偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向輪胎力學(xué)特性研究

周福陽 郭康權(quán) 李 巖 黨小選

(西北農(nóng)林科技大學(xué)機械與電子工程學(xué)院, 陜西楊凌 712100)

0 引言

溫室、農(nóng)產(chǎn)品倉儲庫等環(huán)境空間狹小且封閉，需要運動靈活、無廢氣排放的動力機械[1-3]。為此，本課題組研發(fā)了一種4輪轂電機獨立驅(qū)動、4輪全向獨立轉(zhuǎn)向的柔性底盤[4-9]，該底盤主要由4組相同的、轉(zhuǎn)向軸與輪胎回轉(zhuǎn)平面之間具有一定偏置距離、驅(qū)動轉(zhuǎn)向合二為一的偏置轉(zhuǎn)向機構(gòu)組成，其結(jié)構(gòu)簡單，四輪獨立驅(qū)動、獨立轉(zhuǎn)向，可以靈活地實現(xiàn)兩輪轉(zhuǎn)向、四輪轉(zhuǎn)向、橫行、斜行及原地回轉(zhuǎn)等運動模式，便于在狹小封閉空間運行作業(yè)。

柔性底盤在進(jìn)行原地回轉(zhuǎn)與橫行模式姿態(tài)切換時，車體不動，車輪繞偏置轉(zhuǎn)向軸原地滾動轉(zhuǎn)向。文獻(xiàn)[10-14]對普通車輛原地轉(zhuǎn)向時的輪胎模型進(jìn)行了研究。但普通車輛原地轉(zhuǎn)向與偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向時輪胎的運動并不完全相同，其模型也不適用。WEI等[15]對車輪轉(zhuǎn)向力矩隨車輪轉(zhuǎn)速增加的變化情況進(jìn)行了研究，并提出了新的動力學(xué)模型，但其研究的是車輛運動過程中車輪的轉(zhuǎn)向力矩。宋樹杰等[9]在試驗臺上對柔性底盤原地姿態(tài)切換時的電機特性進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)輪胎受到較大的縱向力，但并未解釋其原因，且其偏置距離固定不變。目前，尚未見對柔性底盤特有的偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向運動輪胎力學(xué)特性的研究報道。本文基于LuGre摩擦模型對偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向進(jìn)行建模與試驗測量，研究其力學(xué)特性，以期為柔性底盤轉(zhuǎn)向驅(qū)動力矩的估算和轉(zhuǎn)向裝置參數(shù)的優(yōu)化提供依據(jù)。

1 輪胎模型

1.1 偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向工況分析

柔性底盤樣機如圖1所示[6]，其電磁摩擦鎖定片與車架固連，動片、偏置轉(zhuǎn)向軸(在軸承座內(nèi))及偏置臂三者固連。動片、偏置轉(zhuǎn)向軸、偏置臂、電動輪等構(gòu)成了車輪轉(zhuǎn)向組。偏置轉(zhuǎn)向軸(相當(dāng)于普通車輛的主銷)與輪胎回轉(zhuǎn)平面之間有一定的偏置距離，摩擦鎖鎖緊時，車輪轉(zhuǎn)向組和車體之間的相對位置不變，車輛保持直行或現(xiàn)有的運動狀態(tài)；當(dāng)鎖緊力矩小于輪胎力相對偏置轉(zhuǎn)向軸的力矩時，車輪轉(zhuǎn)向組相對車體轉(zhuǎn)動，車輪轉(zhuǎn)向，車輛隨之轉(zhuǎn)向。

原地回轉(zhuǎn)與橫行是柔性底盤的兩種靈活且重要的運動方式，二者皆由初始姿態(tài)切換而來，姿態(tài)切換時電磁鎖解鎖，兩前輪正轉(zhuǎn)，兩后輪反轉(zhuǎn)，從而車體不動，車輪轉(zhuǎn)向(圖2)。該過程車輪繞偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向，因此，明確其輪胎的力學(xué)特性，是柔性運動控制的關(guān)鍵和基礎(chǔ)。相比于傳統(tǒng)車輛，偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向時具有3方面特殊性：①輪胎回轉(zhuǎn)平面與轉(zhuǎn)向軸存在較大偏置距離(一般超過250 mm)，輪胎繞偏置轉(zhuǎn)向軸轉(zhuǎn)向的同時還存在自轉(zhuǎn)滾動。②轉(zhuǎn)向動力源自輪轂電機，轉(zhuǎn)向力完全來自輪胎滾動時受到的地面的反作用力。③輪胎轉(zhuǎn)向角變化范圍大，理論上可以360°，實際中也能超過135°。可見，偏置轉(zhuǎn)向軸轉(zhuǎn)向過程比較特殊，且受力狀態(tài)較為復(fù)雜，需通過深入的理論分析及試驗，明確其力學(xué)特性。

