點擊解析幾何中的焦點三角形問題

李懷忠

(甘肅省景泰縣第二中學 730400)

所謂焦點三角形，指的是橢圓或雙曲線上任一點與兩焦點連接而成的三角形.焦點三角形是高考考查橢圓、雙曲線的定義、幾何性質、解三角形的重要素材，其涉及的知識范圍寬廣、方法靈活、數學思想突出.本文就常見的焦點三角形問題做一歸納總結.

一、焦點三角形中的離心率問題

圖1

解析在焦點ΔPF1F2中，由正弦定理,得

點評橢圓中的離心率借助焦點三角形中的兩內角求解，涉及到橢圓定義、正弦定理、等比定理等相關知識結構，內涵豐富，題目靈活多變.

圖2

因為點P是準線上的動點，則PF2≥F2H.

點評離心率的取值范圍求解的關鍵是尋找幾何量之間的不等關系，Rt△PF2H中，PF2≥F2H不等關系的確立是本題的突破口.

二、焦點三角形中的面積問題

解析由雙曲線的定義，可知PF1-PF2=2.

所以△PF1F2是以點P為頂點的直角三角形.

圖3

證明令PF1=m，PF2=n,則m+n=2a.

由余弦定理,得(2c)2=m2+n2-2mncosθ=(m+n)2-2mn(1+cosθ).

例5已知F1，F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,∠F1PF2=60°,則|PF1|·|PF2|=( ).

A.2 B.4 C.6 D.8

點評利用等面積法，從兩個不同的角度來理解問題，實現問題的整體轉化.焦點三角形面積公式是問題的突破點.

三、焦點三角形中的邊長問題

例7 已知F1(-1，0)，F2(1，0)是橢圓C的兩個焦點，過F2且垂直于x軸的直線交C于A，B兩點，且|AB|=3，則C的方程為( ).

圖4

解析題目中給出了中垂線，所以要用到中垂線的性質,即AF=PF.要求e的范圍，我們需要構造一個關于基本量的不等關系，且在有動態變量的題目中，需要把定值和變量進行比較.

點評焦點三角形中，P到焦點F的距離為焦半徑，則a-c≤PF≤a+c，焦半徑的取值范圍是解決離心率范圍的主要依據.

四、焦點三角形中的周長問題

A.14 B.12 C.6 D.3

點評過橢圓的一焦點F1的弦AB兩端點與另一焦點F2所成三角形的周長為4a是一個定值，與直線AB的傾斜角無關.

點評橢圓中焦點三角形的周長為2a+2c，與直線的斜率沒有關系.

五、焦點三角形相關的最值問題

當且僅當PF1=PF2=2時取等號.

點評本題可以一般化，在焦點△PF1F2中，∠F1PF2=θ,則由余弦定理,得

當PF1=PF2時，等號成立，即∠F1PF2=θ,當點P靠近短軸端點時θ增大，當點P靠近長軸端點時θ減小,當點P與短軸端點重合時θ最大.

解析設橢圓短軸的一個端點為B1，所以可知∠F1B1F2≥90° ,∠OB1F2≥45°.

由上題的結論,當點P與點B1重合時取等號.

點評結合橢圓圖形的幾何性質，應用上述焦點三角形結論解決問題簡潔、明快、準確.

解析在橢圓或雙曲線中出現了圓錐曲線上的一個點和其中一個焦點，往往需要考慮另外一個焦點，本題中△PF1F2是焦點三角形.

設雙曲線的另一個焦點為F1，所以有F1(-2,0),F2(2,0)，PA+PF2=PA+PF1-2≥AF1-2，當且僅當A，P，F1三點共線時取等號.

點評在求距離之和的最值問題中經常用到三角形兩邊之和大于第三邊，當涉及的三點共線時，取等號，距離和取得最小值.運用三點共線法求最值的問題在雙曲線、橢圓、拋物線都會出現，是利用幾何法求解圓錐曲線最值的典型問題.