四自由度混聯天線機構靜力學及運動特性仿真與設計

張國興 郭金偉 侯雨雷 曾達幸

(1.燕山大學機械工程學院, 秦皇島 066004； 2.東莞理工學院機械工程學院， 東莞 523000)

0 引言

天線是航天探測、導航預警和軍事偵查等領域中數據信息交互的重要設備[1]。并聯天線機構因能夠帶動反射面實現連續轉動而在天線領域得到關注[2]。國內外研究人員已將Stewart并聯機構應用于大型天線系統調姿領域[3-6]。少自由度并聯機構能夠滿足運動需求，且制造成本低，在天線領域具有應用潛力[7]。文獻[8-9]對車載并聯天線機構進行了動力學仿真。文獻[10]對四自由度混聯式天線機構進行了力學仿真分析。文獻[11]設計了一種高收攏率四面體折展機械臂，進行了運動學和模態分析，并研制了樣機。文獻[12]基于四面體單元設計了桁架式可展開天線機構。文獻[13-14]基于模塊化思想設計了多種桁架式天線機構，并進行了性能分析和對比。文獻[15-16]提出了一種雙層環形天線機構，并進行了機構運動學和動力學分析。

在機構學領域，研究人員進行了諸多研究。趙永生等[17]提出了適用于過約束并聯機構的受力分析方法。沈惠平等[18]研究了低耦合度部分解耦的3T1R并聯機構，分析了機構的工作空間。暢博彥等[19]對具有整周回轉能力的3T1R機構進行了運動學分析，得到機構工作空間。葉偉等[20]對一種2R2T并聯機構進行了運動學分析，得到機構工作空間和性能圖譜。SUN等[21]分析了一種5-DOF摩擦攪拌焊混聯機構的剛度性能。LI等[22]基于幾何代數方法對過約束并聯機構的剛度建模問題進行了研究。CAO等[23]在考慮各桿件重力和外力的情況下，對過約束并聯機構進行研究。GUO等[24]提出一種適用于航空零件加工的新型5-DOF并聯機構。YANG等[25]通過增加變形協調方程，研究了兩種過約束并聯機構的剛度模型。

隨著天線反射面口徑的逐漸增大，確保天線高精度可靠運行愈發重要。目前，天線機構多采用串聯式或并聯式機構，應用于天線領域的混聯天線機構研究并不多，設計承載力強和運動性能優越的混聯天線機構具有重要實用價值。本文以四自由度混聯天線機構為研究對象，在承載性能方面，進行混聯天線機構的靜力學分析和天線機構有限元和振動特性仿真；在運動性能方面，通過運動姿態仿真得到機構運動包絡圖；最后，基于設計的關鍵零部件模型設計天線機構樣機。

1 構型描述

如圖1所示，四自由度混聯天線機構包括天線反射面C、極化轉動機構T和3-R(RRR)R并聯機構。該四自由度混聯機構中3-R(RRR)R并聯部分的動平臺和定平臺均為等邊三角形；支鏈部分包含3個軸線相交的轉動副以及與定/動平臺連接的2個轉動副。極化轉動機構采用電機驅動齒輪和轉盤軸承實現反射面繞自身軸線轉動。在定/動平臺外接圓圓心分別建立參考坐標系OOxOyOz和動坐標系CCxCyCz，在反射面的相位中心點建立末端坐標系TTxTyTz，參考坐標系Ox軸方向與OP1一致，Oz軸垂直于定平臺且向上為正；動坐標系Cx軸方向與CQ1一致，Cz軸垂直于動平臺且向上為正；Tz軸與動坐標系Cz軸重合，Tx軸初始方向與動坐標系Cx軸相同。在混聯天線機構各個關節轉動副建立關節局部坐標系，其中各個關節局部坐標系的z軸均沿轉動副軸線方向。

由圖1可知，3-R(RRR)R并聯機構部分具有兩轉一移3個自由度，2個轉動自由度能夠實現天線反射面的方位和俯仰運動，1個移動自由度能夠實現天線反射面的豎直方向收攏運動。天線反射面與動平臺之間設有單自由度轉動副，稱為極化轉動機構，其作用是帶動天線反射面繞自身軸線轉動。因此，混聯天線機構能夠實現方位、俯仰、收攏運動和極化轉動。

