例談二項式定理的應用

劉立強 杜紅全

(1.甘肅省康縣第一中學 746500；2.甘肅省康縣教育局教研室 746500)

一、用于求展開式中的特定項或系數

(1)求展開式中的有理項；

(2)求展開式中的有理項的二項式系數；

(3)求展開式中的有理項的系數.

例2(1+x)8(1+y)4的展開式中x2y2的系數是( ).

A.56 B.84 C.112 D.168

點評解此問題的關鍵是求(1+x)8的展開式中x2的系數與(1+y)4的展開式中y2的系數的積.若是求一個三項式的系數問題，則應利用公式把三項轉化為二項(可因式分解)或把兩項看成一項，然后利用二項式定理展開求解.

二、用于求二項式定理中的相關元素

三、用于確定展開式中系數最大項

解析由題意，得22n-2n=992.即(2n-32)(2n+31)=0.所以2n=32，解得n=5.

設第r+1項的系數的絕對值最大.

因為r∈Z，所以r=3.

點評(1)解決此類問題的關鍵是要區分“二項式系數最大的項”“系數最大的項”“系數的絕對值最大的項”這三個不同的概念，“二項式系數最大的項”一定是中間項，而“系數最大的項”“系數的絕對值最大的項”不一定居中.

(3)二項展開式中有四個特殊項，即常數項、有理項、二項式系數最大項、系數最大項，要掌握它們的求法.

四、用于求展開式中各項系數的和

例5 若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求

(1)a1+a2+…+a7；

(2)a1+a3+a5+a7；

(3)a0+a2+a4+a6；

(4)a2+a5.

解析(1)令x=0，則a0=-1.

令x=1，則a7+a6+…+a1+a0=27=128.

①

所以a1+a2+…+a7=129.

(2)令x=-1，則-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=(-4)7.

②

點評本題的解法是賦值法，這是一種重要的方法，它適用于恒等式.對展開式的系數和的求解，一般采用賦值法，賦值的選擇要根據展開式系數和特征靈活賦值，通常令x=0，1，-1.

五、用于證明組合數恒等式

點評解此問題的關鍵是結合二項式定理，注意觀察數列1,2,22，…，2n的規律性，令二項展開式中a=1，b=2，聯想二項式定理展開式，構造左=(1+2)n=3n=右.

點評解此問題的關鍵是構造(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n，比較等號兩邊的展開式中含xn項的系數.

六、用于證明不等式

所以原不等式成立.

七、用于解決整除性問題

例9 求證：9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

證明因為9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9

所以9n+1-8n-9(n∈N*)能被64整除.

點評解此問題的關鍵是將所給的多項式通過恒等變形變為二項式的形式，使其展開后各項均含有除式.利用二項式定理證明整除性問題，通常需要將底數化成兩數和與差的形式，且這種轉化形式與除數有密切關系.

八、用于求余數問題

例109192除以100的余數是____.

所以9192除以100的余數是81.

點評解此問題的關鍵是從9192的式子結構出發，利用9192=(90+1)92展開后再分析即可，但要注意余數的范圍是[0,90)；當然本題也可以利用9192=(100-9)92展開.利用二項式定理求余數，通常需要將底數化成兩數和與差的形式，且這種轉化形式與除數有密切關系.

九、用于求近似值

例11 求1.056的近似值，使結果精確到0.01.

點評解此問題的關鍵是展開式中的保留項，使其滿足近似計算的精確度.在選取展開式中保留項時，以最后一項小數位超過精確度即可，少了不符合要求，多了無用，且增加麻煩.對于估算求值問題，常利用二項式定理.