一道函數導數試題的源與流

蔡海濤

(福建省莆田第二中學 351131)

一、試題呈現

例1(2020年廈門市高三質檢·理21)已知函數f(x)=alnx+x-1，g(x)=x3-1.

(1)若直線l:y=-x+1與曲線y=f(x)相切，求實數a的值；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)零點的個數.

二、解法探究

1.第(1)問解析.

解析a=-2.(過程略)

2.第(2)問解析

解法1 當0

當x=1時，f(1)=g(1)=0，從而h(1)=0，故x=1為h(x)的一個零點.

當x>1時，g(x)>0，所以h(x)的零點即為f(x)的零點.

若-a≤1，即a≥-1時，f′(x)>0，從而f(x)在區間(1,+)單調遞增，進而f(x)>f(1)=0.又g(x)>g(1)=0，所以h(x)>0，此時h(x)在(1,+)沒有零點.

若-a>1，即a<-1時，f(x)在區間(1,-a)單調遞減，在區間(-a,+)單調遞增.因為f(1)=0，f(-a)

易證當x>0時，lnx≤x-1，則ln(4a2)=2ln(-2a)≤2(-2a-1).所以f(4a2)=aln(4a2)+4a2-1≥a×2(-2a-1)+4a2-1=-2a-1>0.故存在x0∈(-a,4a2)，進而存在x0∈(-a,+)，使得f(x0)=0，即h(x0)=0，此時h(x)在(1,+)上存在唯一零點.

綜上可得，當a≥-1時，h(x)有一個零點；當a<-1時，h(x)有兩個零點.

評注本題若考慮求出函數h(x)的解析式，則需要對a進行討論，研究f(x)與g(x)的大小關系，情況比較復雜.考慮函數g(x)不含參，故先研究其零點，則得到討論的分界點，分為“01”等三種情況，突破了本題的第一個難點.當x>1時，由于g(x)>0，故把要求解的問題轉化為f(x)的零點情況，則需對其求導，對參數a進行討論，研究其單調性，結合f(1)=0，得到零點個數，突破了本題的第二個難點.在對含參函數導數問題的討論中,對參數的討論分界點的分析尤為重要.

當x=1時，因為f(1)=g(1)=0，所以h(1)=0，1為h(x)的零點；

當x>1時，因為f(x)>f(1)=0，g(x)>g(1)=0，h(x)>0，無零點；

此時，h(x)有一個零點.

當0

當x=1時，因為f(1)=g(1)=0，所以h(1)=0，1為h(x)的零點；

當x>1時，因為g(x)>g(1)=0，此時只需考慮f(x)在(1,+)上的零點即可.

若-a≤1，即-1≤a<0時，因為f(x)在(1,+)上單調遞增，所以f(x)>f(1)=0.從而f(x)無零點,進而h(x)無零點，此時h(x)在(0,+)上共有一個零點.

若a<-1時，與解法1相同，可得h(x)在(1,+)上存在唯一零點；

綜上可得，當a≥-1時，h(x)有一個零點；當a<-1時，h(x)有兩個零點.

評注解法2從研究函數f(x)的零點入手，求導后結合定義域對參數a討論.當a<0時，結合函數g(x)的零點情況，難點為f(x)在(1,+)上的零點研究，基本思路同解法1.

三、高考探源

(1)當a為何值時，x軸為曲線y=f(x) 的切線；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)零點的個數.

(2)當x∈(1,+)時，因為g(x)=-lnx<0，所以h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0.所以h(x)在(1,+)上無零點．

當x∈(0,1)時，因為g(x)=-lnx>0，所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點個數．

四、變式拓展

例3 已知函數f(x)=2x3-3x2+1,g(x)=kx+1-lnx.

(1)若過點P(a,-4)恰有兩條直線與曲線y=f(x)相切，求a的值；

(2)用min{m,n}表示m，n中的最小值，設函數h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，若h(x)恰有三個零點，求實數k的取值范圍.

解析(1)設切點為Q(t,f(t))，因為f′(x)=6x2-6x，所以切線的斜率為f′(t)=6t2-6t.所以切線方程為y-f(t)=(6t2-6t)(x-t).因為切線過點P(a,-4),所以-4-f(t)=(6t2-6t)(a-t).整理,得4t3-(3+6a)t2+6at-5=0.(*)

又曲線恰有兩條切線，即方程(*)恰有兩個不同解.

解得a=-1.

(2)因為f(x)=2x3-3x2+1=(x-1)2(2x+1)，所以f(x)在(0,+)上只有一個零點x=1.

①當k≤0時，因為g′(x)<0，所以g(x)在(0,+)上單調遞減，所以g(x)在(0,+)上至多只有一個零點，不合題意.

令F(x)=ex-x2(x>2)，則F′(x)=ex-2x，F″(x)=ex-2>e2-2>0.所以F′(x)>F′(2)=e2-4>0，所以F(x)在區間(2,+)單調遞增.

所以F(x)>F(2)=e2-4>0，ex-x2>0，

即ex>x2(x>2).

(**)

所以g(x1)=g(x2)=0.

因為g(1)=k+1>0，f(x1)>0，f(x2)>0，故h(1)>f(1)=0，h(x1)=g(x1)=0，h(x2)=g(x2)=0.

從而h(x)有三個零點.

每年高考試題及各地的高三模擬試題，都是命題老師智慧的結晶，對這些試題進行深入的探究，探究試題的“源與流”，滲透到高三的教學中去，既能讓教學內容更豐富多彩，又能激發學生的學習興趣，有利于拓展學生的思維，提升學生的素養，對高三的復習備考有很大的意義.