點(diǎn)擊解析幾何中的焦點(diǎn)三角形問題

李懷忠

(甘肅省景泰縣第二中學(xué) 730400)

所謂焦點(diǎn)三角形，指的是橢圓或雙曲線上任一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連接而成的三角形.焦點(diǎn)三角形是高考考查橢圓、雙曲線的定義、幾何性質(zhì)、解三角形的重要素材，其涉及的知識范圍寬廣、方法靈活、數(shù)學(xué)思想突出.本文就常見的焦點(diǎn)三角形問題做一歸納總結(jié).

一、焦點(diǎn)三角形中的離心率問題

圖1

解析在焦點(diǎn)ΔPF1F2中，由正弦定理,得

點(diǎn)評橢圓中的離心率借助焦點(diǎn)三角形中的兩內(nèi)角求解，涉及到橢圓定義、正弦定理、等比定理等相關(guān)知識結(jié)構(gòu)，內(nèi)涵豐富，題目靈活多變.

圖2

因?yàn)辄c(diǎn)P是準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，則PF2≥F2H.

點(diǎn)評離心率的取值范圍求解的關(guān)鍵是尋找?guī)缀瘟恐g的不等關(guān)系，Rt△PF2H中，PF2≥F2H不等關(guān)系的確立是本題的突破口.

二、焦點(diǎn)三角形中的面積問題

解析由雙曲線的定義，可知PF1-PF2=2.

所以△PF1F2是以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的直角三角形.

圖3

證明令PF1=m，PF2=n,則m+n=2a.

由余弦定理,得(2c)2=m2+n2-2mncosθ=(m+n)2-2mn(1+cosθ).

例5已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,∠F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|=( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

點(diǎn)評利用等面積法，從兩個不同的角度來理解問題，實(shí)現(xiàn)問題的整體轉(zhuǎn)化.焦點(diǎn)三角形面積公式是問題的突破點(diǎn).

三、焦點(diǎn)三角形中的邊長問題

例7 已知F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=3，則C的方程為( ).

圖4

解析題目中給出了中垂線，所以要用到中垂線的性質(zhì),即AF=PF.要求e的范圍，我們需要構(gòu)造一個關(guān)于基本量的不等關(guān)系，且在有動態(tài)變量的題目中，需要把定值和變量進(jìn)行比較.

點(diǎn)評焦點(diǎn)三角形中，P到焦點(diǎn)F的距離為焦半徑，則a-c≤PF≤a+c，焦半徑的取值范圍是解決離心率范圍的主要依據(jù).

四、焦點(diǎn)三角形中的周長問題

A.14 B.12 C.6 D.3

點(diǎn)評過橢圓的一焦點(diǎn)F1的弦AB兩端點(diǎn)與另一焦點(diǎn)F2所成三角形的周長為4a是一個定值，與直線AB的傾斜角無關(guān).

點(diǎn)評橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長為2a+2c，與直線的斜率沒有關(guān)系.

五、焦點(diǎn)三角形相關(guān)的最值問題

當(dāng)且僅當(dāng)PF1=PF2=2時取等號.

點(diǎn)評本題可以一般化，在焦點(diǎn)△PF1F2中，∠F1PF2=θ,則由余弦定理,得

當(dāng)PF1=PF2時，等號成立，即∠F1PF2=θ,當(dāng)點(diǎn)P靠近短軸端點(diǎn)時θ增大，當(dāng)點(diǎn)P靠近長軸端點(diǎn)時θ減小,當(dāng)點(diǎn)P與短軸端點(diǎn)重合時θ最大.

解析設(shè)橢圓短軸的一個端點(diǎn)為B1，所以可知∠F1B1F2≥90° ,∠OB1F2≥45°.

由上題的結(jié)論,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B1重合時取等號.

點(diǎn)評結(jié)合橢圓圖形的幾何性質(zhì)，應(yīng)用上述焦點(diǎn)三角形結(jié)論解決問題簡潔、明快、準(zhǔn)確.

解析在橢圓或雙曲線中出現(xiàn)了圓錐曲線上的一個點(diǎn)和其中一個焦點(diǎn)，往往需要考慮另外一個焦點(diǎn)，本題中△PF1F2是焦點(diǎn)三角形.

設(shè)雙曲線的另一個焦點(diǎn)為F1，所以有F1(-2,0),F2(2,0)，PA+PF2=PA+PF1-2≥AF1-2，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時取等號.

點(diǎn)評在求距離之和的最值問題中經(jīng)常用到三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)涉及的三點(diǎn)共線時，取等號，距離和取得最小值.運(yùn)用三點(diǎn)共線法求最值的問題在雙曲線、橢圓、拋物線都會出現(xiàn)，是利用幾何法求解圓錐曲線最值的典型問題.