能量為

(9)

又因為

(10)

那么，以加速度為變量的土體內某點的簡諧振動耗散率可表述為

(11)

式(9)～式(11)中：A0，B分別為簡諧振動的加速度幅值和位移幅值；φ為初相位；c為材料阻尼。

基于Parseval定理，以加速度為變量的周期振動的能量耗散率可表述為

(12)

以加速度為變量的非周期振動的能量耗散率可表述為

(13)

式中：Aωn為n倍基頻對應的加速度幅值；Aω為圓頻率ω對應的加速度幅值。

2 現場試驗

為驗證路基的能量耗散率理論模型，研究路基小應變狀態下的能量衰減和分布規律，本文開展了振動荷載下路基的動力響應現場試驗。試驗過程中，保持激振力和振動頻率不變以貼近連續壓實控制技術的基本應用要求，同時針對路基在壓實檢測階段僅發生微小彈性變形的工程實際，本文主要研究路基壓實后的能量狀態。

2.1 工程概況

試驗段定于深圳市前海國際學校項目西北路基段。該路基段基底為粉質黏土層，平均厚度約5.4 m，地下水位于基底以下1.2 m處。路基設計填筑厚度為130 cm，施工時分層攤鋪厚度為20～30 cm。路基段碾壓完成后開挖一長、寬、深為10 m×6 m×1.3 m的試驗槽，在試驗槽內開展路基動力響應試驗。

試驗采用的填料為粉質黏土，含水率為9.8%。通過開展擊實試驗得到填料的最優含水率為9.2%，最大干密度為2.03 g/cm3。回填碾壓和振動測試的激振設備均采用YZF3.0型振動壓路機，該壓路機由路捷機械公司生產，工作質量為3 000 kg，激振頻率為30 Hz，加載曲線近似呈幅值為30 kN的簡諧振動曲線。在本試驗條件下，填料虛鋪厚度系數取1.2，設計碾壓遍數為6次，路基的最大壓實度為0.95。

2.2 試驗方案

為研究路基的動力響應特性，在坑槽內預埋振動傳感器，通過采集路基受迫振動時路基內部的振動數據，分析路基內部的能量耗散率衰減規律和空間分布范圍。文獻[24]基于Betti-Rayleigh動力互易定理，論證了地基土Green函數的互易性，得到了均勻介質條件下振源點與受振點相互交換位置時振動響應結果不發生改變的結論。基于此，為提升空間位置可調性，減少預埋過多傳感器而引起的誤差以及傳感器失效等風險問題。本試驗保持各回填層的填料和碾壓工藝一致，將填筑體近似為均勻介質，從而將振源固定不動時路基不同位置處的振動響應問題轉換成了受振點固定不動而振源分別在不同位置振動的問題。

試驗時，為減小下臥土層對測試結果的影響，先填筑55 cm厚的底基層。底基層按20 cm，20 cm,15 cm從基底處分層向上填筑。在底基頂層沿中軸線依次相間埋設加速度傳感器A01#，A02#，A03#和應變測試塊S01#，S02#，埋設間距為1 m。傳感器埋設完畢之后，依次按15 cm，10 cm，20 cm，15 cm和15 cm逐層回填壓實。每回填一層，依次采集激振點在距受振點0 m，1 m，2 m，3 m，4 m，5 m，6 m水平距離處的振動響應數據。激振點和傳感器布置如圖1所示。