1.2 輪胎接地區(qū)域運動學(xué)分析

1.2.1接地區(qū)域縱向滑移速度

車輪前進(jìn)時的輪胎滑移速度等于車速(車輪中心速度)與輪速(通過車輪角速度算出的滾動速度)的差。繞偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向時車輪邊滾邊轉(zhuǎn)，將輪胎劃分成一個個縱向列，各列中心的速度(相當(dāng)于車速)與其到轉(zhuǎn)向軸的距離成正比；而車輪作為一個整體，各列滾動速度(相當(dāng)于輪速)相同。該矛盾造成各列接地區(qū)域滑移速度不同，靠近中間的某個列純滾動，其外側(cè)各列向前滑動，內(nèi)側(cè)列向后滑動。

圖3為輪胎原地滾動轉(zhuǎn)向示意圖，圖中的虛線顯示的矩形為輪胎接地印記，在接地印記上定義接地區(qū)域的坐標(biāo)，坐標(biāo)原點為輪胎接地印記最前最內(nèi)側(cè)的點，坐標(biāo)方向如圖中所示。該坐標(biāo)系隨著轉(zhuǎn)向組一起轉(zhuǎn)動，為運動坐標(biāo)系。設(shè)輪胎滾動轉(zhuǎn)向過程中，純滾動列的橫坐標(biāo)為l，該距離為穩(wěn)定點距離，接地印記內(nèi)側(cè)到轉(zhuǎn)向軸的距離為L，為胎邊距離，則

rω=(L+l)φ

(1)

式中r——輪胎半徑

ω——輪胎滾動角速度

φ——車輪轉(zhuǎn)向角速度

接地區(qū)域中心到轉(zhuǎn)向軸偏置距離為p，b為輪胎接地印記寬度，a為接地印記長度。則p=L+b/2。vX(x,y)為輪胎接地區(qū)域坐標(biāo)為(x,y)的點的縱向滑動速度，縱向滑動以向X正向滑動為正，則

vX(x,y)=rω-(L+y)φ=(l-y)φ

(2)

由式(2)可知，接地區(qū)域上橫坐標(biāo)相同的點的縱向滑動速度相等。穩(wěn)定點內(nèi)側(cè)接地區(qū)域向后滑動，外側(cè)接地區(qū)域向前滑動。

1.2.2接地區(qū)域橫向滑移速度

輪胎胎面的運動是在繞轉(zhuǎn)向軸公轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)上繞車輪軸轉(zhuǎn)動，是兩個運動的合成運動。圖4a為輪胎接地區(qū)域絕對速度的合成。輪胎胎面運動的參考坐標(biāo)系固定在車輪軸上，則參考坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動角速度等于φ，車輪滾動時接地區(qū)域上任意一點的牽連速度為(L+y)φ/cosθ，相對速度為rω，則縱向絕對速度為

(3)

因為地面靜止，該速度即為輪胎縱向滑動速度。式(2)和式(3)一致，說明從兩種角度得到的縱向滑移速度相同。

橫向滑動以向Y正向為正，接地區(qū)域任意點的橫向速度為

(4)

式(4)說明輪胎接地區(qū)域任意一點的橫向滑移只和該點的縱坐標(biāo)有關(guān)。縱坐標(biāo)相等的點的橫向滑移速度相等。輪胎前部向內(nèi)側(cè)橫滑，輪胎后部向外側(cè)橫滑。根據(jù)式(3)和式(4)做出接地區(qū)域各點的滑移速度，如圖4b所示。

1.3 偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向LuGre模型

1.3.1輪胎縱滑LuGre模型

輪胎模型中“魔術(shù)公式”等半經(jīng)驗輪胎模型精度較高，使用廣泛，但需要擬合參數(shù)多，擬合難度大，并且參數(shù)物理意義不明確[16-18]。偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向時接地區(qū)域各點的橫向滑移沿縱向中線對稱(圖4b)，按照庫倫摩擦(動摩擦力大小相等，方向與滑移速度方向相反)，總的橫向摩擦力應(yīng)該為零，這與實測中橫向摩擦力較大相矛盾。

