國民經濟和社會發展的微分形式思考
——以黨的十九屆五中全會《建議》為導向

陳 勇 勤

(中國人民大學 經濟學院，北京 100872)

2020年10月29日，黨的十九屆五中全會通過了《中共中央關于制定國民經濟和社會發展第十四個五年規劃和二〇三五年遠景目標的建議》(以下簡稱《建議》)。筆者對國民經濟和社會發展的微分形式思考，主要是圍繞著《建議》中的如下有關內容。1.創新驅動發展。堅持創新在我國現代化建設全局中的核心地位，把科技自立自強作為國家發展的戰略支撐；科教興國。2.建設高質量教育體系。提高高等教育質量；支持發展高水平研究型大學，加強基礎研究人才培養；加大人力資本投入；加強創新型、應用型、技能型人才培養；加快培養理工農醫類專業緊缺人才；增強職業技術教育適應性，大力培養技術技能人才；健全終身職業技能培訓制度；完善終身學習體系，建設學習型社會；建成教育強國、人才強國、體育強國。3.強化就業優先政策。千方百計穩定和擴大就業，堅持經濟發展就業導向，擴大就業容量，提升就業質量，促進充分就業。更加注重緩解結構性就業矛盾，統籌城鄉就業政策體系。4.加快發展現代產業體系。堅持把發展經濟著力點放在實體經濟上，建設制造強國、質量強國、網絡強國。5.實現小農戶和現代農業有機銜接。加快培育農民合作社、家庭農場等新型農業經營主體。6.構建高水平社會主義市場經濟體制。充分發揮市場在資源配置中的決定性作用，更好發揮政府作用。7.增強消費對經濟發展的基礎性作用。8.改善人民生活品質。把保障人民健康放在優先發展的戰略位置；發展慈善事業。9.堅持共同富裕方向。居民收入增長和經濟增長基本同步。10.繁榮發展文化事業和文化產業，提高國家文化軟實力。[1]

一、國民經濟的各要素之間相互聯系

國民經濟的各要素之間是相互聯系的，其中主要涉及科技、教育、就業、制造業、農業、服務業、人民生活、收入分配、消費、文化、財政。

(一)科技、教育、就業

“創新是引領發展的第一動力，是建設現代化經濟體系的戰略支撐。”[2]31環顧世界，新一輪科技革命和產業變革深入發展?；赝袊?，2020年是創新型國家階段性目標實現之年。當今世界正經歷百年未有之大變局，應對歷史機遇，要“倡導創新文化”[2]31。

在不斷創新的基礎上，科技水平不斷提升。科技水平是衡量科技強國的基本標準，科技強國是制造強國、質量強國、網絡強國的先決條件。制定科技強國行動綱要，加快建設科技強國。

教育水平在一定程度上可以決定科技水平，可以決定就業人的素質，可以決定產業發展水平。教育水平—科技水平—產品質量，教育水平—人的素質—社會文明。教育強國是科技強國、人才強國的先決條件，也是科技強軍、人才強軍的先決條件?！氨仨毎呀逃聵I放在優先位置”，“優先發展教育事業”“建設教育強國是中華民族偉大復興的基礎工程”[2]45。

加快提升勞動者技能素質。提高農民科技文化素質，推動鄉村人才振興。提升全民受教育程度，提高科學文化素質；提升全民數字技能。我們已經看到，我國的高等教育已進入普及化階段。

就業是民生之本、穩定之基，就業是最大的民生。作為宏觀調控的主要目標，促進就業與治理失業一直是政府最為關心并重點解決的經濟社會問題之一。黨中央、國務院始終把就業保障工作擺在經濟社會發展的突出位置。就業形勢穩定是我國經濟發展的一貫特征，是中國經濟韌性最直觀的反映。

農業轉移人口市民化，直接對應的是城鎮就業。社會在一定時期內的就業崗位，需要創造，需要統籌設計。千方百計穩定和擴大就業，堅持經濟發展就業導向，擴大就業容量，提升就業質量，促進充分就業。