2 力學分析

(1)

選取與定平臺連接的轉動副Pi(i=1,2,3)和極化機構轉動副Q4作為驅動，如圖1所示關節局部坐標系z軸均為驅動所在軸線。因此，各個驅動的單位驅動力旋量可以表示為

(2)

首先建立混聯天線機構反射面靜力學平衡方程。反射面與混聯天線機構動平臺通過極化轉動裝置連接。天線反射面受力情況如圖2所示。

如圖2所示，天線反射面受到極化轉動機構提供的3個約束力F4x、F4y、F4z和2個約束力偶M4x、M4y，極化轉動機構驅動裝置提供一個沿z軸方向的驅動力矩，同時天線反射面受到重力作用。根據力旋量變換關系，將天線反射面關節局部坐標系下表示的約束旋量系矩陣轉換為參考坐標下表示的約束旋量系矩陣。同理可將天線反射面關節局部坐標系下表示的驅動力旋量系矩陣轉換為參考坐標下表示的驅動力旋量系矩陣，可得

(3)

O4——轉動副Q4局部坐標系位置向量的反對稱矩陣

將作用于天線反射面的單位約束力矩陣和驅動力矩陣遷移到基坐標系，表示為

(4)

O——動坐標系位置向量反對稱矩陣

在參考坐標系下，可將天線反射面受到的約束力旋量、驅動力旋量和重力旋量進行線性疊加，得到

(5)

式中IF——天線反射面空間慣量

g——重力加速度旋量

O——零向量

混聯天線機構動平臺與3條支鏈和天線反射面均通過轉動副連接。動平臺受力情況如圖3所示。

如圖3所示，根據牛頓第三定律，在極化轉動機構與天線反射面連接處受到天線反射面提供的3個約束反力F′4x、F′4y、F′4z和2個約束反力偶M′4x、M′4y，同時受到極化轉動機構驅動器提供的一個反力偶M′4。在極化轉動機構與3個分支連接處分別受到各個分支提供的3個約束力FQix、FQiy、FQiz和2個約束力偶MQix、MQiy。同時極化轉動機構還受到自身重力作用。

根據力旋量變換關系，將作用于極化轉動機構的關節局部坐標系下表示的單位關節約束旋量系矩陣轉換為參考坐標下表示的單位關節約束旋量系矩陣，得到

(6)

Oi——轉動副Qmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣

將作用于極化轉動機構的3個分支的單位約束力矩陣遷移到基坐標系下，表示為

(7)

式中Oi——極化轉動機構位置向量的反對稱矩陣

在參考坐標系下，可將極化轉動機構受到3個分支的約束力、極化轉動機構驅動反力、天線反射面約束反力和極化轉動機構自身重力進行線性疊加，得到

(8)

式中IC——動平臺空間慣量

《一個熱愛藝術的修士的內心傾訴（Herzensergie?ungen eineskunstliebenden Klosterbruders）》在這本書剛剛出版的那個年代是一個令人感到陌生甚至怪癖的標題。修道院(Kloster)和內心傾訴(Herzensergie?ungen)兩個詞語帶有明顯的宗教色彩。事實上，瓦肯羅德的確將藝術提升到了與宗教并列的高度，在他看來，世上有兩種最崇高的語言——自然和藝術。自然是上帝的語言，而藝術則是受上帝青睞的人的語言。音樂和造型藝術都是以有限的形式來表達無限的方式。

混聯天線機構包括3個分支，每個分支包括4個桿件，每個桿件之間均通過轉動副連接，每個桿件的受力情況如圖4所示。

如圖4所示，桿件KiQi兩端分別受到3組約束反力FKix和F′Qix、FKiy和F′Qiy、FKiz和F′Qiz以及2個約束反力偶MKix和M′Qix、MKiy和M′Qiy；桿件GiKi兩端分別受到3組約束反力FGix和F′Kix、FGiy和F′Kiy、FGiz和F′Kiz以及兩組約束反力偶MGix和M′Kix、MGiy和M′Kiy；桿件JiGi兩端分別受到3組約束反力FJix和F′Gix、FJiy和F′Giy、FJiz和F′Giz以及2組約束反力偶MJix和M′Gix、MJiy和M′Giy；桿件PiJi兩端分別受到3組約束反力FPix和F′Jix、FPiy和F′Jiy、FPiz和F′Jiz以及2組約束反力偶MPix和M′Jix、MPiy和M′Jiy。桿件KiQi、GiKi、JiGi和PiJi還受到桿件自身重力Gij(j=1,2,3,4)的作用，在桿件PiJi的Pi端受到驅動器提供的驅動力矩Mmi。

