淺議不等式恒成立問題的幾種解題策略

2021-02-02 09:46:58劉樹江

劉樹江

(山東省臨沂臨港經濟開發區第一中學 276624)

不等式恒成立問題是高考和競賽的熱點和難點,又是每年高考題中常考的一個問題,在選擇題、填空題和大題中都有出現, 此類題目一般綜合性強,同時兼顧考查“函數與方程”“化歸與轉化”“數形結合”“分類討論”等數學思想方法.下面結合例題淺談含參不等式恒成立問題的常見解題策略.

一、最值法

最值法是我們解決不等式恒成立問題最常用的一種方法，f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a;f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a.

例1(2019年高考全國Ⅲ卷·理23)設x,y,z∈R，且x+y+z=1．

(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值；

解析(1)略

(2)因為[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2

=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)]

≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2]，

不等式恒成立問題中，如果所求的參數能從不等式中分離出來，常常先進行分離，使參數和主元分別位于不等式的兩邊，然后構造函數，最后化歸為最值法求解.

A．[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e]

解析當x=1時，f(1)=1-2a+2a=1>0恒成立:

所以2a≥g(x)max=0.解得a>0.

當x>e時，因為h′(x)>0,所以函數h(x)單調遞增，

當1

所以a≤h(x)min=e.

綜上可知，a的取值范圍是[0,e].故選C.

若不等式應用直接求解比較復雜，可考慮對不等式的兩邊巧妙構造函數，借助函數圖象，數形結合，直觀形象，從而使問題快捷解決.

例3(2018年全國Ⅲ卷·文理23)[選修4—5:不等式選講]設函數f(x)=|2x+1|+|x-1|.

(1)畫出y=f(x)的圖象;

(2)當x∈[0,+∞)時,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

圖1

圖2

(2)由(1)知,y=f(x)的圖象與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a≥3且b≥2時,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立.因此a+b的最小值為5.

當不等式兩邊的函數具有不確定因素時，可以應用分類或分段討論的方法處理.分類(分段)討論可以使原不等式的不確定因素變化為確定因素，從而達到化繁為簡的目的.

例4(2018年全國Ⅰ卷·文理23)[選修4-5:不等式選講]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)時不等式f(x)>x成立,求a的取值范圍.

解析(1) 略.

(2)當x∈(0,1)時,|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈(0,1)時,|ax-1|<1成立.

若a≤0,則當x∈(0,1)時|ax-1|≥1;

綜上,a的取值范圍為(0,2].

若不等式恒成立問題中存在多元參數，若按常規思路確定主元，會導致求解非常繁瑣.若能針對問題的結構特征，轉換思考問題的角度，可適當變更主元，反客為主，往往可以避免分類討論，化難為易，使問題得到解決.

例5設不等式mx2-2x-m+1<0對滿足|m|≤2的一切m都成立，求x的取值范圍.

分析本題按常規思路，常將x確定主元，當m≠0時，則是關于x的一元二次不等式，討論起來很復雜.若通過變換主元，將參數m設為主元，將不等式看成關于m的不等式，進而將不等式的左邊看成關于m的函數，利用函數性質求解，可大大簡化解題過程.

解析設f(m)=(x2-1)m+1-2x,由條件f(m)<0對滿足|m|≤2的一切m的值都成立.

所以f(2)<0,f(-2)<0.