非線性成型振動臺混沌特性分析與仿真研究

周奇才，王聰聰，熊肖磊，董日騰

(1.同濟大學 機械與能源工程學院，上海 201804； 2.同濟大學 浙江學院，浙江 嘉興 314051)

預制混凝土構件成型的主要方式是通過振動成型裝備的低幅、高頻振動使得混凝土骨料各顆粒之間發生相對運動，縮小顆粒間的縫隙，排出拌合物中的空氣，骨料和水泥凈漿相互填充最終密實成型。為了獲得更好的成型質量就要在一定時間內讓不同大小的骨料顆粒都能獲得盡可能多的能量，引起共振增加顆粒之間碰撞拌合的機會，從而提高構件的密實度和均勻度。所以直接影響構件成型質量的主要技術參數是振動的加速度、頻率和振動時間，更大的振動加速度能夠將更多的能量傳遞到混凝土內部，一定范圍的頻率帶能夠適應不同大小顆粒的固有頻率，合適的振動時間能夠節省能源縮短成型周期。

目前市場上采用最多的成型裝備是偏心輪式機械振動臺，盡管可以通過調節激振力的大小獲得不同的加速度，但是其振動頻率比較單一，成型效果不佳，經常出現密實度不高、表面麻面、開裂等諸多問題，所以需要對其進行改進。混沌振動的寬頻特征給了學者和技術人員新的啟發。具有一定條件的非線性系統在受到規則激勵時會產生無規則且不重復的振動，這就是混沌振動。因為混沌振動的有害性，早期的研究多集中在混沌振動的控制領域[1-4]，但如果能將混沌理論推廣應用到振動密實領域，有效利用混沌振動的寬頻響應特性，就能使混凝土骨料中不同粒徑的顆粒產生共振，從而提高骨料散體的密實度和均勻性，進而顯著提高預制件的成型質量。基于以上思想，已經有很多學者在振動密實及其相關領域開展了研究。比如Long[5]通過0.75 t,10 t和14 t三種混沌振動壓路機的振動試驗、數值模擬和壓實試驗證明混沌振動壓路機的工作效率比傳統振動壓路機高12.2%；劉本學等[6]針對當前單頻振動壓實機械壓實性能不足的問題,提出了一種基于雙頻合成技術的雙頻振動壓實機械，并通過試驗驗證壓實效果優于單頻振動；贠志達[7]通過分析大型混凝土振動臺的振動系統設計了三偏心混沌振動臺；李彥泳[8]則從離散元分析的角度對此混沌振動臺的效果進行仿真驗證，得出混沌振動臺相比傳統振動臺有更好的密實效果；蘇春建等[9]提出了一種基于混沌振動的混凝土砌塊成型機，推動了混沌振動理論在建筑工業領域的應用。

碟型彈簧是由鋼板沖壓成型的碟狀墊圈式彈簧，具有剛度大，變剛度等特點，改變內錐高度和厚度的比值，可以得到不同的特性曲線，具有范圍很廣的非線性特性；組合方式靈活，有對合、疊合、復合組合三種方式，采用不同的組合方式，能使碟簧特性在很大范圍內變化。裝有碟型彈簧的動力吸振器以其寬頻帶減振的特點而獲得重視[10]。本文在前人研究的基礎上提出一種基于碟型彈簧隔振的非線性成型振動臺，建立振動臺的物理模型和動力學模型并利用Matlab進行數值分析，仿真結果表明改進的振動臺具有混沌特征，能夠產生寬頻振動。

1 傳統振動試驗臺結構及試驗結果

傳統小型混凝土振動試驗臺結構如圖1所示，振動平臺四周放置四個彈簧隔振器，采用一組偏心式振動電機作為激振源產生垂直方向的激振力，通過控制變頻器的輸出可以調節振動電機的激振頻率，符合單頻輸入單頻輸出的特性。