(二)制造業、農業、服務業

加快發展現代產業體系，推進產業基礎高級化、產業鏈現代化。加大重要產品和關鍵核心技術攻關力度；深入開展質量提升行動；推動先進制造業集群發展；發展服務型制造。強化企業創新主體地位，提升企業技術創新能力，發揮企業家在技術創新中的重要作用，支持創新型中小微企業成長為創新重要發源地。

提高農業質量效益。強化農業科技和裝備支撐，建設智慧農業；推進優質糧食工程；實施鄉村建設行動；以保障國家糧食安全為底線。

服務業一個主要部分是流通，而流通又涉及市場經濟。1979年3月8日，陳云在《計劃與市場問題》提綱中開始思考和探索計劃經濟和市場調節的關系問題。1979年11月26日，鄧小平開始提出社會主義也可以搞市場經濟的問題。鄧小平指出：“計劃和市場都是方法”“只要對發展生產力有好處，就可以利用。它為社會主義服務，就是社會主義的”[3]203。鄧小平強調：計劃經濟和市場經濟“兩者都是手段，市場也可以為社會主義服務”[3]367。

依托強大國內市場，貫通生產、分配、流通、消費各環節，形成國民經濟良性循環。提升供給體系對國內需求的適配性，實現上下游、產供銷有效銜接，促進農業、制造業、服務業、能源資源等產業門類關系協調。健全現代流通體系，發展無接觸交易服務，降低企業流通成本，降低全社會交易成本。完善擴大內需的政策支撐體系，形成需求牽引供給、供給創造需求的更高水平動態平衡。

堅持擴大內需，加快培育完整內需體系，形成強大國內市場，以創新驅動、高質量供給引領和創造新需求。提升金融科技水平；推動現代服務業同先進制造業、現代農業深度融合。

立足國內大循環，以國內大循環吸引全球資源要素，充分利用國內國際兩個市場、兩種資源，積極促進內需和外需、進口和出口、引進外資和對外投資協調發展，促進國際收支基本平衡。暢通國內大循環，促進國內國際雙循環，建設貿易強國。

(三)人民生活、收入分配、消費

經濟建設和人民生活必須平衡，兩者適合，就能保持經濟穩定。這是20世紀90年代陳云反復強調的一點。在經濟學理論上，這是就業、生產、消費的三角關系。1.就業—生產，勞動力是生產要素之一。2.生產—消費，產品實現才有需求實現，交換實現才有利潤實現。這是“消費對經濟發展的基礎性作用”的關鍵所在。3.就業—消費，就業實現才有收入實現，一定的收入對應一定的消費。“增進民生福祉是發展的根本目的?！盵2]23

鄧小平說,“在改革中，我們始終堅持兩條根本原則，一是以社會主義公有制經濟為主體，一是共同富裕”[3]142；“一個公有制占主體，一個共同富裕，這是我們所必須堅持的社會主義的根本原則”[3]111。

習近平總書記向全國人民宣告我們黨的承諾：“讓改革發展成果更多更公平惠及全體人民，朝著實現全體人民共同富裕不斷邁進?！盵2]45提高人民收入水平，改善收入和財富分配格局，提高勞動報酬在初次分配中的比重，完善工資制度，健全工資合理增長機制。完善再分配機制，加大稅收、社保、轉移支付等調節力度和精準性。發揮第三次分配作用，扎實推動共同富裕?！叭w人民共同富裕邁出堅實步伐”；“到本世紀中葉……全體人民共同富?；緦崿F”[2]28。

全面促進消費。提升傳統消費，培育新型消費，適當增加公共消費。鼓勵消費新模式新業態發展，促進線上線下消費融合發展，開拓城鄉消費市場。發展服務消費，擴大節假日消費，改善消費環境。

(四)文化

提高社會文明程度，推進公民道德建設，實施文明創建工程，是建設文化強國的先決條件。在“發展素質教育”[2]45的同時，文化產業的社會效益體現在：營造崇尚創新的社會氛圍，弘揚科學精神和工匠精神，宣傳教育勞動創造幸福，尊重勞動、尊重知識、尊重人才、尊重創造，提倡艱苦奮斗、勤儉節約，開展糧食節約行動，弘揚誠信文化，傳承弘揚中華優秀傳統文化，集中體現當代中國精神和全體人民共同的價值追求，“提高人民思想覺悟、道德水準、文明素養”[2]42?！叭嗣裼行叛觯瑖矣辛α?，民族有希望”；“深入挖掘中華優秀傳統文化蘊含的思想觀念、人文精神、道德規范，結合時代要求繼承創新，讓中華文化展現出永久魅力和時代風采”[2]42。

