運(yùn)用數(shù)學(xué)思想 探究函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題

謝新華

(福建省莆田第二中學(xué) 351131)

點(diǎn)評已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，其常見的轉(zhuǎn)化方法是分離參數(shù)法，使得構(gòu)造的函數(shù)中不含參數(shù)，避免了參數(shù)的分類討論.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為水平直線y=m與函數(shù)h(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題來解決.

例2若函數(shù)f(x)=aex-x-2a有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

又g(0)=0,所以當(dāng)x>ln2時，g(x)>0.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，所以直線y=a與函數(shù)g(x)的圖象有兩個公共點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+).

圖1

解法2 (直接構(gòu)造函數(shù)法)因?yàn)閒′(x)=aex-1，當(dāng)a≤0時，f′(x)≤0，所以f(x)在R上單調(diào)遞減，至多一個零點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)a>0時，令f′(x)<0，解得x<-lna.令f′(x)>0，解得x>-lna，所以f(x)在(-,-lna)上單調(diào)遞減，在(-lna,+)上單調(diào)遞增.所以fmin(x)=f(-lna)=1+lna-2a.令φ(a)=1+lna-2a(a>0)，則令φ′(a)>0，得令φ′(a)<0，得x>所以-ln2<0，即φ(a)<0，f(-lna)<0，所以函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)，符合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,+).

圖2

點(diǎn)評本題解法1利用分離參數(shù)法，使得構(gòu)造的函數(shù)中不含參數(shù)，避免了參數(shù)的分類討論，但構(gòu)造的函數(shù)定義域改變了，函數(shù)不連續(xù)了，函數(shù)圖象變得復(fù)雜了， 研究時因容易忽略函數(shù)定義域或圖象特征把握不準(zhǔn)確導(dǎo)致錯誤. 解法2利用直接構(gòu)造函數(shù)法，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，需要對參數(shù)的不同取值情況分類討論，是常規(guī)思路，但解題后半部分容易出現(xiàn)“卡殼”，不易得出最后結(jié)果.解法3利用隔離構(gòu)造函數(shù)法，構(gòu)造兩個比較熟悉的基本初等函數(shù)，結(jié)合圖象容易得出結(jié)論，是學(xué)生比較喜歡的方法，此法解答小題是比較適合的方法.解答題的求解在前兩種方法無法突破時，也可以嘗試通過此法探求結(jié)果.