圖1 傳統振動試驗臺模型及實物圖Fig.1 Model and physical drawing of traditional vibration test-bed

進行振動密實試驗的裝置如圖2所示，混凝土砌塊模具固定安裝在振動臺面上方，在不同控制參數下進行混凝土的振動密實試驗。

圖2 振動密實試驗裝置Fig.2 Vibration compaction test device

圖3為30 Hz激振頻率下得到的振動試樣及切片取樣結果，從圖3可知，盡管振動后的試樣外形比較規整，但在切片過程中由于砌塊內部的密實度不高依然會發生開裂甚至崩壞的情況，傳統振動密實存在成型效果不佳、密實度低的問題。

圖3 振動后試樣及切片取樣結果Fig.3 Sample and slice sampling results after vibration

3 改進振動臺物理模型和數學模型

根據實際需求構建改進振動臺的物理模型如圖4所示。三維模型如圖5所示。

1-驅動缸組成的多自由度機構;2-中間支架;3-模框及混凝土；4-模臺；5-臺架；6-振動器;7-碟型彈簧隔振器圖4 振動臺結構物理模型Fig.4 Physical model of shaking table structure

圖5 振動臺結構三維模型Fig.5 Three-dimensional model of shaking table structure

按照主要功能將振動臺分為低頻和高頻兩大部分，低頻部分由下部的多自由度機構和中間支架組成，用來支撐臺體以及混凝土在模框內的均勻鋪開，本文不對此做進一步研究；高頻部分由4，5，6，7組成，負責混凝土的振動密實，也是本文研究的對象。

振動臺的技術參數如表1所示。已知要求未放上型模時振動臺的加速度為5～10g，放上型模進行振實時為2～4g[11]，所以選擇振動器的功率和激振力等參數如表2所示。

表1 振動臺技術參數Tab.1 Technical parameters of shaking table t

表2 振動器技術參數Tab.2 Technical parameters of vibrator

振動臺高頻部分空載時的參振質量

M0=M2+N·M5

(1)

振動加速度

(2)

放上型模后的總參振質量

M∑=M0+M1+α·M4

(3)

式中：α為砌塊制品混凝土的結合系數，取值為0.2～0.4[12]；N為振動器的數量。

振動加速度

(4)

所以振動器滿足加速度要求。振動臺共有16個隔振器，根據GB 50463—2008《隔振設計規范》，單個隔振器的承載力滿足

(5)

表3 碟型彈簧技術參數Tab.3 Technical parameters of disc spring

每個隔振器由兩片碟簧疊合，6組碟簧對合而成，承載力

Pi=2Fi·μ=44.88 kN

(6)

式中,μ為碟簧之間的摩擦因數，當兩片疊合時取0.85。

碟簧隔振器的物理結構模型如圖6所示。

圖6 隔振器結構模型Fig.6 Physical model of vibration isolator

對于上述振動臺模型作如下假設：①下部多自由度機構靜止時可以視為剛度無限大的剛體；②隔振器的質量很小，可以忽略不計，其庫倫阻尼等效為線性阻尼，只考慮黏性阻尼和彈性非線性；③振動臺完全沿垂直方向單向振動，激振力為垂直方向的簡諧激勵，作用在臺架質心，且F(t)=F0cosωt。可將振動臺簡化為一個單自由度振動力學系統，其數學模型為

(7)

式中：m為振動臺高頻部分的總參振質量；c為阻尼系數；f(x)為碟簧隔振器的非線性恢復力；F0為激振力幅值;ω為激勵圓頻率。

已知單片碟簧承受的載荷與位移之間的關系[14]為

P=K1X-K2X2+K3X3

(8)

當碟簧隔振器由多片碟簧復合組合而成時，疊合方式相當于彈簧并聯，對合方式相當于彈簧串聯。所以隔振器的非線性恢復力可以表示為

f(x)=k1x-k2x2+k3x3

(9)