堅定文化自信，推進社會主義文化強國建設?！拔幕且粋€國家、一個民族的靈魂。文化興國運興，文化強民族強。”[2]40-41由高度的文化自信到文化的繁榮昌盛，再到中華民族的偉大復興。

(五)財政

完善現代稅收制度，優化稅制結構。推進財政支出標準化，以財政政策和貨幣政策為主要手段，就業、產業、投資、消費、環保、區域等政策緊密配合。這反映出財政在宏觀經濟中的主導作用是“促進經濟總量平衡”。關鍵在于“以財政政策和貨幣政策為主要手段的宏觀調控體系”，“宏觀調控的主要任務是保持經濟總量平衡”[4]16?！柏斦菄抑卫淼幕A和重要支柱，科學的財稅體制是優化資源配置、維護市場統一、促進社會公平、實現國家長治久安的制度保障。”[4]19

以上各項，按一定的標準可分別歸入相關的統計范疇，由此又可以從國家年度統計公報中得到具體數據。例如，國家統計局公布的2015年度有關數據：科技成果登記數55284項，應用技術成果48363項。普通高等學校2560所，普通本科在校生數1576.7萬人，普通本科畢業生數358.6萬人，研究生在校生數1911406人，研究生畢業生數551522人。就業總人數77451萬人，城鎮登記失業人數966萬人。城鎮單位就業人員工資總額112007.8億元。居民人均可支配收入21966.2元，居民人均消費支出15712.4元。規模以上工業企業單位數37.4萬個，資產總計999741億元，利潤總額63554億元。農林牧漁業總產值107056.4億元。社會消費品零售總額300930.8億元。國民總收入673837.1億元，國內生產總值676707.8億元，第一產業60863億元，第二產業274277.8億元，第三產業341566.9億元(1)三次產業分類依據國家統計局2012年制定的《三次產業劃分規定》。。公共財政收入152216.7億元，公共財政支出175767.8億元。[5]

二、計量建模與經濟理論

五年規劃是根據黨中央建議制定、經全國人民代表大會批準、向全社會公布實施、把黨的主張轉化為國家意志和全民行動的綱領性文件。與此相關，聯系動態模型，首先明確：可變的中國發展模式，不變的頂層設計(經濟社會發展必須遵循的原則——堅持黨的全面領導)。新時代的中國，面對兩大任務，即創新主導現代化建設，雙循環主導新發展格局；面對兩個大局，即中華民族偉大復興的戰略全局，世界百年未有之大變局。中國發展模式從來不是一個常量結構，而是一個變量結構。這是“變”，“以變應變”。頂層設計與基層操作，實際上就是思維探索與實踐探索。這是“不變”，“以不變應萬變”。所處環境決定了“變”與“不變”(2)“以變應變”，“以不變應萬變”，這正是中國傳統哲學思想和傳統決策思想的一個精華，代表了“中華文化展現出永久魅力和時代風采”。對于“變”與“不變”，我們必須弄清楚，在一個已知的歷史背景下，什么需要“變”，什么應該“不變”。。

動態經濟計量模型以時序數據為分析的對象，其研究的重心是如何發現可測經濟變量間既帶規律又有意義的關系。這不僅涉及計量建模，而且涉及經濟理論，因為需要從理論與數據的連接中建立起與現實密切相關的計量模型。由此說來，模型至少要反映經濟行為，驗證有關經濟理論。

