面向索網結構關鍵剛度監測的目標模態測試策略

王新濤，鄧 華

(1. 浙江大學 空間結構研究中心，杭州 310058； 2. 浙江省空間結構重點實驗室，杭州 310058)

索網結構是一種典型的柔性預張力結構，自1953年在美國Raleigh體育館首次使用至今，一直都是大跨度公共建筑的常用屋蓋結構形式[1-2]。與常規結構不同，索網結構必須依靠預張力提供剛度并維持結構形態穩定[3]。由于擔心預張力偏差導致結構剛度變化過大，對既有索網結構實施監測越來越受到重視。直接測量索力是目前常用的監測方法，但索力傳感器存在價格高、標定復雜、難以拆卸更換等缺點[4]。此外，索力測點數量一般較少，因此利用有限的索力測試數據也較難準確評價結構的整體剛度性能。相比之下，通過動力模態測試直接監測索網結構的剛度變化具有明顯的優勢，譬如加速度傳感器可重復使用和更換，測點布置靈活等[5]。傳感器布置、激勵方式以及模態識別是大型結構動力模態測試的三個主要方面，相關理論與技術的發展也較成熟[6]。有效獨立(Eff ective Independence, EI)法[7]、模態動能(Modal Kinetic Energy, MKE)法[8]等常用方法可有效解決傳感器優化布置的問題。時域法是大型結構模態參數識別的主要方法，其中隨機減量技術，ITD(Ibrahim Time Domain)法，特征系統實現算法(Eigensystem Realization Algorithm, ERA)、隨機子空間識別(Stochastic Subspace Identification,SSI)法等[9-10]已在工程中得到廣泛應用。為了提高模態識別的精度，通過優化激勵來增強待測模態的振動能量也是常用的思路[11-12]。

近年來，關于采用動力模態測試方法對索網、索穹頂等柔性預張力結構進行剛度監測已存在一些研究工作[13]。文獻[14]指出，柔性預張力結構的變形驗算一般僅由少數控制性荷載工況(以下稱之為“主控荷載”)決定，因此結構監測應重點關注對主控荷載產生的變形起主要抵抗作用的剛度分量，即所謂的“關鍵剛度”。研究還發現，關鍵剛度的變化實際上僅借助少數幾階模態的參數變化就能反映，而這些模態就是監測的目標模態。在具體實施監測時，首先會基于索網結構數值模型(以下簡稱“理想結構”)的模態分析結果確定目標模態。然而，索網結構像其它大跨度結構一樣具有模態頻率分布密集的動力特性[15]，這使得結構模態參數對結構剛度和質量的變化非常敏感。其主要體現在兩個方面：①鄰近模態的頻率大小順序發生變化而引起的模態躍遷；②同一個密頻區內的模態振型成分會相互轉換，即模態局部化現象[16-17]。由此可見，對于預張力偏差引起剛度變化后的索網結構(以下簡稱“實際結構”)，基于理想結構所確定的目標模態可能無法準確反映結構關鍵剛度的變化，因此需要進行修正。

引起索網結構預張力偏差的因素很多且不確定，測試前無法準確獲知結構剛度及目標模態的變化。文獻[18]的研究發現，目標模態的躍遷和局部化通常僅發生在其所處的密頻模態區域內。考慮到預張力偏差的隨機性，因此位于該密頻區內的其他模態都有可能轉變為與實際結構關鍵剛度相對應的目標模態，故也應該納入到目標模態集合中。Wu等的研究中還提出了一種較為精確的目標模態擴展方法。然而新的問題是，經過擴展后的目標模態集合中往往包含了多個密頻模態集合，而采用常規的模態測試方法往往難以將這些集合內的所有模態識別，故依然不能對結構的關鍵剛度進行準確評價。

本文將討論一種適用于索網結構關鍵剛度監測的目標模態測試策略，重點解決密頻模態區域內目標模態的有效識別問題。首先介紹索網結構關鍵剛度的概念以及一種目標模態擴展的簡單方法。然后利用矩陣攝動理論，分析結構剛度變化后實際結構的目標模態振型與理想結構模態振型之間的關系。針對密頻區內理想結構的每一階目標模態，討論如何通過優化階躍激勵荷載充分提高該模態的振動能量占比同時抑制該密頻區內其它模態的振動。進一步將證明只要將這些優化后的階躍激勵荷載逐一施加到實際結構上，則該密頻區內所有目標模態的振動都能被充分激發，從而保證其識別精度。最后利用識別到的目標模態參數估計實際結構在主控荷載下的靜力位移，以實現對結構關鍵剛度變化的評價。文中還將對一馬鞍形索網結構算例進行引入預張力偏差后的目標模態識別以及關鍵剛度評價，以考察本文方法的有效性。

