例談隱零點問題中的代換策略

張志剛

(山東省寧陽縣復圣中學 271400)

一、代換策略概述

零點是函數的重要性質，也是溝通函數與方程的天然橋梁.對于一些復雜的函數，我們往往無法或無需求出其零點的精確數值，只能或只需界定其范圍.解答中零點是“設而不求”的，此類零點不妨稱為“隱零點”.解決隱零點問題的核心是“代換”，即在判斷出函數存在零點(一般借助零點存在性定理)虛設零點為x0后，借助零點方程實施代換，尤其是將ex0，lnx0等超越函數式代換為一次函數或反比例函數等初等函數式.隱零點問題蘊含著豐富的函數與方程、轉化與化歸、數形結合等思想，需要考生具有完善的知識儲備，較強的抽象概括能力、邏輯推理能力與運算求解能力，區分功能較好，自然備受命題專家的青睞，成為近年高考的穩定熱點.

例1求證：ex-2-lnx>0.

二、隱零點問題思維程序

結合上例，我們可將隱零點問題思維程序概括如下：

首先，獲取零點的存在性結論.借助零點存在性定理等工具論證導函數存在零點，其中難點是通過合理賦值，敏銳捕捉零點存在的區間，有時還需結合函數的單調性明確零點的個數.

其次，虛設零點并確定其范圍.結合零點存在性定理虛設零點，并隨之確定隱零點的取值范圍.此處要克服“不敢設”的畏懼心理和“不會設”的盲目心理，增強解決問題的指向性和精準性.

再次，借助零點方程進行代換. 代換是解決隱零點問題的關鍵環節.一般地，要將指、對等超越函數式代換為一次(二次、反比例等)簡單的函數式.需要注意的是，代換可能不止一次(如例1).

下面再舉幾例，鞏固上述解題思路.

三、案例分析

例2 (2020年新高考全國Ⅰ卷第21題)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1) 當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2) 若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析(1) 略.

(2) 易知a>0.當0

當a=1時，f(x)=ex-1-lnx，又易知ex-1≥x，lnx≤x-1，所以f(x)≥x+(-x+1)=1，符合題意.

綜上，a的取值范圍是a≥1.

例3 (2017年全國Ⅱ卷理科第21題)已知函數f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e-2

解析(1)略.

例4已知f(x)=ax2-2lnx，a∈R.若對任意的x>0,2-f(x)≤2(a-1)x恒成立，求整數a的最小值．

隱零點雖然隱性，但只要抓住零點方程實施整體代換，如指數與對數互換、超越函數與簡單函數的替換，問題便可迎刃而解.教師要以近年高考隱零點試題為素材，剖析命題規律，讓學生體會“代換”策略之功效，精準復習，助力考生馳騁考場、乘風破浪！