空間柔性閉鏈機器人動力學建模與振動仿真

張青云 趙新華, 劉 涼 戴騰達

(1.天津理工大學計算機科學與工程學院， 天津 300384；2.天津理工大學天津市先進機電系統(tǒng)設計與智能控制重點實驗室， 天津 300384)

0 引言

并聯(lián)機構因承載力強、結構剛度大、累計誤差小等特點[1-4]而廣泛應用于機器人、航天、工業(yè)制造等領域。為了減少系統(tǒng)能耗、提高效率，閉鏈機器人一般由細長連桿構成，導致系統(tǒng)構件在運行過程中柔度增加、固有頻率降低、彈性振動變大，從而影響了系統(tǒng)穩(wěn)定性及軌跡運行精度。目前，對并聯(lián)機構的振動分析主要集中在殘余振動方面，很少涉及系統(tǒng)自激振動。文獻[5]對物料裝填機器人末端的殘余振動進行了分析和抑制。文獻[6]采用應變率反饋控制方法抑制了3-RRR平面柔性并聯(lián)機器人殘余振動。文獻[7]建立了剛柔熱耦合的旋轉中心剛體-功能梯度材料梁的動力學模型。文獻[8]通過S形曲線對機器人殘余振動進行研究。文獻[9]對Delta并聯(lián)機器人殘余振動進行控制分析。文獻[10]對伸縮臂進行了抖動抑制研究。文獻[11]采用主動控制方法對平面3-RRR柔性并聯(lián)機器人的自激振動進行有效抑制。文獻[12]采用非線性PD和模糊控制算法對3-RRR平面柔性并聯(lián)機器人自激振動進行了分析。文獻[13]對平面3自由度并聯(lián)機器人的自激振動進行了控制研究。上述研究主要針對柔性臂和平面柔性機構的自激振動進行分析，鮮有涉及空間柔性閉鏈機構的自激振動。文獻[14]建立了3-RRS柔性空間并聯(lián)機器人的動力學模型，并對系統(tǒng)固有頻率進行分析，但運動支鏈中不存在空間柔性構件。文獻[15]對含柔性連桿的并聯(lián)機器人動力學方程進行數值分析。文獻[16]建立了含多個柔性連桿和柔性鉸的空間全柔性機器人動力學模型，但并未對空間柔性系統(tǒng)的振動特性進行分析。

為了實現(xiàn)低成本、高效的振動特性分析，通過仿真技術對系統(tǒng)振動效應進行研究也逐漸趨于成熟。文獻[17]對天平包裝件的隨機振動進行了振動仿真分析，并對該機構進行優(yōu)化設計。文獻[18]建立了一種5自由度噴涂機器人運動學模型，并對系統(tǒng)振動模型進行了受迫振動分析。文獻[19]通過采用ADAMS /Vibration對鋼管自動輸送機構進行了振動仿真分析。文獻[20]通過多體動力學軟件對定軸齒輪箱剛柔耦合模型的振動頻率特征進行分析。文獻[21-23]通過仿真方法驗證了并聯(lián)機器人動力學模型的正確性。文獻[24]建立了輪式車輛傳動系的自激扭轉振動仿真模型。

本文采用有限單元法對柔性構件進行離散，利用浮動坐標系法構建連桿位移場，最后通過Lagrange方程建立空間剛柔耦合閉鏈機器人的動力學模型及振動方程，并對系統(tǒng)固有頻率和振型函數進行數值求解。在同等參數條件下，利用ADAMS/Vibration模塊建立空間剛柔耦合閉鏈機器人的振動仿真模型，對其進行自激振動分析，研究系統(tǒng)固有頻率和對應模態(tài)的變化，以及不同激振力作用下的頻率響應特征。

1 動力學模型

1.1 物理模型

空間柔性閉鏈機器人結構簡圖如圖1所示，它由靜平臺、動平臺及3條三角對稱的運動支鏈AiBiCiPi(i=1、2、3)構成。其中，Ai、Bi、Ci為旋轉關節(jié)連接點，Pi為虎克鉸關節(jié)連接點。由于連桿CiPi(i=1、2、3)為細長構件，系統(tǒng)高速運行下將產生柔性變形，導致振動增強，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，對系統(tǒng)進行動力學及振動特性分析時，需將其設為柔性構件，而連桿AiBi、BiCi(i=1、2、3)和動平臺則設為剛性構件。