圖1 激振點和傳感器布置圖Fig.1 Excitation point and sensor layout

2.3 傳感器安裝及數據采集

振動測試的加速度傳感器為通用型壓電加速度傳感器，由北京東方振動和噪聲技術研究所生產，型號為INV9823，測試量程為25g，測試頻率范圍為0.5～4 000 Hz，測試分辨率為0.000 25 m/s2。動應變測試采用江蘇泰斯特電子設備制造有限公司生產的TST120-80AA型應變片，測試敏感柵尺寸為80 mm×3 mm。應變片粘貼在邊長為150 mm的C15混凝土方塊的頂面和側面上，并在應變片表面涂刷防水硅膠。應變測試塊共布設2個，S01#測試塊用于振動測試，S02#測試塊用于溫度補償校對。需要指出的是，由于混凝土與土體存在較大的剛度差異，將影響到振動的測試結果。在計算能量耗散率時，需根據相似比原理對測取的動應變數據進行換算處理。傳感器埋設完畢后加蓋自制防護罩并在四周填充中砂進行防護，接線穿過厚壁PVC套管與傳感器連接。振動數據采集儀器采用北京東方振動和噪聲技術研究所生產的INV3062C型采集儀，數據處理和分析采用DASP V11動態信號采集分析系統，采集分析系統將實時獲取的加速度和應變動態數據儲存于移動硬盤。應變測試塊和傳感器現場埋設如圖2和圖3所示。

試驗前對應變進行歸零處理，使動應變實測值不含初始靜應變。同時對各傳感器進行標定，以確保采集數據的可靠性。振動輪依次在各激振點處穩定振動不少于60 s，同時采集振動狀態下預埋傳感器的振動響應數據。針對每種試驗工況進行重復測試，直至連續兩次測試的結果一致為止。

圖2 應變測試塊 Fig.2 Strain test block

圖3 傳感器現場埋設 Fig.3 Buried sensor on site

2.4 試驗結果及分析

2.4.1 動力響應測試結果

試驗過程中采集了路基不同深度和不同水平位置處的加速度和動應變振動響應數據，根據土體Green函數的互易性得到了振動荷載下路基中軸線剖面不同位置處的動力響應結果。振動測試中，由于傳感器埋設位置較近且存在振動壓路機車身振動干擾等問題，將可能影響到測試結果。因此，為減小外部噪聲對試驗結果的干擾，對試驗結果進行低通濾波處理，截止頻率取200 Hz。濾波處理后的測試結果如表1所示。部分測試結果的時域和頻域曲線如圖4所示。(限于文章篇幅，其余類似結果不依次羅列)

表1 濾波處理后的振動測試結果

h，L分別為受振點深度和水平距離圖4 動力響應測試結果Fig.4 Dynamic response test results

由表1和圖4可知，不同位置處采集到的不同類別的動力響應信號的基頻均為28～30 Hz，與振動壓路機的激振頻率30 Hz接近，說明測試結果是有效的。由圖4可知，頻譜曲線均出現了不同整數倍基頻的微小諧頻，其主要原因是壓路機與填筑體接觸失耦時的非線性振動產生了頻譜畸變。此外，加速度和動應變的頻譜均呈現出連續分布狀態，說明路基內部為非周期振動。實際上，振動響應結果主要取決于激振荷載和填料的力學性質。當兩者組合產生線性振動時，響應信號通常為周期信號。非線性振動時，響應信號通常為復雜的非周期信號。

2.4.2 能量耗散率數值計算結果

根據試驗測試結果，采用第2章建立的能量模型研究非周期振動路基內部的能量狀態。假定路基在小應變狀態下受迫振動時的損耗模量Y2(ω)、材料阻尼c和換算系數λ保持不變。分別基于式(7)、式(8)和式(13)，利用MATLAB進行數值計算，得到了的基于動應變和加速度測試結果的歸一化后的能量耗散率結果，如表2所示。對于A03#的計算結果與整體平均值的誤差大于30%而不予采用，表2中基于加速度的計算結果為A01#和A02#計算結果的平均值。

表2 歸一化后的能量耗散率

2.4.3 能量耗散率的衰減規律

為研究能量耗散率沿水平和深度方向的衰減特性，通過擬合表2中的計算結果得到了能量耗散率的衰減規律，如圖5和圖6所示。擬合函數為

y=a·exp(-b·x)

(14)

