基于自適應帶寬核密度估計的載荷外推方法研究

牛文鐵 才福友 付景靜

(天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室， 天津 300350)

0 引言

載荷譜[1-2]是進行零部件疲勞壽命預測和優化設計的重要依據。目前，載荷譜已經在航天、汽車、高鐵等領域得到了廣泛研究與應用[3-5]。而我國大型玉米收獲機關鍵零部件載荷譜的編制方法研究尚處于起步階段，與國外發達國家相比還有較大的差距。國產玉米收獲機故障頻發，穩定性較差，其主要原因是設計水平不高，在研發設計初期大多以仿制和借鑒為主，很多零部件的結構設計并沒有足夠的載荷譜數據作為支撐。玉米收獲機的車架是整車的核心承載部件，承受著割臺、駕駛室、發動機、糧倉等傳遞的力和力矩，在實際工作過程中，經常會出現車架裂痕、甚至斷裂的現象，嚴重影響了玉米收獲機的整車性能。因此，采用合理的載荷外推方法進行多種工況下玉米收獲機車架的載荷譜編制，對于玉米收獲機車架的結構優化和整車性能提高具有重要意義。

在實際載荷測試試驗中，由于時間、天氣、試驗場地和成本等多種原因，只能進行一定時間內載荷時間歷程的測量，實測載荷僅反映試驗期間的載荷時間歷程，不能反映全壽命周期下的載荷分布，因此需要對有限的載荷時間歷程進行合理有效的載荷外推[6]。載荷外推是影響載荷譜編制準確性的關鍵環節。JOHANNESSON[7]提出了基于POT參數模型的時域外推方法，通過設置峰值的閾值，估計峰值的分布函數，在最大限度保留原始載荷時間序列的基礎上，重構得到外推后的載荷時間歷程。楊子涵等[8]對時域外推過程中的閾值選取方法進行了改進，提出了一種時域外推過程中閾值選取的量化方法，解決了時域外推過程中閾值選取主觀性較強的問題。張英爽等[9]將經過雨流計數法統計后的載荷循環均值和載荷循環幅值的分布分別用正態分布和威布爾分布進行參數擬合，并以此進行載荷外推。翟新婷等[10]、GENG等[11]以混合分布函數作為函數擬合模型進行參數估計，該方法的擬合效果優于單分布的參數估計。但是，參數外推方法是用純粹的分布函數來描述載荷的分布規律，對于復雜、隨機性較大的載荷，則會產生較大的誤差，大大降低了外推載荷譜與實際載荷譜的等效性。隨著研究的不斷深入，基于核密度估計法的非參數估計方法被應用于載荷外推中，該方法既可很好地保留載荷數據本身的分布規律，又能實現對任意載荷分布的擬合。李凡松等[12]采用基于自適應帶寬的核密度估計方法進行載荷外推，每一個數據點都有其自身對應的帶寬，該方法相較于固定帶寬的核密度估計方法具有更好的擬合效果。

本文針對核密度估計載荷非參數外推方法中帶寬的選擇問題，結合改進的四叉樹分割算法，對核密度估計的帶寬計算進行優化，提出一種改進的自適應帶寬核密度估計的載荷外推方法。以玉米收獲機車架為研究對象，通過與傳統的基于核密度估計的固定帶寬外推方法和自適應帶寬外推方法進行比較，驗證該自適應帶寬核密度估計的載荷外推方法的準確性和合理性。

1 核密度估計

核密度估計是由ROSENBLATT[13]和PARZEN[14]提出的一種由實測分布函數未知的隨機變量來估計其概率密度函數的非參數估計方法。該方法不需要知道數據的先驗分布，也不必對數據進行任何的假設，只需要確定輸入的數據變量、核函數以及帶寬就可以估計輸入數據的概率密度函數。目前，核密度估計已經在電力、醫療、地理等領域得到了非常廣泛的應用[15-18]。玉米收獲機工作時由于其結構復雜，工況多樣，導致負載波動大，實測載荷信號具有很強的分散性和隨機性，相較于一般的參數估計法來說，核密度估計能更好地描述載荷數據的分布規律，從而使得載荷外推更加準確。