1 關鍵剛度和目標模態

對于一個自由度為N、單元數為b的理想結構，如果不考慮阻尼，則某個擬監測狀態下結構的模態特征方程可以表示為[19]

KTφi=λiMφi(i=1,2,…,N)

(1)

(2)

令p為結構設計時控制索網變形驗算的節點靜力荷載向量，即主控荷載。如果p作用下結構產生的位移為d，考慮到索網的預應力水平通常較高，可認為兩者近似滿足以下線性關系

KTd=p

(3)

此時，p所做的功為

(4)

如果在該索網上作用隨時間t變化的荷載，則結構受迫振動的模態動力方程可以表示為

(5)

(6)

將式(6)代入式(4)，可得

(7)

(8)

(9)

可見，如果將Ep中的模態作為目標模態進行動力測試，可實現對關鍵剛度Kp的監測。此外，對于那些未包含在Ep中的模態i，由式(8)可知其對應的βi和vi較小且可以忽略不計，于是式(6)可近似表示為

(10)

也就是說，如果能夠測得Ep中所有模態的振型和特征值，則可以利用式(10)估計p作用下的結構位移。

2 實際結構的目標模態

依據理想結構模型建成后的實際結構通常會存在預張力偏差，則KT會因幾何剛度矩陣的變化而發生變化

(11)

式中：ΔKg為結構幾何剛度矩陣的變化量；Δtk為單元k的預張力偏差；lk為單元k的長度；gk為單元k幾何剛度的方向矩陣(N×3)，具體形式見文獻[21]。

參照式(1)，剛度變化后的實際結構模態特征方程為

(KT+ΔKg)φ′i=λ′iMφ′i(i=1,2,…,N)

(12)

式中，λ′i和φ′i分別為實際結構模態i的特征值和振型向量。根據矩陣攝動理論[22]，對λi和φi進行一階攝動后可得

(13)

(14)

容易看出，δj的大小反映模態j與目標模態i的特征值密集程度。設定閾值δu，當δj<δu時，則認為模態j與目標模態i位于同一密集模態區域內。實際工程應用中，δu的大小可利用理想結構的模態特征值分布曲線來確定，一般在0.05～0.15。

設Em={j+1,j+2, …,j+m} (m>1)為Ep中存在的一個密頻模態集合，對應的理想結構振型矩陣為Φm。前面提到，模態局部化僅在密頻模態間發生，因此目標模態集合擴展后Em中已經覆蓋了對φ′i起主要貢獻的模態。于是，忽略Em之外模態的貢獻，式(13)的第二式可近似表示為

(15)

式中，ci={ci(j+1),ci(j+2),…,ci(j+m)}T為貢獻系數向量(m×1)。對于Ep中的孤立模態i，其振型向量在剛度變化前后基本不變，易知cii=1，cis=0 (i≠s)，即ci={1}。可見，孤立目標模態可看作為密集模態集合Em當m=1時的特例，式(15)同樣適用。

(16)

式中，Φm為振型矩陣Φm中測點自由度對應的行向量所構成的子矩陣(g×m)。

(17)

利用式(9)，可進一步重構實際結構的關鍵剛度矩陣

(18)

(19)

3 目標模態的測試策略

3.1 優化階躍激勵

對于實際結構，那些已發生躍遷或局部化的目標模態通常仍處在密頻區中。由于受外界激勵干擾、信號噪聲和模態能量比例較低等因素的影響，利用常規的動力測試方法難以準確識別出這些密頻區的目標模態[23]。伍曉順等通過優化階躍激勵荷載的位置和大小來增強密頻區模態參數的識別效果。其基本思想是同時釋放懸掛在結構下方的荷載，以此輸入較大能量使大跨屋蓋結構產生自由振動。而優化后的階躍激勵荷載可針對性地增大目標模態的振動能量比例，從而提高其識別精度。

(20)

式中，Ws為結構自由振動響應中模態s的能量。定義模態s的能量比例系數為

(21)

令模態s為密頻模態集合Em中的第k個模態，即s=j+k且1≤k≤m。于是，Em中各階模態相對于模態s的能量比例系數可表示為

(22)

為了抑制Em中除模態s以外其它模態的振動，定義目標向量ψ0={0j+1,…,0j+k-1,1,0j+k+1,…,0j+m}T。進一步給定階躍激勵荷載的最大吊點數量，于是利用伍曉順等提出的方法對ps進行優化，使得ψs=ψ0。也就是說，在經優化后的ps激勵后，理想結構自由振動響應中各階模態的能量比例系數滿足