經濟行為與“矛盾無處不在，理性的個人追逐自身利益的強大沖動力，既是經濟衰退的主要原因，也是經濟增長和繁榮的主要源泉”這一現實密切相關。當然，這與限制人類行為的制度結構(指正式和非正式的規則)也有一定的聯系。新古典經濟學強調三個基本要素：穩定性偏好，理性選擇模型，均衡分析方法。這三個基本要素事實上就是對經濟行為主體行為特征的概括。新古典經濟學一般化必須要有范疇及范疇關系的發展，一旦研究的對象不再是資源配置，會質變為類似于新制度經濟學。然而，新制度經濟學的首要組成部分——產權和交易費用理論至今仍有重要疑點或誤區。我們原本應當弄清楚，宏觀的相互關系這一大背景下，存在著微觀的相互關系。既需要研究宏觀經濟的微觀基礎，也需要研究微觀經濟的宏觀環境。問題在于，宏觀環境的自然法則始終沒有被真正揭示出來。

鑒于相悖理論對同一現實會有不同解釋力，那么當我們面對評判比較和作出選擇時，就需要有一個體現一定的客觀有效性的標準。對此，可視化方法具有獨特的魅力，它強調問題的幾何本質，強調從事物的幾何與物理側面來直觀地理解事物。

什么是幾何學？Klein在他的《Erlangen綱領》里作了回答：幾何學所研究的就是幾何圖形在某類運動所成的群下面的不變性質。譬如，復數的出現深刻地適合了描述空間本性的需要，二維歐式平面的運動可用復數來描述，平面向量就是復數。Atiyah于2000年在南開大學的報告中也特別指出：視覺占用了大腦皮層的80%或90%。因此spatial intuition或者spatial perception是一種非常強有力的工具，也是幾何學在數學上占有如此重要位置的原因，它不僅對那些明顯具有幾何性質的事物可以使用，而且對那些沒有明顯幾何性質的事物也可以使用；我們努力將它們歸結為幾何形式，因為這樣可以讓我們使用我們的直覺；我們的直覺是我們最有力的武器。

拓撲學與復變函數有深刻的內在聯系。譬如，把積分回路看成某個同調類的元，被積式(一個微分形式)則看成上同調類的元，積分則是二者的對偶。再如，復變量的解析函數，作為從一個二維空間(z平面)到另一個二維空間(w平面)的映射，只不過是很大一類映射的特例。這也是解析映射的拓撲特性。

總之，在這里，我們至少是把可視化方法看成探索經濟學真理的手段。如同對一個經濟學結論的數學說明，我們也期盼著，采用新方法將宏觀經濟學的難題破解是結束在雙曲幾何的和弦的交響中。

三、微分形式融入幾何學與拓撲學的可視化宏觀經濟構思

作為微分形式思考的可視化依據，我們首先從平面射影幾何的角度給出圖1。

圖1 可視化：問題的幾何本質

圖1中，我們設定，點d1表示第一產業，點d2表示第二產業，點d3表示第三產業α，點d4表示第三產業β和第三產業γ，點c1表示教育水平，點c2表示科技水平，點b1表示可就業總人數，點e2表示財政(3)自2003年5月14日始，我國開始實施依據“國際標準三次產業分類法”的三次產業劃分。在完全遵照這個“三次產業劃分”中各個產業包括的范圍的前提下，筆者從本文所研究問題的角度出發，進一步設定如下：(1)物質產品生產領域A=第一產業。包括農業，林業，畜牧業，漁業。(2)物質產品生產領域B=第二產業。包括采礦業(煤炭開采和洗選業，石油和天然氣開采業，黑色金屬礦采選業，有色金屬礦采選業，非金屬礦采選業，其他采礦業)，制造業(農副食品加工業，食品制造業，飲料制造業，煙草制造業，紡織業，紡織服裝、鞋、帽制造業，皮革、毛皮、羽毛(絨)及其制品業，木材加工及木、竹、藤、棕、草制品業，家具制造業，造紙及紙制品業，印刷業和記錄媒介的復制，文教體育用品制造業，石油加工業、煉焦及核燃料加工業，化學原料及化學制品制造業，醫藥制造業，化學纖維制造業，橡膠制品業，塑料制品業，非金屬礦物制品業，黑色金屬冶煉及壓延加工業，有色金屬冶煉及壓延加工業，金屬制品業，通用設備制造業，專用設備制造業，交通運輸設備制造業，電氣機械及器材制造業，通信設備、計算機及其他電子設備制造業，儀器儀表及文化、辦公用機械制造業，工藝品及其他制造業，廢棄資源和廢舊材料回收加工業)，電力、熱力的生產和供應業，燃氣生產和供應業，水的生產和供應業，建筑業(房屋和土木工程建筑業，建筑安裝業，建筑裝飾業，其他建筑業)。(3)物質服務生產領域=第三產業α。包括交通運輸(鐵路運輸業，道路運輸業，城市公共交通業，水上運輸業，航空運輸業，管道運輸業，裝卸搬運和其他運輸服務業)，倉儲業，郵政業，電信和其他信息傳輸服務業，計算機服務業，軟件業，批發業，零售業，住宿業，餐飲業，金融業(銀行業，證券業，保險業，其他金融活動)，房地產業，租賃業，商務服務業。(4)非物質產品生產領域=第三產業β。包括科學研究(研究與試驗發展)，技術服務(專業技術服務業，科技交流和推廣服務業)，地質勘查業，教育，文化(新聞出版業，廣播、電視、電影和音像業)，衛生，體育，娛樂業。(5)非物質服務生產領域=第三產業γ。包括水利管理業，環境管理業，公共設施管理業，居民服務業和其他服務業，社會保障業，社會福利業，公共管理(中國共產黨機關，政府機構)，政協，社團。。