根據力旋量變換關系，將作用于3個分支的關節局部坐標系下表示的關節約束旋量系矩陣轉變為參考坐標下表示的關節約束旋量系矩陣，得到

(9)

Oi——轉動副Kmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣轉動副Gmi局部坐標系的旋轉矩陣

Oi——轉動副Gmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣轉動副Jmi局部坐標系的旋轉矩陣

Oi——轉動副Jmi局部坐標系位置向量的反對稱矩陣轉動副Pmi局部坐標系的旋轉矩陣

同理，將作用于桿件PiJi的關節局部坐標系下表示的驅動力旋量矩陣轉換為參考坐標下表示的驅動力旋量系矩陣，得到

(10)

將作用于3個分支的單位約束力矩陣遷移到基坐標系下，表示為

(11)

將作用于桿件PiJi的單位驅動力矩陣遷移到基坐標系下，表示為

MG_PiJi=E6×6OMG_PiJi(i=1,2,3)

(12)

在參考坐標系下，可將桿件KiQi、GiKi、JiGi和PiJi受到的約束力和約束力偶，桿件自身重力和驅動器的驅動力矩進行線性疊加，得到

(13)

式中IKiQi——桿件KiQi的空間慣量

IGiKi——桿件GiKi的空間慣量

IJiGi——桿件JiGi的空間慣量

IPiJi——桿件PiJi的空間慣量

如圖5所示，混聯天線機構定平臺受到分支PiJi提供的3個約束反力F′Pix、F′Piy、F′Piz和2個約束反力偶M′Pix、M′Piy以及自身重力的作用，還受到連接點Pi處驅動器提供的驅動反力矩。

在參考坐標系下，可將定平臺受到3個分支的約束反力F′Pix、F′Piy、F′Piz和約束反力偶M′Pix、M′Piy，驅動反力偶M′mi以及定平臺自身重力進行線性疊加，得到

(14)

聯立混聯天線機構各個部件的力平衡方程，混聯天線機構全部桿件的力平衡方程可以表示為

Cη+I=O

(15)

式中I——混聯天線機構全部桿件的廣義空間慣性矩陣

η——混聯天線機構的驅動力矩陣

根據式(15)可以得到各個關節約束力和驅動器提供的驅動力矩陣為

η=-C-1I

(16)

其中

式中τj——各關節的約束力矩陣

τm——各個驅動器的驅動力矩陣

通過求得τj和τm即可獲得混聯天線機構各個部件受到的約束力和驅動關節處的驅動力。

根據天線機構任務需求將工作空間設定為：俯仰角為0°～90°；方位角運動范圍為0°～360°。得到天線機構驅動關節力矩隨位形分布情況如圖6所示。

圖6給出了理想條件下天線機構驅動各關節力矩隨俯仰和方位角變化情況，各關節力矩最大值為323.86 N·m，驅動力矩的求解結果為伺服電機選型和機構樣機研制提供參考。

表1給出了混聯天線機構方位角為0°，俯仰角分別為45°和90°兩組位姿各驅動關節力矩理論值、仿真值及相對誤差，其中理論值為圖6中對應位姿的數值計算結果，仿真值為有限元軟件仿真結果。

表1 兩組位姿下驅動關節力矩的對比Tab.1 Comparison of static analysis results

由表1可知，靜力學理論求解結果與仿真分析結果之間的相對誤差不大于1.330%，驗證了靜力學分析結果的正確性。

3 仿真分析

3.1 靜力學仿真

將三維模型導入ANSYS/Workbench，設定模型材料彈性模量為6.96 Pa，泊松比為0.31，屈服強度為6.85×108Pa，重力加速度設為9.8 m/s2。天線機構俯仰角為45°、90°時有限元分析結果如圖7所示。