γn=0 (n∈Em;n≠s)

(23)

相對應地，將ps作用實際結構上所產生的位移為d′s。對于實際結構該密頻區的某階目標模態i(i∈Em)，式(15)已經表明φ′i可表示為理想結構Em中各階模態振型的線性組合。參照式(21)并考慮式(23)，同樣可求得ps引起的自由振動響應中該模態的能量比例系數為

(24)

于是，在激勵荷載ps作用下，考慮到實際結構Em中各階模態的特征值非常接近，其能量比例系數可表示為

(25)

(26)

這說明ci中的貢獻系數不會全是小量，即總是能夠從Em中找到至少一階的模態s，使得基于理想結構優化后的階躍激勵荷載ps能夠有效激發實際結構目標模態i的振動。但實際測試中ci為未知量，因此有必要針對理想結構Em中的所有模態分別進行動力模態測試。對于孤立的目標模態，以上階躍激勵優化法也同樣適用。

總之，對于存在預張力偏差的實際索網結構，可對擴展后的所有目標模態逐一進行階躍激勵優化。然后分別將各組優化得到的階躍激勵荷載采用電磁鐵吸附的方式懸掛在結構下方，再同時切斷所有電磁鐵的電源以釋放這些荷載，則所有目標模態的振動分量都能被充分激發，從而確保模態識別的精度。

3.2 優化測點布置

根據EI法，結構各自由度對Φm中模態線性無關性的貢獻系數向量為

(27)

式中：EI={e1,e2,…,eN}T，且0≤ei≤1(i=1,2,…,N)；diag{·}為取該矩陣的對角元素并組成列向量。如果ei≈0，表示結構第i個自由度對Φm中模態線性無關性的貢獻較小，該自由度可以剔除；如果ei≈1，則表示第i個自由度對Φm中模態線性無關性的貢獻較大，該自由度應該被保留。通過迭代運算不斷刪除貢獻最小的自由度，直至得到g個優選的測點自由度。

4 數值算例

4.1 馬鞍形索網及其目標模態

圖1為一個正方形平面的馬鞍形索網結構模型。索網共145個節點，其中32個周邊節點等距離固定于外圍剛性邊界。各節點編號見圖2。模型平面投影的兩條對角線長度均為32 m，高度相差1.024 m。所有索單元截面面積均為2.148×10-5m2，材料密度為7 850 kg/m3，彈性模量為1.60×1011N/m2。結構分析時，索單元均按兩端鉸接的桿單元考慮。對所有單元賦予4 000 N/m的力密度，采用力密度法在僅考慮自重的條件下對結構進行找形[24]，其中重力加速度取9.8 m/s2。將找形后得到的索網結構作為理想結構，并建立結構切線剛度矩陣KT和質量矩陣M(僅考慮單元質量)。假定結構為瑞利阻尼，令阻尼矩陣C=αKT+βM，其中α=0.45，β=2.21×10-4。對理想結構進行模態分析，求得結構的所有模態特征值和振型向量。

設控制結構變形驗算的主控荷載為非對稱的豎向分布荷載，如圖3所示。將分布荷載等效為節點荷載向量p，并求解其對理想結構產生的位移向量d。采用式(8)求得各階模態的貢獻度指標βi(i=1,2,…,399)。考慮到高階模態的βi值接近于零，圖4僅給出前10階模態的βi值，同時將這些模態的自然頻率也顯示于圖4中。設βu=0.95，僅選取βi較大的模態1、模態3、模態6即可滿足β1+β3+β6=0.97>βu，故目標模態集合Ep={1,3,6}。定義模態特征值密集度閾值δu=0.10，利用式(14)分別對以上三階目標模態進行分析。計算結果表明，模態1為孤立模態，記為Em1={1}。模態3、模態6則分別位于密集模態集合Em2={2,3}和Em3={4,5,6}中。從圖4所示，可以發現該結果與理想結構模態頻率分布特征相吻合。因此，經過擴展后的目標模態集合為Ep=[{1},{2,3},{4,5,6}]。

圖1 索網結構找形后的平衡構型Fig.1 Equilibrium configuration of the cable net structure after form finding

