運用數學思想 探究函數零點個數問題

謝新華

(福建省莆田第二中學 351131)

點評已知函數零點的個數求參數的取值范圍，其常見的轉化方法是分離參數法，使得構造的函數中不含參數，避免了參數的分類討論.應用數形結合思想把函數零點問題轉化為水平直線y=m與函數h(x)圖象的交點個數問題來解決.

例2若函數f(x)=aex-x-2a有兩個零點，則實數a的取值范圍是____.

又g(0)=0,所以當x>ln2時，g(x)>0.因為函數f(x)有兩個零點，所以直線y=a與函數g(x)的圖象有兩個公共點.所以實數a的取值范圍是(0,+).

圖1

解法2 (直接構造函數法)因為f′(x)=aex-1，當a≤0時，f′(x)≤0，所以f(x)在R上單調遞減，至多一個零點，不符合題意.當a>0時，令f′(x)<0，解得x<-lna.令f′(x)>0，解得x>-lna，所以f(x)在(-,-lna)上單調遞減，在(-lna,+)上單調遞增.所以fmin(x)=f(-lna)=1+lna-2a.令φ(a)=1+lna-2a(a>0)，則令φ′(a)>0，得令φ′(a)<0，得x>所以-ln2<0，即φ(a)<0，f(-lna)<0，所以函數f(x)有兩個零點，符合題意.綜上所述，實數a的取值范圍是(0,+).

圖2

點評本題解法1利用分離參數法，使得構造的函數中不含參數，避免了參數的分類討論，但構造的函數定義域改變了，函數不連續了，函數圖象變得復雜了， 研究時因容易忽略函數定義域或圖象特征把握不準確導致錯誤. 解法2利用直接構造函數法，通過導數研究函數的圖象與性質，需要對參數的不同取值情況分類討論，是常規思路，但解題后半部分容易出現“卡殼”，不易得出最后結果.解法3利用隔離構造函數法，構造兩個比較熟悉的基本初等函數，結合圖象容易得出結論，是學生比較喜歡的方法，此法解答小題是比較適合的方法.解答題的求解在前兩種方法無法突破時，也可以嘗試通過此法探求結果.