基于雨流計數矩陣的載荷外推是關于載荷循環均值和幅值的二維問題，二維核密度估計表達式為

(1)

其中

(2)

式中n——輸入數據點的個數

hx、hy——核密度估計載荷循環幅值、均值的帶寬

xi、yi——輸入的第i個載荷循環幅值、均值

K(·)——核函數

只要選取的核函數和帶寬合適，就可以無限制地去逼近任何隨機變量真實的概率密度函數。大量研究表明，當輸入的樣本數據量足夠大時，核函數的具體形式對概率密度估計的準確性產生的影響相對較小[19]，本文選擇光滑且連續、明顯單峰分布的高斯核函數。二維高斯核函數表達式為

(3)

與核函數相比，帶寬h的選擇對核密度估計的準確性影響更大[20]。帶寬h決定了(x,y)的光滑程度，若h較大，則有較多的數據點影響此處的概率密度計算，(x,y)曲線在此處較光滑，但是其與實際概率密度曲線的偏差較大；若h較小，則有較少的數據點影響此處的概率密度計算，(x,y)曲線在此處較陡峭，但是其與實際概率密度曲線的偏差較小。因此，為了更加準確地進行核密度估計，帶寬h的選擇尤為重要。為了定量化實現最優帶寬計算，提出了平均積分平方誤差(MISE)，MISE表達式為

(4)

f(x)——實測數據真實的概率密度

E(·)——求均值函數

拇指法則是目前應用最多的固定最優帶寬的計算法則，拇指法則的最優帶寬計算公式為

(5)

式中d——核密度估計的維數，取2

σ——輸入二維數據樣本的標準差

此外，還可用無偏交叉驗證(Unbiased cross validation)[21]、插入法(Plug-in)[22]等進行最優帶寬的計算。上述方法計算的最優帶寬是固定的，即每一個數據都有著同樣的帶寬，不能自動調節和變化，然而，在核密度估計的實際應用中，由于數據的隨機性較強，分布不均勻，通過固定帶寬核密度估計計算得到的概率密度可能與實際的分布相差較大，所以，希望帶寬能夠隨數據的變化而變化，在數據密集的地方取得小一些，在數據稀疏的地方取得大一些。因此，自適應帶寬核密度估計[23-24]得到了廣泛的應用，該方法的具體計算公式為

(x,y)=

(6)

其中

λi=(g-1(xi,yi))-α

(7)

(8)

式中λi——帶寬的自適應修訂系數

α——敏感性參數，取0～1

一般情況下當α取0.5時，核密度估計的擬合效果較好[25]，相對于固定帶寬的核密度估計來說，自適應帶寬在一定程度上提高了核密度估計的準確性，但由于數據集中的每一個數據都會影響彼此的帶寬，當輸入數據集較大時，會大大降低核密度估計的計算效率。當一定數量的數據聚集在一個很小的區域時，此區域內帶寬的差異對核密度估計的影響十分有限，因此可以根據數據的聚集程度將同一區域內所有數據的帶寬設置成相同的，就可以避免對這些點進行不必要的詳細的帶寬計算，在保證一定核密度估計準確性的前提下，提高了計算效率，所以針對核密度估計最優帶寬的選擇問題，為了更好兼顧核密度估計的計算效率與準確性，本文在上述方法的基礎上進行改進，提出了一種新的自適應帶寬計算方法。

2 基于四叉樹算法的自適應帶寬核密度估計載荷外推

基于四叉樹算法的自適應帶寬核密度估計載荷外推主要由3個步驟組成，包括：核密度估計的數據輸入、基于四叉樹算法的數據區域分割以及基于四叉樹算法的自適應帶寬核密度估計。具體的載荷外推流程圖如圖1所示。