LuGre摩擦模型由CANUDAS等[19]在Dahl模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，它是Dahl模型的擴(kuò)展，同時采納了鬃毛模型的思想，即在微觀下接觸表面可以看成是大量的具有隨機行為的彈性鬃毛。該模型用一個1階微分方程描述了諸多摩擦現(xiàn)象，較其他模型更能體現(xiàn)真實摩擦現(xiàn)象。該模型可以精確描述輪胎摩擦力的動態(tài)特性, 還具有數(shù)學(xué)形式緊湊與參數(shù)物理意義明確的優(yōu)點。基于LuGre摩擦模型，學(xué)者們對輪胎滑移、滑移側(cè)偏聯(lián)合、以及原地轉(zhuǎn)向等輪胎運動提出新的動態(tài)力學(xué)模型[11-12, 17-18, 20-24]，證明了該模型在輪胎研究中的準(zhǔn)確性。根據(jù)文獻(xiàn)[20]，分布式縱滑輪胎LuGre模型為

(5)

(6)

(7)

式中Fn(x,t)——接地印記上垂直載荷分布函數(shù)

σ0——輪胎剛度系數(shù)

σ1——輪胎阻尼系數(shù)

σ2——輪胎相對黏滯阻尼系數(shù)

z(x,t)——鬃毛的彈性變形量函數(shù)

F(x,t)——輪胎的摩擦力函數(shù)

uc——庫侖摩擦因數(shù)(近似于滑動摩擦因數(shù))

us——靜摩擦因數(shù)

vr——接觸面的相對運動速度

g(vr)——Stribeck摩擦模型函數(shù)[25]，代表穩(wěn)定狀態(tài)下摩擦因數(shù)隨滑移速度變化的函數(shù)

vs——Stribeck速度，取2.7 m/s

α——Stribeck指數(shù)，表示穩(wěn)態(tài)摩擦特性，取0.5

1.3.2縱滑-橫滑聯(lián)合偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向LuGre模型

根據(jù)1.2節(jié)的分析，偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向時輪胎既有縱向滑移，又有橫向滑移，并且每一處滑移情況都不相同，需要將單一的縱滑模型擴(kuò)展到各處滑移情況不同的縱向-橫向聯(lián)合滑移模型。偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向LuGre模型鬃毛的變形應(yīng)為x、y和t的函數(shù)，z記為z(x,y,t)，該變形為矢量，也可以表示為兩個方向的標(biāo)量z*(x,y,t)，*為x或者y，代表z在X或者Y方向的分量。變形量對時間的導(dǎo)數(shù)為

(8)

根據(jù)圖3可知

x(t+Δt)-x(t)=rωΔt

(9)

y(t+Δt)-y(t)=0

(10)

式中x(t)——輪胎上某一點t時刻在接地印記的縱坐標(biāo)

y(t)——輪胎上某一點t時刻在接地印記的橫坐標(biāo)

由式(9)、(10)可知，?x/?t=rω，?y/?t=0。當(dāng)輪胎滾動速度不變時，輪胎接地印記上同一坐標(biāo)的鬃毛變形量不隨時間改變，即?z*(x,y,t)/?t=0。因此穩(wěn)態(tài)時式(8)變?yōu)?/p>

(11)

假設(shè)輪胎沿任意方向的滑動摩擦因數(shù)不變，摩擦阻力的方向和相對運動方向相反，則

(12)

根據(jù)式(11)、(12)，式(5)變?yōu)?/p>

(13)

根據(jù)式(1)、(3)、(4)、(13)，輪胎的橫向和縱向鬃毛變形方程為

(14)

(15)

式中σ0x——輪胎縱向剛度系數(shù)

σ0y——輪胎橫向剛度系數(shù)

式(14)、(15)的解析解無法用初等函數(shù)表示，但可以求其數(shù)值解。初始接地點鬃毛變形量為零，因此變形量的邊界條件為zx(0,y,t)=0，zy(0,y,t)=0。

因為?z*(x,y,t)/?t=0，式(6)變?yōu)?/p>

dF*(x,y)=(σ0*z*(x,y,t)+σ2*vr*)dFn(x,y,t)

(16)

根據(jù)式(16)，當(dāng)載荷Fn均勻分布時，輪胎縱向摩擦力Fx及橫向摩擦力Fy為

(17)

(18)

輪胎受到的力相對于轉(zhuǎn)向中心的力矩M為

(19)

式中σ2x——輪胎縱向相對黏滯阻尼系數(shù)

σ2y——輪胎橫向相對黏滯阻尼系數(shù)