橢圓C，半短軸b=b1e1=b2e1，短軸的頂點的坐標b1(x5,y1)，b2(x1,y5)；半長軸a=a1e1=a2e1，長軸的頂點的坐標a1(x1,y3)，a2(x9,y3)；半焦距c=c1e1=c2e1，焦點的坐標c1(x3,y3)，c2(x7,y3)。

圓B，圓的半徑r=a1e1=a2e1=d1b1=c1b1=d2b1=d3b1=c2b1=d4b1，圓心的坐標b1(x5,y1)，圓周上的點的坐標d1(x2,y2)，c1(x3,y3)，d2(x4,y4)，d3(x6,y4)，c2(x7,y3)，d4(x8,y2)。

圓E2，圓心的坐標e2(x5,y6)，圓周上的點的坐標c1(x3,y3)，b1(x5,y1)，c2(x7,y3)。

顯然，過點b1且平行于x軸的直線也是橢圓上點b1的切線，則b1又被看作切點。交點d1,c1,d2,d3,c2,d4又稱為橫截交點，對此另設P1=d1，P2=c1，P3=d2，P4=d3，P5=c2，P6=d4。

(一)二次曲線、度量張量

二次曲線對應用數學的重要性，主要是它的射影性質。相對于二次曲線的度量，一個橢圓定義為平面上這樣的點P的幾何軌跡：它到兩個焦點的距離之和是一常量。如果兩個焦點重合，圖形是一個圓。用解析幾何的語言來說，二次曲線可以用坐標x,y的二次方程來表示。反之，用任意一個二次方程

ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0

可以解析地定義二次曲線比如橢圓、圓等。二次曲線的定義本質上是度量的，因為它用到了距離的概念。但還有另一種定義，二次曲線是一個圓在平面上的投影。簡言之，一個圓的射影。于是，圓在射影下不變的任何性質，也為任意二次曲線所具備。

在橢圓幾何里面，度量張量是用來衡量度量空間中的距離、面積、角度的二階張量ds2=∑ijgijdxidxj。微積分里極坐標的度量張量是ds2=dr2+r2dθ2。度量張量也可以用矩陣(gij)表示，記作G或g。

a到b的弧線長度定義如下，其中參數定為t，t由a到b：

若f為Rn到Rn的局部微分同胚，其誘導出的度量張量的矩陣形式G，由以下方程計算得出：

G=JTJ

J表示f的Jacobi矩陣，它的轉置為JT。

(二)雙曲運動、自守形式、模形式、模群

雙曲平面H的Poincaré模型是賦予了度量張量

的上半平面(x,y)，y>0。借用復變量z=x+iy而定義的雙曲平面H上的等距：

(1)