式中:k1為隔振器的線性剛度系數;k2,k3分別為二次、三次非線性剛度系數。

研究平衡位置x0附近的振動，因為在平衡位置滿足[15]

(10)

所以令x1=x+x0，并將式(9)、式(10)代入式(7)，化簡后得

(11)

(12)

3 數值仿真與混沌分析

利用Matlab/Simulink軟件搭建振動臺的混沌響應數值仿真平臺如圖7所示。從圖7可知，主要由輸入參數、響應曲線圖和原理框圖三部分組成。設定質量、阻尼比、激振力和頻率4個輸入參數，便于實時觀察振動臺的激勵響應。

圖7 振動臺混沌響應數值仿真平臺Fig.7 Numerical simulation platform for chaotic response of shaking table

為確定激勵參數，根據混凝土振動密實過程中較為合理的加速度-頻率比r/f=1～2[17]，先設初始激振頻率ω=30 Hz、激振力幅值F0=100～400 kN，隔振器阻尼比γ=0.1[18],步長ΔF=100，用4階Runge-Kutta法對式(11)進行數值積分得到系統的響應隨激振力變化的分岔圖，如圖8所示。由于正交法求出的 Lyapunov 指數譜的精度高、耗時少、抗干擾能力較強[19]，所以采用正交法利用Matlab編程計算得到Lyapunov指數譜如圖9所示，其中λ1為最大Lyapunov指數。

圖8 系統隨激振力幅值變化的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagram of the system with the amplitude of exciting force

圖9 以激振力幅值為參數的Lyapunov指數譜Fig.9 Lyapunov exponent spectrum with excitation force amplitude as parameter

從圖8可知，當激振力幅值F0∈(100 kN,234 kN)時，系統作周期1運動，其中在F0=144.5 kN和F0=168.5 kN出現兩次跳躍現象，取F0=200 kN，如圖10所示，相圖為封閉曲線，Poincaré映射圖只有一個孤立的點，時間歷程曲線規則有序，頻譜圖為離散譜，λ1=-6.175 7<0；當F0=234.5 kN時系統發生倍周期分岔，開始作周期2運動，取F0=235 kN，如圖11所示。Poincaré映射圖出現兩個孤立的點，其他特征仍和周期1保持一致，λ1=-6.211 9；當F0=242.5 kN時，系統演變為周期3運動，當F0=265 kN時系統由周期3運動轉化為周期4運動，取F0=270 kN，如圖12所示。λ1=-0.275 5；隨著激振力幅值的繼續增大，當F0=273 kN時系統再次經歷倍周期分岔演變為周期8運動，如圖13所示。此時λ1=-0.228 2；F0=282 kN時系統進入混沌區域，演變為混沌運動，取F0=320 kN，如圖14所示。相軌跡曲線互相纏繞，不重復而且不封閉，Poincaré映射圖是呈現一定分形特征的點集，頻譜圖在一定范圍內是連續的，具有明顯的寬頻特性[20]，λ1=4.294 6>0；在F0∈(330 kN,337 kN)時系統出現短暫的周期運動窗口，表現為周期5運動，λ1<0，之后又重新進入混沌狀態；F0=401 kN之后系統離開混沌區域進入大周期運動狀態，并最終演化為單周期運動。