框架繞轉(zhuǎn)向中心勻速轉(zhuǎn)向，輪胎受到的縱向摩擦力和橫向摩擦力繞轉(zhuǎn)向中心力矩的和應(yīng)為零，即勻速轉(zhuǎn)向時M=0。式(17)～(19)中的Fx、Fy、M同樣沒有解析解，但可以求其數(shù)值解。求Fx、Fy的步驟為：先假設(shè)純滾動列與內(nèi)側(cè)胎邊距離l=b/2，求M的值，當(dāng)M<0時，l增加Δl，再次求M值，反復(fù)這個過程，直到M>0。當(dāng)Δl足夠小時，M由負(fù)轉(zhuǎn)正的l值將非常接近實際值，將該l值代入式(17)、(18)，即可求得該情況下的縱向摩擦力與橫向摩擦力的數(shù)值解。

2 試驗裝置與數(shù)據(jù)處理

2.1 試驗裝置與試驗方法

測試裝置機械部分實物與軸套滑塊局部如圖5所示，因為滾輪滑塊可以繞水平軸轉(zhuǎn)動，滑塊軸套整體又可以繞偏置轉(zhuǎn)向軸轉(zhuǎn)動，因此直線導(dǎo)軌等組成的框架具有3個自由度，即繞水平軸與轉(zhuǎn)向軸轉(zhuǎn)動，以及沿滾輪滑塊移動。軸套和后框架之間連接了拉壓力傳感器后，會限制框架移動，從而測出橫向力。

主要儀器：玲瓏155R13C型輪胎，胎壓230 kPa；Campbell cr1000型數(shù)據(jù)采集器；輪轂電機母線電流傳感器為華控興業(yè)HKK-10I型直流電流變送器，量程為0～20 A，輸出0～5 V電壓信號，精度0.5%；車輪轉(zhuǎn)數(shù)傳感器為杰特仕增量型光電旋轉(zhuǎn)編碼器，360脈沖/轉(zhuǎn)，通過齒輪變速后，車輪轉(zhuǎn)動一圈輸出1 800個脈沖信號，可保證低速時的采集精度；中諾ZNLBS型高精度拉壓力傳感器，量程0～100 kg，輸出0～5 V電壓信號，精度0.05%。

試驗方法：試驗設(shè)兩個因素，輪胎垂直載荷與偏置距離。垂直載荷3個水平，分別為980、1 470、1 960 N。偏置距離4個水平，分別為0.35、0.45、0.60、0.80 m。共12個水平組合；每個水平組合重復(fù)做6組，其中3組輪胎繞轉(zhuǎn)向軸順時針轉(zhuǎn)向，3組繞逆時針轉(zhuǎn)向；每組轉(zhuǎn)向圈數(shù)都超過6圈。測試量包括：輪轂電機的母線電流、車輪轉(zhuǎn)速以及傳感器輸出橫向力。

2.2 受力分析與摩擦力計算方法

為了根據(jù)測得的試驗結(jié)果計算輪胎實際受到的橫向摩擦力和縱向摩擦力，需要對運行過程中的框架和車輪進(jìn)行受力分析，如圖6所示。

2.2.1加載及實際載荷分析

通過在配重架上加減配重調(diào)節(jié)載荷，其靜止時的值可以通過將框架升高，輪胎放置到電子秤上，調(diào)平后測量。

轉(zhuǎn)動過程中的載荷通過框架受力主視圖(圖6a)分析。轉(zhuǎn)向時框架不繞水平軸旋轉(zhuǎn)，各力相對水平軸的合力矩為零，即

Fn=(mgS-Fyr)/p

(20)

式中m——框架加配重等轉(zhuǎn)向物體的總質(zhì)量

S——總質(zhì)量重心到轉(zhuǎn)向軸的距離

靜止?fàn)顟B(tài)時Fy等于0，F(xiàn)n=mgS/p。當(dāng)輪胎轉(zhuǎn)動時，因為Fy增加，F(xiàn)n會減少，即轉(zhuǎn)向過程中的實際載荷小于靜止載荷。偏置距離越小，載荷變化越大。考慮到測得的橫向力最大為643 N，車輪轉(zhuǎn)動過程中載荷的變化不可忽略，因此仿真過程中的載荷要按式(20)算出的實際載荷計算，接地印記也要通過對初始載荷印記擬合得出。

2.2.2橫向摩擦力分析

框架受力俯視圖(圖6c)反映了框架的各徑向力。框架徑向受到的力包括輪胎橫向摩擦力Fy，框架及配重等的離心力FL，以及力傳感器受到的拉/壓力Fc，轉(zhuǎn)向過程中沒有徑向運動，所以三者的矢量和為零，即