2.1 核密度估計的數據輸入

雨流計數法得到的應變與材料的應力-應變遲滯回線具有很好的一致性，并且考慮了載荷循環幅值和均值2個變量，符合疲勞載荷本身固有的特性，能夠滿足疲勞壽命預估以及載荷譜編制的條件，是目前應用最為廣泛的實測載荷時間歷程的計數統計方法。首先將已經預處理的實測載荷利用該方法進行計數統計處理，得到載荷循環均幅值矩陣M(Mm、Ma)，其中Mm表示載荷循環均值，Ma表示載荷循環幅值；在實際工作中，小幅值載荷循環的數量比大幅值載荷循環大，但是其造成的疲勞損傷非常小[26]，所以可以將小于最大載荷循環幅值10%的載荷循環只進行簡單的線性比例外推，這很大程度上減少了核密度估計的數據輸入量，從而降低核密度估計的計算量，提高了計算效率。已經過濾掉小幅值載荷循環的載荷循環均幅值矩陣記為Mn(Mmn、Man)，并以此作為核密度估計的數據輸入。

2.2 基于四叉樹算法的數據區域分割

四叉樹算法[27]是一種經典的空間分割與索引技術，目前在圖像分割與空間索引領域已經得到了廣泛的應用[28-29]。該算法可以通過對數據空間進行遞歸四等分割將數據區域分割成密度不等的塊，數據越密集的地方，塊的數量越多，塊相對較小；而數據越稀疏的地方，塊的數量越少，塊相對較大，分割出的塊的數量與大小從一定程度上反映出數據的密集程度。數據密集的地方采用較小的帶寬，能夠更好地反映出該區域分布的細節，與實際分布更加接近，擬合效果較好。根據四叉樹分割算法分割出不同的數據塊，計算各自的局部最優帶寬，達到自適應帶寬核密度估計的目的。將一個區域進行四叉樹分割的流程如圖2所示。

通過對區域不斷執行上述四叉樹分割流程，直到所有區域都不滿足區域分割的條件，最后可以將原始數據區域分割成大小不盡相同的數據塊。判斷數據區域是否需要分割的閾值，數據區域內數據點個數的最大值Nmax和數據區域最小寬度Lmin對分割完成后數據塊的大小和數量有著重要的影響，不同Nmax對概率密度函數的影響如圖3所示。

由圖3可知，Nmax較大時，圖3b不能很好地反映出該區域內數據點分布的細節信息；Nmax較小時，圖3c反映的細節信息和圖3a沒有明顯的差別，但是Nmax越小，四叉樹分割的層次就越深，計算量越大。

Δan=(maxMan-minMan)/64

(9)

Δmn=(maxMmn-minMmn)/64

(10)

式中Δan——載荷循環幅值每一級的長度

Δmn——載荷循環均值每一級的長度

因此定義四叉樹分割數據塊的最小寬度Lmin=min(Δan,Δmn)，這既能提高四叉樹分割的計算效率，也能最小限度影響核密度估計的準確性。

2.3 基于四叉樹算法的自適應帶寬核密度估計

不同數據塊內數據點的帶寬因為數據的差別而有所不同，但同一數據塊內數據點的帶寬是相同的。當一個數據塊內的數據點密集程度比較高，彼此相差不大時，每一個數據點貢獻的核密度估計分量的差別很微小，數據落入此數據塊不同位置的概率近似相同。因此，為了進一步提高自適應核密度的計算效率，在數據密集程度比較高的塊，不需要每一個數據點都進行核密度估計的計算，只需要將該數據區域數據點的平均值作為核密度估計的數據輸入，再乘以該區域數據點的個數即可。在此將表示數據塊內數據點密集程度的參數定義為

(11)

其中

Lside=min(Δan,Δmn)/2

(12)

H=max(hx,hy)

(13)

當γ>1時，表示該數據塊內的數據點密集程度高，可以對此數據塊內的核密度估計計算進行優化。依此改進的自適應核密度估計公式為

(x,y)=

(14)

式中N——優化前載荷數據點總個數

N0——優化后載荷數據點總個數

當γ>1時，n(xi,yi)表示此數據塊內數據點的個數，xi、yi分別表示此數據塊內數據點的載荷循環幅值以及載荷循環均值的平均值；當γ<1時，n(xi,yi)等于1，xi、yi分別表示此數據塊內每一個數據點的載荷循環幅值以及載荷循環均值。