式中：a為衰減擬合系數，表示衰減的初始狀態；b為衰減系數，表征衰減的程度。

由圖5和圖6可知，函數擬合的相關性系數R均大于0.99，表明擬合效果良好。說明了式(14)適合描述本文試驗中路基小應變能量耗散率的變化特性，路基中軸剖面的能量耗散率沿水平方向和深度方向呈現指數衰減規律。歸一化后的能量損耗率超過某一范圍后趨近于零，表明系統的能量耗散發生在有限范圍內。另外，基于加速度和動應變測試結果歸一化后的能量耗散率規律相近，證明了利用應變測試塊間接研究土體能量耗散率變化規律的方法具有可行性。

圖5 水平方向衰減規律Fig.5 Horizontal attenuation law

圖6 深度方向衰減規律Fig.6 Depth direction attenuation law

為研究不同位置處能量耗散率的相對衰減規律，分別以各深度處能量耗散率的最大值為各自的歸一化基準，通過式(14)進行擬合得到了能量耗散率在各深度處沿水平方向的相對變化規律。同理，以各水平距離處能量耗散率的最大值為歸一化基準，得到了可表征能量耗散率沿深度方向相對變化規律的相對歸一化后的能量耗散率。基于加速度的相對歸一化后的能量耗散率，如圖7所示。

圖7 相對歸一化后的能量耗散率Fig.7 Relative normalized energy dissipation rate

由圖7可知，不同深度處沿水平方向的能量耗散率衰減規律基本一致，而不同水平距離處沿深度方向的衰減規律不同。衰減系數b隨著深度和水平距離的增加而減小，說明距離激振點越深處的水平方向衰減越緩慢，距離激振點越遠處的深度方向衰減也越緩慢。根據波動理論分析可知，能量以應力波的形式傳播和耗散[25]，隨著水平距離和深度增加，應力波波陣面的曲率半徑逐漸增加并最終趨近于平面。即當衰減系數減小至0時，將沿水平方向和深度方向傳播平面波。因此，距離振源越遠處的衰減越緩慢。對比深度方向和水平方向衰減系數b可知，深度方向衰減系數約為水平方向的2.5～3.0倍，表明能量耗散率沿深度方向衰減更為明顯。

2.4.4 能量耗散范圍

根據2.4.3節的結論，能量耗散區的范圍是有限的。為進一步研究能量耗散的界限，以歸一化后的能量耗散率趨近于零的水平方向5 m和深度方向0.75 m處為研究范圍。以該范圍內的能量耗散率之和為歸一化基準，得到了歸一化后的能量耗散率的累計值，如圖8所示。

由圖8可知，基于加速度和動應變試驗結果的能量耗散率累計值的變化規律相近。在水平方向1 m和深度方向0.45 m范圍內，歸一化后的能量耗散率累計值增長明顯并迅速趨近于1，表明了路基的能量損耗主要發生在此范圍內。

圖8 歸一化后的能量耗散率累計值Fig.8 Normalized cumulative value

2.4.5 能量耗散率的空間分布

以基于加速度試驗結果的歸一化后的能量耗散率為研究對象，通過式(14)進行擬合，得到的不同深度處水平衰減的擬合系數,如表3所示。

表3 不同深度處水平衰減的擬合系數

分析表3中擬合系數可知，衰減擬合系數a與深度近似呈指數相關關系，衰減系數b與深度近似呈線性相關關系。分別對a，b進行如圖9所示的函數擬合，得到了深度z與擬合系數的關系式

(15)

結合式(14)和式(15)便可求解路基內任意位置處的歸一化系數。為了更直觀的揭示能量耗散率的空間衰減特性和分布規律，利用MATLAB計算得到能量耗散率歸一化系數等值線，如圖10所示。計算過程中，設置計算步長為0.05m并采用最小二乘擬合的方法緩和對稱軸處可能存在的“尖角”問題。