Fy=Fc-FL

(21)

每個時刻傳感器測的壓力減去相應(yīng)時刻計算得到的離心力即可求得對應(yīng)時刻的輪胎橫向摩擦力。框架和配重等物體繞轉(zhuǎn)向軸旋轉(zhuǎn)，受到的離心力等于各部分離心力的和，計算方程為

(22)

式中s——各微質(zhì)量到轉(zhuǎn)向中心的距離

式(22)說明總離心力等于位于重心的等重質(zhì)點的離心力，因此總離心力可通過測量計算。實際上因為重心距離短，轉(zhuǎn)向角速度低，離心力只有幾十牛頓，對整體橫向摩擦力影響不大。

2.2.3縱向摩擦力分析

車輪轉(zhuǎn)動時，輪胎受到的合力分析如圖6b所示。各合力繞轉(zhuǎn)動中心的力矩包括電機的驅(qū)動力矩Mq，由于支撐力Fn前移造成的輪胎滾動阻力矩Mz，以及大小等于Fxr的輪胎縱向摩擦力力矩。車輪勻速滾動時，合力矩為零，即

Fx=(Mq-Mz)/r

(23)

因此輪胎縱向摩擦力可以通過驅(qū)動力矩計算得出，驅(qū)動力矩可以通過在電機測試臺架上對以同樣轉(zhuǎn)速、同樣母線電流運轉(zhuǎn)的同一電機測量得到。

輪胎滾動阻力系數(shù)取0.01[26]，忽略轉(zhuǎn)向時的載荷改變，在3種載荷下，滾動阻力矩分別為2.57、3.90、5.14 N·m。

在初始靜止?fàn)顟B(tài)下，測量載荷980、1 470、1 960 N時對應(yīng)的輪胎滾動半徑r分別為0.267 8、0.265 3、0.262 3 m。

3 試驗結(jié)果與分析

3.1 電流、轉(zhuǎn)速與橫向力測試數(shù)據(jù)

偏置距離0.45 m、載荷1 960 N時，其中一次的測試數(shù)據(jù)如圖7所示，圖中第1段試驗輪胎順時針轉(zhuǎn)向，可以看到輪胎自轉(zhuǎn)超過10圈，第2段逆時針轉(zhuǎn)向，第3段順時針轉(zhuǎn)向。整個運行期間輪胎轉(zhuǎn)速、電流和橫向力雖有波動，但大致平穩(wěn)。選取速度比較平穩(wěn)之后，相同圈數(shù)的正轉(zhuǎn)和反轉(zhuǎn)的時間段進(jìn)行平均，得到車輪近似勻速運動時的電機母線電流、轉(zhuǎn)速和橫向力。從圖中可以看到，第1段和第3段雖然轉(zhuǎn)速相差很多，但是平均橫向力非常接近，實際上去除離心力后，兩者的平均值幾乎相等。所以橫向力和車輪轉(zhuǎn)速無關(guān)，但會受到轉(zhuǎn)向方向影響，初步判斷是因為制造誤差，車輪軸的延長線不通過偏置轉(zhuǎn)向軸，而是有1.5 mm左右的誤差，導(dǎo)致順時針和逆時針轉(zhuǎn)向時橫向力有一些差別。

3.2 LuGre模型參數(shù)辨識方法與結(jié)果

式(14)、(15)、(17)～(19)為輪胎LuGre動力學(xué)方程，需要對方程中的參數(shù)進(jìn)行確定和識別。初始靜止?fàn)顟B(tài)下接地印記尺寸a和b通過實測得到，其值如表1所示，轉(zhuǎn)向狀態(tài)下接地印記尺寸根據(jù)實際載荷擬合得到。轉(zhuǎn)向角速度φ對最終結(jié)果影響很小，試驗過程中其值在0.5～0.8 rad/s之間，取其平均值0.6 rad/s。因為輪胎轉(zhuǎn)速很慢，σ2x、σ2y影響極小，都取0.001 8 s/m[18]。根據(jù)初步辨識，發(fā)現(xiàn)vs對結(jié)果影響較小，根據(jù)初步辨識結(jié)果取3.6 m/s。

表1 不同靜態(tài)載荷的實測接地印記尺寸Tab.1 Measured values of contact patch under different static loads m