運動支鏈的坐標系簡圖如圖2所示。其中，全局坐標系OXYZ和局部坐標系Pxyz設在靜平臺和動平臺的幾何中心，其余連桿坐標系則設置在各連桿的上關節(jié)處。φi為支鏈坐標系AixAiyAizAi中x軸與全局坐標系X軸之間的夾角，θi1、θi2和θi3為連桿坐標系下各連桿與轉軸之間的夾角，并且連桿AiBi、BiCi繞局部坐標軸y轉動，而連桿CiPi則繞z軸轉動，因此，柔性連桿CiPi為空間構件。

1.2 空間柔性連桿運動學描述

空間柔性連桿坐標系固定在構件端點處，可簡化絕對運動描述。基于浮動坐標系，空間柔性連桿上任意點w在全局坐標系下位移矢量可表示為

rw=r0+Rξ

(1)

其中

式中r0——柔性連桿坐標系原點在全局坐標系下的位移矢量

ξ0——未變形矢量ξf——變形矢量

qf——單元節(jié)點位移向量

N——插值函數

R——柔性連桿坐標系變換到全局坐標系的變化矩陣

NA、NB、NC分別采用線性函數和三次多項式函數進行插值計算。

根據上述描述可知

R=Ri1Ri2Ri3

(2)

式中Ri3——坐標系Pxyz變換到坐標系CixCiyCizCi的變換矩陣

Ri2——坐標系CixCiyCizCi變換到坐標系BixBiyBizBi的變換矩陣

Ri1——坐標系BixBiyBizBi變換到坐標系AixAiyAizAi的變換矩陣

對式(1)求導，可得任意點在全局坐標系下的速度矢量為

(3)

式中I——單位矩陣

n——運動支鏈i中剛性構件數

同理，全局坐標系下柔性連桿的絕對轉角為

(4)

其中

式中O——零矩陣

1.3 空間柔性構件動能

空間柔性構件動能包括平動動能和轉動動能，則空間柔性構件的平動動能Tf-T可表示為

(5)

而空間柔性連桿的轉動動能Tf-R為

(6)

式中L3——柔性連桿長度

ρ——柔性構件密度

Jc——構件繞質心的轉動慣量

Mf-T、Mf-R——對應平動動能和轉動動能的質量矩陣

空間柔性連桿總動能為

(7)

式中Mf——空間柔性構件對應的質量矩陣

1.4 空間柔性構件勢能

空間柔性構件勢能由彈性勢能和重力勢能構成。其中，空間柔性連桿的彈性勢能對應的剛度矩陣可通過虛功原理推導得

(8)

其中

σ=Eεε=Dξf

式中E——彈性模量矩陣

ε——應變位移關系

D——應變-位移的偏微分算子

則空間柔性構件剛度矩陣為

(9)

空間柔性連桿對應的彈性廣義力為

Ff=Kfq

(10)

其中

式中On——n個剛體廣義坐標對應的剛度矩陣項

q——系統(tǒng)廣義坐標

空間柔性構件重力廣義力為

(11)

式中m3——柔性連桿質量

rw_z——柔性連桿質心在全局坐標系下Z軸方向坐標值

1.5 空間柔性構件動力學方程

將式(7)～(11)代入Lagrange方程，則空間柔性連桿的動力學方程可表示為

(12)

其中

Qf=QfF-Qfv

式中Qfv——速度二次項

QfF——單元所受廣義外力

由于變形矢量ξf是在局部坐標系下進行描述，將其變換到全局坐標系下表示為

ξf=Buf

(13)

式中uf——全局坐標系下的柔性廣義坐標

B——全局坐標系AixAiyAizAi變換到局部坐標系CixCiyCizCi的變換矩陣

將式(13)代入式(12)，則空間柔性連桿在全局坐標系下表示的動力學方程為

(14)

1.6 運動支鏈動力學方程

運動支鏈由空間柔性構件及剛性連桿AiBi、BiCi組成，其中，剛性連桿AiBi、BiCi動能和勢能分別為

(15)

(16)

式中m1、m2——連桿AiBi和BiCi質量

L1、L2——連桿AiBi和BiCi長度

vi1、vi2——連桿AiBi和BiCi絕對速度

J2——連桿BiCi轉動慣量

ωi2——連桿BiCi轉動慣量絕對角速度

1.7 約束關系

P′=P+JPΔP

(17)

式中 ΔP——動平臺微小位移

動平臺的動力學方程可寫為

(18)