通過上述方法進行自適應帶寬核密度估計后，再結合Monte Carlo模擬算法進行載荷外推。

3 實例驗證

3.1 試驗方案

玉米收獲機在實際工作中，工況較多且復雜多變，由于地形、車輛載重以及操作行為不規范等原因，車架時常會出現裂紋，大大降低了車架的疲勞強度，影響整車性能，受到很大沖擊時，甚至會出現車架整根斷裂的問題，嚴重影響了糧食收獲。由于試驗環境較惡劣，并且測試部位空間有限，需要選用安裝方便并且固定牢靠的傳感器。因此本試驗采用中航工業公司BE350-4AA型應變片進行數據測取，并通過有線連接的方式與HBM公司的SoMat eDAQ型數據采集儀連接。該數據采集儀具有極佳的密封性能和抗震性能，能有效應對水濺、揚塵、顛簸等測試環境，有線連接的方式能夠確保信號傳輸的穩定性，通過數采的計算機終端軟件將采樣頻率設置為500 Hz。應變片的安裝如圖5所示，現場試驗如圖6所示，數據采集系統組成如圖7所示。

砂石路面工況下行駛較為平穩，載荷變化相對較小，大幅值載荷循環較少，載荷循環的分布相對集中；田間收獲工況下載荷容易受田間地面的軟硬程度以及糧倉的使用率等因素的影響，載荷的隨機性較高，平穩性較差，大幅值載荷循環相對多一些，載荷循環的分布也更為分散。根據通過四叉樹分割算法得到的數據塊的大小以及密集程度，能夠很好地反映出這兩種工況下數據的密集程度以及分布情況，并且這兩種工況占玉米收獲機實際工作工況中很大的比重，具有一定的代表性，為了降低結論的偶然性，本文采用2種工況下各3組樣本進行對比驗證，經過預處理的試驗數據如圖8所示。

3.2 結果驗證

通過雨流計數法對上述已經完成預處理的車架實測原始載荷進行統計計數處理，得到的部分載荷循環均幅值頻次分布圖如圖9所示。

由圖9可知，幅值較小的載荷循環占比較大，將小于最大幅值10%的載荷循環過濾掉，過濾完成的數據作為固定帶寬和自適應帶寬核密度估計的數據輸入，本文方法的核密度估計的數據輸入在過濾的基礎上還需要通過改進的四叉樹算法進行優化。首先將已經篩選好的載荷循環均幅值矩陣中的數據點繪制成如圖10所示的散點圖，并在此散點圖上利用改進的四叉樹算法進行數據區域的分割操作，數據區域信息如表1所示。

表1 數據區域信息Tab.1 Information of data area

經過基于四叉樹算法的數據區域分割的計算，數據區域被分割成大小不相同的數據塊，每個數據塊都有各自的帶寬，利用式(14)對數據塊的自適應帶寬核密度估計進行優化，在之前濾除小幅值載荷循環的基礎上又大幅減少了核密度估計的輸入，進一步提高了核密度估計的計算效率。

為了驗證本文提出的基于四叉樹算法的自適應帶寬核密度估計的載荷外推方法的準確性與合理性，與傳統的基于核密度估計的固定帶寬載荷外推和自適應帶寬載荷外推以及實測原始載荷進行對比論證。

由3種帶寬選擇方法計算得到的載荷循環均幅值概率密度分布如圖11所示。將圖11與圖10進行對比，可以看出傳統的固定帶寬與自適應帶寬核密度估計的曲線較為平滑，而本文提出的自適應帶寬核密度估計的曲線較為曲折，能夠很好地反映圖10數據的密集程度，并且數據密集點的分布情況劃分更加具體，細節信息表達更為清楚，能很好地擬合真實概率密度。為了進一步評價概率密度函數的擬合程度，將固定帶寬、自適應帶寬以及本文提出的自適應帶寬核密度估計的概率密度函數的結果分別結合Monte Carlo模擬算法進行載荷外推。將實測原始載荷數據和上述3種方法進行載荷外推后得到的載荷循環均幅值分別進行分級統計處理，并計算實測原始數據與3種帶寬選擇外推方法的均方根誤差(RMSE)，計算結果如表2所示。