圖9 系數的擬合Fig.9 Coefficient fitting

由圖10可知，等值線計算結果與試驗結果吻合較好，表明等值線預測結果是可靠的。圖10顯示能量耗散率等值線呈扁平“海鷗”狀，且距離能量輸入點越近等值線分布越密集，表明能量耗散率沿深度方向的衰減和鄰近激振點處的衰減更快。隨著距離的增加，歸一化后的能量耗散率趨近于零，表明耗散能量的區域是有限的，與前述結論一致。

根據圖10的結果，若將能量耗散率衰減90%作為動力響應界限，即歸一化系數小于0.1的范圍為振動響應區域，則可認為本文試驗的能量耗散主要集中在水平方向1.5 m和深度方向0.45 m范圍內，能量耗散率的水平范圍約為深度范圍的3.3倍。根據文獻[8]的研究結果，當以衰減率達到90%為動力響應界限時，列車動載作用下路基豎向動位移的響應水平范圍約為深度范圍的1.6～2.1倍，豎向加速度的響應水平范圍約為深度范圍的2.0～2.4倍。文獻[10]的結果表明，當以衰減率達到90%為動力響應界限時，在移速為10 m/s的飛機動載作用下，路基豎向動應力的響應水平范圍約為深度范圍的1.8倍。與既有研究結果比較，本文得到了水平響應范圍相對較大。差異產生的原因主要包括兩個方面：其一是激振方式的異同。文獻[8]和文獻[10]采用移動荷載激振，而本文采用的原位正弦振動荷載激振促進了水平方向的波動效應。其二是路基構造差異。文獻[8]和文獻[10]以層狀路基為研究對象，存在各向異性。本文采用填料單一、均勻的路基為研究對象，近似各向同性。振動在水平方向和深度方向的傳播條件相近，減少了路基面層對水平波動的影響。因此，本文得到了相對較大的水平動力響應范圍具有一定的合理性。

圖10 歸一化系數等值線圖Fig.10 Contour map of normalized coefficients

3 結 論

振動壓實的機理是通過機械對填料顆粒做功，使其產生相對滑移、滾動和破裂(對于粗顆粒填料)，填料顆粒重新進行緊密排列從而使填筑體達到壓實狀態。振動壓實的本質是一個能量的傳遞與耗散的過程。因此，從能量的角度研究振動的影響范圍，可為實際工程中填料攤鋪厚度的確定提供更直接和合理的指導。此外，研究填筑體內部的能量狀態是探討振動壓實過程中系統能量的傳遞與分配的關鍵內容，可為連續壓實控制技術新的能量指標的研究提供有益的理論依據和研究基礎。本文工作得到的主要結論如下：

(1)以能量耗散率為研究對象的路基能量狀態理論模型能夠較好的揭示路基內部的能量衰減規律和空間分布規律，可以為進一步的研究不同碾壓條件下的路基能量狀態提供參考和借鑒。

(2)根據土體的動力互易性原理，將振源固定不動時路基不同位置處的振動響應問題轉換成受振點固定不動而振源分別在不同位置振動的問題，大大方便了現場試驗，并提高了試驗的準確性。

(3)基于Parseval定理，將非周期振動的能量等效為無窮簡諧振動的能量的疊加，能夠較好的解決工程實際中隨機振動的能量求解問題。

(4)基于加速度和動應變測試結果的歸一化后的能量耗散率計算結果相近，利用應變測試塊間接研究土體能量耗散狀態的方法具有一定的可行性。

(5)路基能量耗散率沿水平方向和深度方向的衰減變化規律相同，均呈指數衰減。隨著水平距離的增加，沿深度方向的衰減越緩慢。隨著深度的增加，沿水平方向的衰減同樣越緩慢。深度方向衰減指數約為水平方向衰減指數的2.5～3.0倍，能量耗散率沿深度方向衰減相比沿水平方向的衰減更顯著。

(6)在本文試驗條件下，路基小應變振動的能量耗散主要集中在水平方向1.5m和深度方向0.45 m范圍內，動力響應水平范圍約為深度范圍的3.3倍。