式中mP——動平臺質量

J——動平臺轉動慣量

zP′——動平臺在全局坐標系Z方向位移

1.8 系統(tǒng)動力學方程

由式(14)～(18)可得到空間柔性閉鏈機器人動力學方程為

(19)

2 固有頻率和振型分析

由式(19)可得空間柔性閉鏈機器人自由振動方程為

(20)

根據模態(tài)分析理論[26]可得系統(tǒng)固有頻率和模態(tài)振型表達式為

|-λM+K|=0

(21)

當質量矩陣M為非奇異矩陣時，令C=M-1K，則式(21)可改寫為

(22)

式中ωm——系統(tǒng)固有角頻率

fm——系統(tǒng)固有頻率

空間柔性閉鏈機器人系統(tǒng)參數如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數Tab.1 System parameters

系統(tǒng)動平臺幾何中心的運動軌跡為

(23)

其中，t=5 s，靜平臺半徑r=0.4 m，角速度ω=2 rad/s。

通過Matlab軟件編寫程序進行仿真可得空間柔性閉鏈機器人固有頻率隨時間變化的關系如圖3所示，以及動平臺在全局坐標系下隨時間變化的運動軌跡如圖4所示。

由圖4可知，在空間柔性構件的作用下，理論模型的動平臺在X方向和Y方向最大浮動值分別為0.008 9 m和0.004 7 m，而Z方向位移在-0.701 2～-0.699 8 m之間波動。

3 振動仿真

基于圖1，利用ADAMS軟件建立空間柔性閉鏈機器人的仿真模型。再通過ADAMS/Vibration模塊對系統(tǒng)進行約束模態(tài)分析。由于系統(tǒng)中的空間柔性桿為均質、圓形截面構件，結構簡單，故直接通過Flexible Bodies模塊進行柔化處理，產生1 014個節(jié)點，2 136個單元。

3.1 自由模態(tài)分析

通過振動仿真分析，空間柔性閉鏈機器人在自由狀態(tài)時的前12階固有頻率如表2所示。

表2 振動仿真模型前12階固有頻率Tab.2 The first 12 natural frequencies of vibration simulation model

由表2可知，ADAMS模型中的前6階固有頻率都為0，即系統(tǒng)對應的剛體模態(tài)，它由3個移動模態(tài)和3個轉動模態(tài)構成。因此，系統(tǒng)最小固有頻率出現(xiàn)在第7階，對應固有頻率為2.2×10-5Hz。而理論模型通過式(22)計算后，對應系統(tǒng)最小固有頻率為4.02×10-5Hz。由于振動仿真系統(tǒng)由多個剛柔構件組成，并且空間柔性構件的單元數多，柔度大，所以仿真模型的最小固有頻率小于理論模型，但兩者數值基本一致，驗證了振動仿真模型建立的正確性。因此，可通過該振動仿真模型對其系統(tǒng)振動特性進行精確仿真分析。

3.2 約束模態(tài)分析

為了分析空間柔性閉鏈機器人實際工作狀態(tài)下的振動特性，將空間柔性閉鏈機器人的載荷以質量的形式進行描述(表1)。由于空間柔性構件的變形受到與之相連的剛性構件的影響，因此，將該空間柔性構件邊界條件設為兩端鉸支，而系統(tǒng)其他構件的約束關系則通過Connector模塊進行設置，如表3所示。

表3 機構約束關系Tab.3 Constraint relationship

通過對空間柔性閉鏈機器人進行約束模態(tài)分析可知，系統(tǒng)3～12階固有頻率如表4所示。

表4 約束模態(tài)系統(tǒng)頻率Tab.4 System natural frequency in constrained mode

由表4可知，空間柔性閉鏈機器人約束模態(tài)下的固有頻率遠大于自由模態(tài)下的固有頻率，說明系統(tǒng)在約束狀態(tài)下的系統(tǒng)動力學特性更好也更符合實際工況。因此，通過對系統(tǒng)進行約束模態(tài)分析具有實用價值。

而在系統(tǒng)約束狀態(tài)下，對空間柔性閉鏈機器人進行動力學仿真可得動平臺隨時間變化的運動規(guī)律如圖5所示。

由圖5可知，系統(tǒng)動平臺在X和Y方向的位移為-0.103 6～0.100 9 m和-0.102 5～0.100 6 m，Z方向的位移運動范圍為-0.700 8～-0.699 3 m。通過與理論模型動平臺運動軌跡對比可知，兩類模型在同等參數條件下的運動軌跡基本一致，驗證了理論模型和分析模型建立的正確性。