圖10 F0=200 kN時各參數曲線和圖譜Fig.10 Parameter curves and spectra at F0=200 kN

圖11 F0=235 kN時各參數曲線和圖譜Fig.11 Parameter curves and spectra at F0=235 kN

圖12 F0=270 kN時各參數曲線和圖譜Fig.12 Parameter curves and spectra at F0=270 kN

圖13 F0=273 kN時各參數曲線和圖譜Fig.13 Parameter curves and spectra at F0=273 kN

圖14 F0=320 kN時各參數曲線和圖譜Fig.14 Parameter curves and spectra at F0=320 kN

令激振力幅值F0=400 kN，頻率ω=10～45 Hz，步長Δω=0.01，繪制系統響應隨激振頻率變化的分岔圖如圖15所示。Lyapunov指數譜如圖16所示。從圖16可知，當激振頻率較小時系統作周期運動，λ1<0，ω=13.58 Hz之前系統作周期2運動并在ω=12.81 Hz處經歷一次跳躍，在ω∈(13.58 Hz,30 Hz)系統作單周期運動，取ω=20 Hz如圖17所示。之后進入混沌運動狀態，取ω=31 Hz如圖18所示。λ1=6.379 7，ω=33.36 Hz時系統結束混沌狀態演變為周期2運動，取ω=33.5 Hz如圖19所示。λ1=-6.213 5；之后又經歷一系列倍周期分岔重新進入混沌狀態，隨著激振頻率的繼續增大，ω=36.63 Hz時系統開始倍周期倒分岔，依次經歷周期4和周期2最終演化為單周期運動。

圖15 系統隨激振頻率變化的分岔圖Fig.15 Bifurcation diagram of the system with variation of excitation frequency

圖16 以激振頻率為參數的Lyapunov指數譜Fig.16 Lyapunov exponent spectrum with excitation frequency as parameter

圖17 ω=20 Hz時各參數曲線和圖譜Fig.17 Parameter curves and spectra at ω=20 Hz

其他參數不變，取激振力幅值F0=400 kN，激振頻率ω=30.7 Hz，以阻尼比γ為分岔參數得到系統的分岔圖如圖20所示。Lyapunov指數譜如圖21所示。當γ∈(0,0.087 5)阻尼比較小時系統作周期1運動，λ1<0，之后經過跳躍進入混沌區域，取γ=0.104，如圖22所示。λ1=6.785 3>0；γ=0.116時系統遷轉為周期5運動并進入短暫的周期窗口，λ1<0，如圖23所示。γ=0.118時又重新進入混沌區域，γ=0.151時系統經歷倍周期倒分岔演變為周期8運動，γ=0.157時演變為周期4運動，在經歷一系列倍周期倒分岔現象之后最終演變為單周期運動。可見阻尼比在一定范圍內系統可以產生混沌振動。

圖18 ω=31 Hz時各參數曲線和圖譜Fig.18 Parameter curves and spectra at ω=31 Hz

圖19 ω=33.5 Hz時各參數曲線和圖譜Fig.19 Parameter curves and spectra at ω=33.5 Hz

圖20 系統隨阻尼比變化的分岔圖Fig.20 Bifurcation diagram of system with damping ratio

圖21 以阻尼比為參數的Lyapunov指數譜Fig.21 Lyapunov exponent spectrum with damping ratio as parameter

圖22 γ=0.104各參數曲線和圖譜Fig.22 Parameter curves and spectra at γ=0.104

圖23 γ=0.116各參數曲線和圖譜Fig.23 Parameter curves and spectra at γ=0.116

4 結 論

文中對基于碟簧隔振器的非線性成型振動臺的混沌特性進行了研究，利用Simulink搭建混沌響應仿真平臺對推導的數學模型進行數值計算，通過求解系統響應隨激勵參數的分岔圖確定激勵參數，采用Runge-Kutta法求解并繪制系統的相軌跡圖、Poincaré映射圖、時間歷程曲線、頻譜圖和最大Lyapunov指數，仿真結果表明通過適當的激勵能夠使其產生混沌振動，具有寬頻響應的特性。鑒于研究的假設，理論模型無法與實際工況完全一致，所以在進一步的應用研究中，需要結合理論分析得出的參數進行大量的試驗才能確定系統進入混沌狀態的準確參數。

文中提出了一種成型振動臺的寬頻響應方案，建立了碟簧隔振器混沌特性研究的理論基礎，既有利于碟型彈簧材料的推廣應用，又能利用其變剛度的非線性特性進行工程設計，指導生產作業中的參數設計和調整，具有重要的理論參考價值和工程指導意義。