例談隱零點(diǎn)問(wèn)題中的代換策略

張志剛

(山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 271400)

一、代換策略概述

零點(diǎn)是函數(shù)的重要性質(zhì)，也是溝通函數(shù)與方程的天然橋梁.對(duì)于一些復(fù)雜的函數(shù)，我們往往無(wú)法或無(wú)需求出其零點(diǎn)的精確數(shù)值，只能或只需界定其范圍.解答中零點(diǎn)是“設(shè)而不求”的，此類零點(diǎn)不妨稱為“隱零點(diǎn)”.解決隱零點(diǎn)問(wèn)題的核心是“代換”，即在判斷出函數(shù)存在零點(diǎn)(一般借助零點(diǎn)存在性定理)虛設(shè)零點(diǎn)為x0后，借助零點(diǎn)方程實(shí)施代換，尤其是將ex0，lnx0等超越函數(shù)式代換為一次函數(shù)或反比例函數(shù)等初等函數(shù)式.隱零點(diǎn)問(wèn)題蘊(yùn)含著豐富的函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想，需要考生具有完善的知識(shí)儲(chǔ)備，較強(qiáng)的抽象概括能力、邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，區(qū)分功能較好，自然備受命題專家的青睞，成為近年高考的穩(wěn)定熱點(diǎn).

例1求證：ex-2-lnx>0.

二、隱零點(diǎn)問(wèn)題思維程序

結(jié)合上例，我們可將隱零點(diǎn)問(wèn)題思維程序概括如下：

首先，獲取零點(diǎn)的存在性結(jié)論.借助零點(diǎn)存在性定理等工具論證導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)，其中難點(diǎn)是通過(guò)合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性明確零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

其次，虛設(shè)零點(diǎn)并確定其范圍.結(jié)合零點(diǎn)存在性定理虛設(shè)零點(diǎn)，并隨之確定隱零點(diǎn)的取值范圍.此處要克服“不敢設(shè)”的畏懼心理和“不會(huì)設(shè)”的盲目心理，增強(qiáng)解決問(wèn)題的指向性和精準(zhǔn)性.

再次，借助零點(diǎn)方程進(jìn)行代換. 代換是解決隱零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).一般地，要將指、對(duì)等超越函數(shù)式代換為一次(二次、反比例等)簡(jiǎn)單的函數(shù)式.需要注意的是，代換可能不止一次(如例1).

下面再舉幾例，鞏固上述解題思路.

三、案例分析

例2 (2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1) 當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2) 若f(x)≥1，求a的取值范圍.

解析(1) 略.

(2) 易知a>0.當(dāng)0

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex-1-lnx，又易知ex-1≥x，lnx≤x-1，所以f(x)≥x+(-x+1)=1，符合題意.

綜上，a的取值范圍是a≥1.

例3 (2017年全國(guó)Ⅱ卷理科第21題)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(1)求a；

(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

解析(1)略.

例4已知f(x)=ax2-2lnx，a∈R.若對(duì)任意的x>0,2-f(x)≤2(a-1)x恒成立，求整數(shù)a的最小值．

隱零點(diǎn)雖然隱性，但只要抓住零點(diǎn)方程實(shí)施整體代換，如指數(shù)與對(duì)數(shù)互換、超越函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的替換，問(wèn)題便可迎刃而解.教師要以近年高考隱零點(diǎn)試題為素材，剖析命題規(guī)律，讓學(xué)生體會(huì)“代換”策略之功效，精準(zhǔn)復(fù)習(xí)，助力考生馳騁考場(chǎng)、乘風(fēng)破浪！