核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)策略

趙秀芹

(江蘇省沭陽高級中學(xué) 223600)

高中階段是學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵時期.數(shù)學(xué)知識之間往往存在著一定的邏輯性，且具有高度的抽象性，這對學(xué)生對數(shù)學(xué)知識體系的理解帶來了較多的阻礙.高中學(xué)生必須要具備較高水平的邏輯思維能力以及逆向思維應(yīng)用意識與能力，進而才能幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中不斷完善自身的數(shù)學(xué)思維能力，并借助逆向思維的應(yīng)用來提高解決問題的能力.因此，高中數(shù)學(xué)教師必須重視學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)，為改善其數(shù)學(xué)思維、促進數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成提供保障.

一、基于數(shù)學(xué)概念教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維意識

高中數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)時多以講授方式為主，此類傳統(tǒng)式的教學(xué)既會降低學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理念知識理解效率，還會影響到學(xué)生數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.同時，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時，其會在長期的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)、理解以及解決數(shù)學(xué)問題過程中逐步形成自己的定勢思維方式，一旦某些條件、概念發(fā)生變化時，學(xué)生仍會采用原有的定勢思維方式來解決數(shù)學(xué)問題，這既會影響學(xué)生概念理解質(zhì)量、解題能力與效率，還會阻礙學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成.若學(xué)生具備了良好的逆向思維能力則會有效改善、提升學(xué)生解決問題能力.因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)在教學(xué)中有意識、有針對性地培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，使學(xué)生具備良好的逆向思維意識與能力，進而達到提高其數(shù)學(xué)“學(xué)”、“踐”能力，并對促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

在高中數(shù)學(xué)概念中存在著大量的“相反性”的數(shù)學(xué)概念，而在此類概念教學(xué)中，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生基于“正向性”的數(shù)學(xué)概念采用逆向思維方式進行思考與學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠進行逆向思考與分析，以培養(yǎng)學(xué)生能夠從不同角度、逆向進行深度學(xué)習(xí)，以提高學(xué)生對“相反性”數(shù)學(xué)概念的理解.如在《反函數(shù)》概念教學(xué)時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生基于“函數(shù)”概念的基礎(chǔ)上進行逆向思維，在逆向思維的過程中將“正、反函數(shù)”的圖像、概念進行對比，找出兩者不同點，這對加速、加深學(xué)生對‘反函數(shù)’概念的理解具有積極的作用，同時，也達到了培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的目的.再如，教師在《映射》概念教學(xué)時，教師也可以開展逆向思維訓(xùn)練.教師可以將“A→B”概念作為“集合A→集合B”的映射，并鼓勵學(xué)生甄別、找出集合A、集合B中各個元素間存在著哪些對應(yīng)關(guān)系.當學(xué)生完成自主思考后，教師可利用逆向思維訓(xùn)練法引導(dǎo)學(xué)生進行逆向思考：假設(shè)集合A中不存在其他剩余元素，且各個元素均與集合B中的元素對應(yīng)，且有唯一的象，此時，集合B中剩余元素沒有在集合A中發(fā)現(xiàn)相對應(yīng)的原像，進而得出：一對一、多對一的結(jié)論.此類逆向思維的教學(xué)與訓(xùn)練，既可以強化學(xué)生對“映射”概念的理解，還可以培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的應(yīng)用意識與能力，同時，也能夠提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的靈活性，為改善學(xué)生思維方式、解決問題能力奠定基礎(chǔ).

二、基于公式活用教學(xué)，培養(yǎng)逆向思維應(yīng)用能力

數(shù)學(xué)公式是解決數(shù)學(xué)問題的重要基礎(chǔ).因此，學(xué)生必須要熟悉、理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式，并能夠靈活運用數(shù)學(xué)公式，進而才能提高學(xué)生解題能力與效率.由于數(shù)學(xué)公式具有極高的抽象性，學(xué)生在數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用時必須要具備正向理解與應(yīng)用公式的能力，還要掌握逆向應(yīng)用公式的能力，進而才能促使學(xué)生在解題過程中能夠通過逆向思維來靈活運用公式，促使學(xué)生在活用公式的過程中潛移默化地提高了自己的逆向思維應(yīng)用能力，為促進其數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成提供保障.

如在“升冪公式”、“余弦變正弦公式”等基礎(chǔ)公式的應(yīng)用中，教師可以鼓勵、引導(dǎo)學(xué)生對上述公式逆向推導(dǎo)，并得出“降冪公式”、“正弦變余弦公式”，此類公式的逆向推導(dǎo)，既可以強化學(xué)生對上述公式的理解與應(yīng)用能力，還可以達到對學(xué)生逆向思維應(yīng)用意識與能力的鍛煉目的.另外，教師也要結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式開展逆向思維的應(yīng)用訓(xùn)練，以培養(yǎng)、改善學(xué)生逆向思維應(yīng)用意識.再如，教師可以借助習(xí)題來培養(yǎng)、訓(xùn)練學(xué)生公式逆用的能力與技巧，如題：cosθ=3/4，那么sin4θ+cos4θ的值是多少？”該習(xí)題，可以采用正向思維方式進行解答，即將所求條件進行公式變化得出：(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2sin2θcos2θ=1-1/2sin22θ，并算出結(jié)果.同時，教師可以鼓勵學(xué)生利用逆向思維進行思考，即利用二倍角公式進行轉(zhuǎn)換，并利用sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ公式計算出最終結(jié)果.該方法的應(yīng)用，則是通過關(guān)注已知條件的轉(zhuǎn)換及相關(guān)公式后，再代入數(shù)值即可.學(xué)生在上述逆向思維的學(xué)習(xí)與鍛煉過程中不斷改善、提升自身逆向思維在解題應(yīng)用中的能力與靈活性，最終為提高解題能力提供了保障.