稱為H上的一個雙曲運動。

我們知道，雙曲波動方程utt+Lu=0的解由它的初值{u(0),ut(0)}唯一決定。由于算子L在雙曲運動γ下不變，所以如果u(z,t)是這個波動方程在H內的解，那么u(γ(z),t)也是該方程的解。進一步地，若u的初值是自守的，則u(z,t)和u(γ(z),t)有相同的初值，從而這兩個解本身也相同。也可以說，如果雙曲波動方程解的初值是自守的，那么對于所有的t,u(z,t)都是自守的。

模群Γ是所有形如式(1)的雙曲運動組成的群，對出現在式(1)中的a,b,c,d有限定。模群Γ是一個離散子群。H中的域P為離散子群Γ的基本域。解是模群下的自守函數的雙曲波動方程所定義的數值散射矩陣的形式。散射矩陣形如

如果不等式

在半群定義域的一個稠密子集上成立，那么必成立不等式

(三)Poincaré對偶性、Lefschetz數

從微分拓撲學來說，還需要考慮兩個問題。

1.由Poincaré對偶性，給出映射

是非退化的雙線性函數，因而對任何q有同構

這個線性函數就是Dq([ω1])，稱Dq為對偶同構。

一般情形，連續映射f：M→N，有f誘導群的同態

其中k稱為f的映射度，記為deg(f)=k。由上同調基本性質，若f?g，則f*=g*，所以f的映射度只與f的同倫類有關。映射度為整數與復分析中的環繞數是相等的。

2.由定理給出，f:M→M連續，則M×M上的相交數

若n維閉流形M可縮，則M的任何連續自映射必有不動點。因為M可縮，所以任何連續映射f:M→M是零倫的，故f*0=1，f*q=0，q>0，于是f的Lefschetz數等于1，即f有不動點。

(四) Poincaré引理、Stokes定理

微分形式的概念來自積分學，一個積分的被積表達式就是一個微分形式。微分形式的概念是積分概念的基礎。微分形式也是向量場的對偶概念。

1.當把1次微分形式dφ=ω等同于向量場時，它的旋度恒為0?；蛘哒f，旋度場沒有非零的散度。

2.恰當的微分形式一定是閉的。根據Poincaré引理，由Rn的星形開子集A，若ω∈Ωk(A)，則ω是恰當的當且僅當ω是閉的。

3.由n維閉流形M上的1次微分形式組ω1,…,ωn-k所確定的切子空間場可積，當且僅當對任何x∈M，存在x的鄰域U及其上的1次微分形式組αji，使得

4.根據Stokes定理，由微分流形M，若ω∈Ωq-1(M)，c∈Sq(M)，則成立等式

其中F是向量場，Φ是曲面。在這里，要想證明ω在M中是恰當的，必須證明存在著M上的形式φ，合于dφ=ω。這就等于在整個M中，而不是局部的，解一組偏微分方程。由此可見，在拓撲學的某些方面與微分形式之間，存在著密切的聯系。

四、結語

本文是《現代化經濟體系與新時代民生》(載《南都學壇》2019年第4期)和《在多維空間討論利息——對建構“經濟學統一場”的場方程的思考》(載《南都學壇》2020年第3期)兩篇論文的跟進，總體設想是對理論經濟學的研究引入新的數學工具，為經濟學的科學方法增加新的內容。

眾所周知，楊小凱曾對新古典經濟學發起方法革命，用超邊際分析替代邊際分析，而經濟學的這個新分支或學派就是新興古典經濟學。不過稍加留意就會發現，同樣是針對最優決策亦即數學上的最優化問題，區別僅在于:新古典經濟學認為最優解是內點解，新興古典經濟學認為最優解是角點解。就數學工具而言，求解最優化問題的非線性規劃，通常的方法是微分法，對函數本身的要求很高，采用微分求導，一般有二階可導。即便如此，超邊際分析同樣無法從根本上解決理論經濟學那些新老問題。

與新興古典經濟學的新方法不同，筆者希望能夠借助于基礎數學中的引入了微積分的幾何學與拓撲學，運用其相對先進的功能(指優于目前所用經濟學拓撲方法)，合理且有效地依靠可視化方法，使宏觀經濟學的致命難題真正得以解決。