3.3 自激振動仿真

空間柔性閉鏈機器人系統(tǒng)高度非線性，系統(tǒng)運行過程中不僅存在空間柔性構件彈性變形引起的振動。同時，空間柔性構件的彈性變形也將引起動平臺的微小位移，產生軌跡偏差。此時，為了補償軌跡偏差，通過系統(tǒng)內部振源進行自身調節(jié)而激勵的振動則為自激振動。

通過對約束狀態(tài)下的空間柔性閉鏈機器人進行自激振動仿真分析可知，系統(tǒng)共有31階模態(tài)，由圖6可知模態(tài)最大值為25 Hz。

空間柔性閉鏈機器人主要頻率及振型如圖7所示。

系統(tǒng)特征值與固有頻率如表5所示。

表5 系統(tǒng)特征值與固有頻率Tab.5 System natural frequency and characteristic value

為了分析不同激振力對系統(tǒng)振動頻率的影響，需要定義系統(tǒng)輸入通道和輸出通道。其中，輸入通道用于設置激勵值及其作用位置，輸出通道則是對系統(tǒng)的響應頻率進行檢測。為了對比不同激勵對系統(tǒng)振動特性的影響，設置3個不同位置的輸入通道，3個輸出通道，位置如表6所示。

表6 輸入和輸出通道參數Tab.6 Input and output channel parameters

系統(tǒng)輸入通道采用簡諧激勵F(t)=f0sin(ωt)，則對應不同f0的系統(tǒng)幅頻響應曲線如圖8所示。

由圖8可得，3個激勵中，f0=1 000 Hz對應的幅頻響應最大，f0=100 Hz次之，而f0=10 Hz的幅頻響應最小。當激勵作用于空間柔性構件質心xCi方向時，動平臺Y方向響應最強，Z方向次之，而X方向最小。當激振力頻率在20～60 Hz時，系統(tǒng)幅頻響應曲線出現(xiàn)明顯躍升和下降，振動效應明顯。

當3個不同激勵作用于空間柔性構件質心yCi方向時，如圖9所示，隨著激振力幅值的增加，動平臺質心處X、Y、Z方向幅頻影響特性也隨之增強。其中，最大幅頻響應為f0=1 000 Hz時動平臺質心處Y方向響應，最小幅頻響應值為f0=10 Hz時動平臺質心X方向響應。

由圖10可知，幅頻響應最大值出現(xiàn)在圖10b中，而圖10a次之，圖10c最小。并且激振力幅值越大，幅頻響應也越強。

由于低頻模態(tài)對系統(tǒng)的影響較大，故通過1～100 Hz頻段的模態(tài)坐標圖來分析系統(tǒng)自激振動特性。其中，對應同一激勵作用的系統(tǒng)各階模態(tài)參與因子曲線圖如圖11所示。

通過自激振動仿真可知，系統(tǒng)第11、12階模態(tài)對應系統(tǒng)最大變形，對應激振頻率在40～60 Hz之間，并且隨著激振頻率的逐步增加，系統(tǒng)幅頻響應值開始下降，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。因此，為了能有效抑制系統(tǒng)柔性變形導致的振動問題，應盡量避免外部激勵頻率為40～60 Hz。

4 結論

(1)建立了考慮空間柔性構件變形的剛柔耦合閉鏈機器人動力學模型，分析可知，系統(tǒng)空間柔性構件的彈性變形對系統(tǒng)動平臺的軌跡精度和振動效應具有重要影響，符合實際工況，可為空間柔性閉鏈機器人的控制設計提供理論支持。

(2)振動仿真模型和理論模型的固有頻率基本一致，驗證了振動仿真模型的正確性。因此，可以利用仿真模型對空間柔性閉鏈機器人進行振動特性分析。

(3)通過自激振動分析得到動平臺質心在3個坐標軸方向的幅頻響應曲線，結果表明：激振力幅值越大，系統(tǒng)幅頻響應越強。其中，Y方向響應最大，X方向次之，Z方向最小。

(4)由各階模態(tài)參與因子曲線圖可知，系統(tǒng)第11、12階模態(tài)對應的系統(tǒng)變形最大，對應的激振頻率為40～60 Hz。因此，為了有效抑制系統(tǒng)柔性變形而導致的振動問題，應使系統(tǒng)外部激勵頻率遠離該頻率范圍。