圖2 索網結構的節點編號Fig.2 Node numberings of the cable net structure

圖3 主控荷載的分布Fig.3 Distribution of the dominant load

4.2 實際結構的模態特性

選擇一組隨機生成的預張力偏差引入理想結構模型中，將靜力平衡后的結構記為實際結構，如圖5所示。同樣對實際結構進行模態分析，求解得到所有的模態特征值和振型。

圖4 前10階模態的和βi值Fig.4 and βi of the first 10 modes

圖5 引入理想結構的預張力偏差Fig.5 Pretension deviations introduced into the idealized structure

圖6 貢獻系數cis的分布(i,s=1,2,…,10)Fig.6 Distribution of the contribution coefficient cis(i,s=1,2,…,10)

4.3 目標模態參數識別

4.3.1 階躍激勵荷載優化

應該指出，監測時實際結構的預張力偏差及其引起的關鍵剛度變化是未知的，需要借助動力測試識別到的目標模態來評估。分別針對Ep中理想結構的各階模態，根據3.1節的思路并采用伍曉順等的方法進行階躍激勵荷載的優化。設懸掛的荷載個數為6，優化后的加載節點和荷載大小如表1所示。將優化后的階躍激勵荷載ps(s∈Ep)逐一施加到理想結構，然后采用式(21)計算Em內各階模態的能量比例系數γi(i∈Em)，結果如表2所示。從表2可知，所求得的ps完全抑制了除模態s之外Em內其余模態的振動。

表1 針對各階目標模態優化后的階躍激勵荷載位置和大小

再將優化后的ps(s∈Ep)逐一作用于實際結構上，根據式(24)計算得到前6階模態的能量比例系數，如圖7所示。將圖7結合圖6的貢獻系數云圖，可以發現ps確實能夠有效激發出cis較大的模態，這與式(25)的物理意義相吻合。

4.3.2 測點優化布置

設加速度測點數量g=20。采用EI有效獨立法分別對針對Em1，Em2和Em3中的目標模態集合優選測點自由度，結果如圖8所示。所有測點自由度均沿z向。

4.3.3 識別結果

對實際結構逐一施加優化后的階躍激勵，然后利用Newmark-β法[25]計算結構的自由振動響應，并獲取優化后測點的加速度響應時程。采樣頻率取800 Hz，采樣時間為5 s。為模擬測試中存在的信號噪聲，對所有測點加速度響應時程均引入信噪比為10的高斯白噪聲。利用以上測點加速度時程，采用經典的特征系統實現算法(ERA)對目標模態的頻率和振型進行識別。

表2 優化后的階躍激勵荷載作用下理想結構目標模態的能量比例系數

圖7 ps(s∈Ep)引起實際結構自由振動中前6階模態的能量占比Fig.7 Energy proportion coefficients of the first 6 modes in the free vibration response of the existing structure excited by ps(s∈Ep)

圖8 優化后的測點位置及其節點編號Fig.8 The optimized sensor locations and their node numberings

4.4 關鍵剛度評價

根據識別到的實際結構目標模態非完備振型向量，采用式(16)對ci(i∈Ep)進行最小二乘估計，計算結果如表4所示。

表3 目標模態特征值的模態分析結果和識別結果

圖9 目標模態非完備振型的模態分析結果和識別結果Fig.9 Incomplete mode shapes of the target modes obtained by modal analysis and identification, respectively

表4 ci(i∈Ep)的最小二乘估計值

(28)

5 結 論

(1) 索網結構模態頻率分布的密集性使得基于理想結構確定的目標模態會因剛度變化而出現模態躍遷和局部化現象，因此并不能直接用于實際結構關鍵剛度的監測。本文算例分析已經驗證，目標模態的躍遷和局部化只發生在其所處的密頻模態區域內，因此將同一密頻區的其它模態也納入目標模態集合是保證實際結構關鍵剛度監測精度的首要措施。

圖10 1-1剖面處節點的z向位移Fig.10 z-direction displacements of the nodes in section 1-1

(2) 對于密頻區目標模態識別的難題，采用優化階躍激勵荷載的思想保證目標模態的振動能量并同時抑制同一密頻區其它模態的振動，這為提高目標模態的識別精度奠定了基礎。更重要的是，針對密頻區所有理想結構模態所優化的階躍激勵荷載如果逐一施加到實際結構上，還可確保該密頻區實際結構各階模態的振動均被有效激發，從而解決了該密頻區內所有目標模態的有效識別問題。本文的理論推導和算例分析結果均驗證了該策略的有效性。

(3) 算例分析結果還表明，采用以上策略識別到的目標模態參數可以準確計算實際結構在主控荷載下的靜力位移。通過與理想結構的靜力位移對比，便可實現對實際結構關鍵剛度變化的評價。