三、基于解題訓(xùn)練教學(xué)，提升逆向思維應(yīng)用技巧

通常情況下，學(xué)生在解題時多會采用定勢思維方式，并運用正向解題方法進行解題.因此，數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)(或是習(xí)題解析)中培養(yǎng)學(xué)生逆向思維時，不要停留在課堂的講授活動中，而是要通過各類數(shù)學(xué)解題實踐來改善、培養(yǎng)、提升學(xué)生逆向思維運用意識與技巧，使之能夠逐步形成“正難則反”意識，在具體的解題時進行正、逆思維的靈活應(yīng)用，這對發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維與核心素養(yǎng)、培養(yǎng)其逆向思維能力等均具促進作用.

如方程(b+2)x2-8x+b=0中，b為何值時，該方程的根至少有一個是正實數(shù).學(xué)生在解題時，若運用正向思維則解題過程復(fù)雜，也易導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)一些不必要的錯誤；若學(xué)生運用逆向思維解題時，教師只需引導(dǎo)學(xué)生考慮：“在何種情況下，a會存在兩個負根的可能性”，以此來降低該習(xí)題的難度，使學(xué)生能夠順利得出正確的結(jié)果.另外，教師還可以借助反證法來培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力、提升其利用逆向思維解決問題的技巧.反證法就是要引導(dǎo)學(xué)生假設(shè)想要證明的結(jié)論是錯誤的、不成立的，并運用數(shù)學(xué)邏輯思維、既有數(shù)學(xué)知識推導(dǎo)出相反的結(jié)論.教師在指導(dǎo)學(xué)生利用反證法進行解題時，要針將原命題提出的問題改為逆否命題，將其作為自己的解題思路，利用相應(yīng)的公式、定理進行推理，得出該命題是否具有正確的邏輯性，并判斷出該命題是否成立.反證法的應(yīng)用，既可以有效改善、提升學(xué)生逆向思維能力，還會在學(xué)生解題實踐中逐步養(yǎng)成逆向思維的良好習(xí)慣，并在各種解題、習(xí)題糾錯或是習(xí)題解析活動中不斷進行自我反思，為提升自身逆向思維應(yīng)用技巧奠定基礎(chǔ).如題：“已知一個整數(shù)的平方是偶數(shù)，求證該整數(shù)也是一個偶數(shù).”在解題時，教師可讓學(xué)生嘗試利用正向思維解題，當學(xué)生遇到困難或是無法解決該題時，則可引導(dǎo)其利用反證法進行解決.首先，可“假設(shè)整數(shù)為奇數(shù)”，即設(shè)定該整數(shù)為“2k+1，且k∈Z”，學(xué)生則會得出解題思路：(2k+1)2=4k2+4k=1.此時，學(xué)生可以準確判斷該結(jié)果是非偶數(shù)，得出該假設(shè)不成立的正確結(jié)果.再如習(xí)題：a+b+c>0，ab+bc+ac>0，abc>0，求證a>0、b>0、c>0.解題時，教師仍可以先讓學(xué)生嘗試運用正向思維法進行解題，學(xué)生在正向解題時往往無法找到解題的切入口，且出現(xiàn)思維混亂、無序等問題.因此，教師可以鼓勵學(xué)生利用反證法進行解題，即假設(shè)該結(jié)論的反向是對的，并基于現(xiàn)有的已知條件、相關(guān)定理完成相應(yīng)的推理工作.此時，學(xué)生會得到一個與事實相違的結(jié)論.這就說明：“原結(jié)論的假設(shè)不成立”反而言之，原結(jié)論是正確的、成立的，進而提高了學(xué)生解題效率.此類利用解題教學(xué)培養(yǎng)逆向思維的策略，既可以達到培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的目的，還可以有效改善、提高學(xué)生解決問題能力.

高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)實踐中必須要重視學(xué)生逆向思維的重要性及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實踐的應(yīng)用價值，同時還要幫助學(xué)生認識到逆向思維與正向思維整合應(yīng)用的重要性.因此，教師在概念教學(xué)、公式教學(xué)、解題練習(xí)或是錯題糾錯等教學(xué)活動中均應(yīng)合理地融入相應(yīng)的逆向思維訓(xùn)練內(nèi)容，幫助學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、解題或是其他實踐應(yīng)用活動中不斷進行逆向思維的鍛煉，使學(xué)生能夠在數(shù)學(xué)“學(xué)”、“踐”過程中不斷提高自身逆向思維的應(yīng)用意識與能力，為改善、提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)提供保障.