方程中需要辨識的動態(tài)參數(shù)包括：σ0x、σ0y、us、uc。張鵬等[23]研究表明，上述4個參數(shù)隨著載荷而改變。因此參數(shù)識別要按照載荷進(jìn)行，但為了體現(xiàn)整體特點，忽略了轉(zhuǎn)向時載荷的改變，同一初始載荷認(rèn)為參數(shù)相同。

因為方程沒有解析解，無法直接用最小二乘法辨識。為此將動力學(xué)方程作為一個黑盒，輸入一組參數(shù)，根據(jù)1.3.2節(jié)的方法，可以求出其數(shù)值解與總加權(quán)二乘值，其中縱向摩擦力二乘值權(quán)重取25，橫向摩擦力權(quán)重為1。參數(shù)辨識時，先根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)，確定各參數(shù)的預(yù)設(shè)值；接著按照參數(shù)對結(jié)果的影響程度，輪流固定其余參數(shù)，辨識一個參數(shù)，幾輪之后參數(shù)不再改變，即可認(rèn)為是最終的辨識結(jié)果。預(yù)仿真表明，參數(shù)影響程度從大到小依次為us、σ0y、σ0x、uc。

對單個參數(shù)進(jìn)行初步辨識的原理是以一定的步長增加該參數(shù)，當(dāng)總二乘值減小時，說明調(diào)整參數(shù)方向正確，繼續(xù)以原步長改變參數(shù)；當(dāng)總二乘值增加時，說明步長方向錯誤，也說明已經(jīng)靠近最佳參數(shù)，則步長變成原來的-1/2，。反復(fù)進(jìn)行上述步驟，即可以倍增的精度找到最佳參數(shù)。

識別過程中發(fā)現(xiàn)，靜摩擦因數(shù)影響較小；庫倫摩擦因數(shù)對橫向摩擦力影響巨大，對縱向摩擦力影響較小；橫向剛度系數(shù)和縱向剛度系數(shù)對橫向摩擦力影響很小，對縱向摩擦力影響較大。參數(shù)識別結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出，隨著載荷增加，庫倫摩擦因數(shù)和靜摩擦因數(shù)變化很小，縱向剛度系數(shù)近似線性減少，而橫向剛度系數(shù)隨載荷變化呈非線性。

3.3 仿真與實測結(jié)果對比

縱向摩擦力的實測值和仿真值對比如圖9a所示，圖中顯示的是力的絕對值，實際值為負(fù)值，表示其方向指向輪胎前方，阻礙輪胎滾動。從圖中可以看到，實測結(jié)果和仿真結(jié)果基本一致；但也發(fā)現(xiàn)偏置距離較小時仿真結(jié)果大于實測結(jié)果，偏置距離較大時仿真結(jié)果小于實測結(jié)果，即仿真縱向摩擦力比實測值變化更快。這可能是因為偏置距離小時，實際載荷降低多，滾動阻力也應(yīng)該同樣降低，按滾動阻力不變計算的實測值較真實值小。

橫向摩擦力的實測值和仿真值對比如圖9b所示，圖中橫向摩擦力為正值，代表方向指向輪胎外側(cè)。圖中可見實測結(jié)果和仿真結(jié)果基本一致，相對誤差較小。

3.4 柔性底盤原地姿態(tài)切換輪胎摩擦力仿真

3.5 輪胎磨損

在試驗過程中發(fā)現(xiàn)，原地滾動轉(zhuǎn)向?qū)喬ビ幸欢ǖ哪p。圖11為輪胎轉(zhuǎn)向十多圈后在地面上留下的類似原地轉(zhuǎn)向的磨損痕跡，從痕跡看，隨著偏置距離的減小，磨損程度增加。偏置距離0.35 m時，即使只轉(zhuǎn)過一圈，也會在地面上留下輕微的痕跡。

4 結(jié)論

(1)偏置轉(zhuǎn)向軸原地轉(zhuǎn)向過程中輪胎的力學(xué)模型可以用基于LuGre摩擦的輪胎模型表述。

(2)柔性底盤原地姿態(tài)切換時，受到阻礙輪胎滾動的縱向摩擦力。隨著偏置距離的減小，縱向摩擦力迅速增加，其值與載荷的1.82次方成正比，與偏置距離的1.61次方成反比。

(3)柔性底盤原地姿態(tài)切換時，受到指向輪胎外側(cè)較大的橫向摩擦力。隨著偏置距離的增加，橫向摩擦力先增加、后減少，但變化較為平緩；隨著載荷增加，橫向摩擦力增加，其最大值對應(yīng)的偏置距離增加。