向量的一個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論及其應(yīng)用

張兵源

(福建省漳州市教育科學(xué)研究院 363000)

一、結(jié)論與證明

上述證明的實(shí)質(zhì)是向量加法運(yùn)算與減法運(yùn)算的互換.向量的減法運(yùn)算是定義在向量加法運(yùn)算基礎(chǔ)上的,即a-b=a+(-b).換言之，向量的加法運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化成減法運(yùn)算,即a+b=a-(-b).這些看似簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化,其實(shí)能夠起到巨大的作用,成為解題的關(guān)鍵,可謂四兩撥千斤.

二、結(jié)論應(yīng)用

例3已知|a|=1,b滿足|a-b|+|a+b|=4,則|b|的最小值為____.

例6已知|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a-b|的最值.

例7已知|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|a+2b|的最值.

三、變式練習(xí)

由已知可得平行四邊形ABCD為矩形,所以△ABC的形狀為直角三角形,且∠B為直角.

練習(xí)3已知|a|=1,|b|=2,求|a+b|+|2a+3b|的最值.

當(dāng)A位于(1,0)處時(shí),有最大值11,當(dāng)A位于(-1,0)處時(shí),有最小值5.

練習(xí)4已知|a+2b|=3,|2a+3b|=4,求a·b的最小值.

所以a·b的最小值為-170.

不難發(fā)現(xiàn),通過構(gòu)造相反向量,向量的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化成向量的減法運(yùn)算.這樣的思維其實(shí)是逆向思維,是建立在對(duì)課本概念的深刻理解之上.由此可見,解題要建立在對(duì)課本概念、定理、性質(zhì)的深刻理解之上,唯有如此才能真正地提高思維,提高能力,促進(jìn)深度學(xué)習(xí),提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).