由圖7可知，當天線俯仰角為45°、90°時，天線最大變形分別為0.574 04、0.673 95 mm，最大變形均發生在反射面邊沿，最大變形約占運動半徑的0.11%和0.13%，俯仰角為45°、90°時混聯天線機構滿足設計要求。

3.2 振動分析

借助有限元分析軟件得到天線機構俯仰角為45°和90°的前6階固有頻率，如表2所示。俯仰角為45°的天線機構振型云圖如圖8所示。

表2 機構前6階模態固有頻率

由表2可知，天線機構前6階固有頻率分布在11.439～65.538 Hz，隨著俯仰角的增加，前5階固有頻率均減小。由前6階振型可以看出，天線機構分支連桿變形較大，容易產生較大交變應力，導致疲勞裂紋和斷裂現象，連桿部位是混聯天線機構的相對薄弱環節，可通過增加連桿半徑等方式提升連桿剛度。設計環節需要使激勵頻率盡量遠離系統固有頻率，以避免發生共振現象。

3.3 包絡空間分析

天線衛星追蹤運動過程中應避免與周圍物體發生干涉，故需評估整個天線機構的運動范圍，即運動包絡空間。參考天線機構工作任務需求，設定混聯天線機構俯仰運動時：方位角為0°，俯仰角0°～90°；方位運動時：方位角為0°～360°，俯仰角45°。采用Matlab軟件對機構進行運動特性仿真，圖9～11分別為混聯天線機構運動線框圖、俯仰運動包絡空間和方位運動包絡空間。

圖9為混聯天線機構初始位姿、俯仰90°運動狀態和方位360°運動狀態。運動特性仿真結果表明該混聯天線機構滿足天線軌跡跟蹤的性能要求。

圖10、11分別給出了混聯天線機構俯仰運動和方位運動的運動包絡空間三維視圖、俯視圖和左視圖。由圖10、11得到混聯天線機構整機運動范圍如表3所示。

由表3可知，混聯天線機構俯仰和方位運動過程中，x軸方向運動范圍為-1 045～1 045 mm，y軸方向運動范圍為-1 045～1 045 mm，z軸方向運動范圍為-508～1 445 mm。通過對混聯天線機構運動包絡空間分析，獲得機構俯仰和方位運動范圍，為天線機構安裝和運行保障提供參考。

表3 天線機構包絡空間范圍Tab.3 Envelope space range of antenna mechanism

4 樣機設計

根據1.8 m口徑天線座架結構和運動設計需求，開展混聯天線機構三維模型繪制和物理樣機設計。混聯天線機構各條支鏈需要帶動天線運動，同時對極化轉動機構及天線反射面起支撐作用。圖12給出了混聯天線機構傳動支鏈結構圖。極化轉動機構作用是帶動天線反射面繞自身軸線轉動，圖13給出了極化轉動機構結構圖。

圖12為上/下支鏈包含上/下支鏈1和上/下支鏈2，通過轉動軸承組成轉動副。如圖13所示，極化轉動機構包含驅動電機、轉盤軸承和小齒輪，驅動電機帶動小齒輪帶動轉盤軸承轉動，進而驅動反射面實現繞法向軸線的極化轉動。基于混聯天線機構樣機靜力學及仿真和關鍵部件設計，開展機構部件的選型、加工和裝配。1.8 m口徑混聯天線機構1∶1等比例物理樣機如圖14所示。

5 結論

(1)以3-R(RRR)R并聯機構為基礎構建3-R(RRR)R+R四自由度混聯天線機構，該混聯天線機構能夠適應反射面俯仰運動、方位運動以及天線反射面繞軸線轉動的需求。混聯天線機構滿足天線運動功能要求。

(2)基于螺旋理論對混聯天線機構進行靜力學分析，獲得了俯仰角范圍為0°～90°、方位角范圍為0°～360°時的驅動關節力矩值，運用有限元軟件得到了機構俯仰角為45°和90°時的整體變形，獲得俯仰角為45°和90°時機構的固有頻率。

(3)進行了混聯天線機構的運動仿真，獲得了俯仰角范圍為0°～90°和方位角范圍為0°～360°的運動包絡空間圖。對混聯天線機構關鍵零部件進行結構設計，設計了四自由度混聯天線機構物理樣機。