表2 載荷循環均幅值的均方根誤差Tab.2 RMSE of load cycle mean and range με

由表2可知，相較于傳統的固定帶寬和自適應帶寬核密度估計，本文提出的自適應帶寬核密度估計載荷外推方法的均方根誤差RMSE最小，表明通過本文方法計算得到的概率密度更加接近于真實的概率密度。

將實測原始載荷數據和上述3種方法進行載荷外推后得到的載荷循環均值和幅值數據分別進行分級統計處理，結果如圖12所示。為進一步分析頻次分布的相關性和擬合程度，計算實測原始數據與3種帶寬選擇外推方法的相關系數(R)以及均方根誤差(RMSE)，結果如表3、4所示。

表3 載荷循環均值的相關系數及均方根誤差Tab.3 R and RMSE of load cycle mean

表4 載荷循環幅值的相關系數及均方根誤差Tab.4 R and RMSE of load cycle range

由表3、4可知，相較于傳統的固定帶寬和自適應帶寬核密度估計，本文提出的自適應帶寬核密度估計載荷外推與實測原始載荷均值和幅值的相關系數R最大，均方根誤差最小，表明通過本文提出的自適應帶寬核密度估計進行載荷外推得到的載荷循環均值和幅值分布與實測原始載荷的載荷循環均值和幅值分布具有很強的相似性，分布擬合效果好，更加接近實測原始載荷的真實分布規律。

載荷循環幅值累積頻次曲線為后續程序載荷譜的編制提供數據支撐，影響程序載荷譜編制的準確性。將實測原始數據與傳統的固定帶寬載荷外推、自適應帶寬載荷外推以及本文提出的自適應帶寬載荷外推的載荷循環幅值累積頻次曲線進行對比驗證，如圖13所示。由圖13可以看出，通過本文提出的帶寬選擇方法進行載荷外推得到的曲線與實測原始載荷曲線更為接近，擬合效果更好。為了更加直觀進行對比，更好評價載荷循環幅值累積頻次曲線的擬合效果，采用決定系數R2作為曲線擬合的檢驗指標，計算結果如表5所示。

表5 載荷循環幅值累積頻次曲線的決定系數Tab.5 Coefficient of determination of load cycle range cumulative frequency curve

由表5可知，本文提出的自適應帶寬核密度估計外推方法的R2更加接近于1，這表明，與另外兩種方法相比，本文提出的方法與實測原始載荷的載荷循環幅值累積頻次曲線的擬合度更高，更為相似，能夠為程序載荷譜編制提供更加接近實際的數據支撐。

4 結論

(1)提出了一種基于四叉樹算法的自適應帶寬核密度估計載荷外推方法，該方法利用四叉樹分割算法將載荷循環數據區域進行分割，以分割完成后的數據塊為依據計算帶寬，并根據數據塊的密集程度對核密度估計的數據輸入進行優化。

(2)以玉米收獲機車架為研究對象，在砂石路面工況和田間收獲工況下，采用本文提出的方法大幅降低了核密度估計的數據輸入，極大提高了核密度估計的計算效率。

(3)將固定帶寬、自適應帶寬與本文提出的基于四叉樹算法的自適應帶寬核密度估計載荷外推方法進行了對比驗證。結果表明，通過本文提出的載荷外推方法計算得到的載荷循環均值和幅值分布的相關系數均更加接近于1，均方根誤差更小；載荷循環幅值累積頻次曲線的決定系數均大于0.99。與傳統的固定帶寬以及自適應帶寬的核密度估計方法相比，本文提出的方法具有更高的準確性，載荷外推結果更接近實際載荷的分布情況，能夠為載荷譜的編制、零部件結構優化提供參考。