試論高中數學例題解答中導數的典型性應用

傅澤平

(湖南省長沙市長沙大學附屬中學 410003)

一、理解導數概念，了解例題有關思路

1.理解導數性質，解答導數例題

2.多做有關導數的題目，加深例題思路的印象

在學習過程中，要多做有關于導數的數學題目，不斷地通過例題練習和思路分析來加深對導數概念的掌握和導數知識點的應用，也為解決數學問題提供新的解題思路.所謂俗話說“熟能生巧”，在學習過程中多做練習題對于加深導數問題的應用具有重要的作用，同時知道導數對學習數學知識的重要性.例如已知函數y=x-a·lnx，求函數的極值.這種題目屬于帶參數的函數極值問題，解題時我們需要考慮參數的取值對函數極值的影響.

解題步驟：

(1)先確定函數的定義域，當a≠0時,x∈(-,0)∪(0,+),當a=0時,x∈R；

(3)討論a的不同取值對y極值的影響：當a>0時，在x∈(-,0)和(a,+)時，導函數y′>0,函數單調遞增，在x∈(0,a)時，導函數y′<0，函數單調遞減，此時函數在x=a處取得極小值；當a=0時，函數在x∈R單調遞增，不存在極值；當a<0時，在x∈(-,a)和(0,+),導函數y′>0，函數單調遞增，在x∈(a,0)時，導函數y′<0，函數單調遞減,函數在x=a處取得極大值.

通過對這個例題的分析，我們可以總結得到，對于含有參數的函數極值問題，首先需要考慮參數對于函數的定義域的影響，討論不同情況下函數的定義域，然后再對函數進行求導，通過導函數得到函數在定義域的單調性情況，最后討論不同參數的取值對于函數極值的影響.

二、高中數學例題解答中導數的典型性應用

下文中將具體地從不同的數學習題中來分析導數在解答數學典型例題中的應用.

1.導數在求解最值中的應用

導數在高中數學中具有重點教學意義，高中數學習題經常通過導數和最值問題的聯系來考查學生對綜合數學知識和知識系統的總結能力，所以學生在數學學習過程中，必須掌握導數在求解最值問題中的應用.對于可導的函數來說，導數是判斷函數單調性的最有力工具，因此在求解函數最值的過程中，利用導數知識分析最值問題既方便又高效，所以利用導數求解最值問題就變成了最簡單自然，并且有效的方法.下面以一個高考數學習題為例.

例1已知函數F(x)=x3-3x+1，求這個函數在[-3,0]上的最大值和最小值.

這一類的問題是導數解決最值問題中最基礎的一個題目，它的解題思路就是首先要了解在題目中所提供的閉區間上函數的極值，其次利用端點函數值來進行比較大小進而確定最值問題.

解題步驟：

(1)首先對F(x)進行求導，得到F′(x)=3x2-3；

(2)令F′(x)=0，求得導函數的零點值為x=±1，此時我們可以知道,當x∈[-3,-1)時,F′(x)>0，所以F(x)在[-3,-1)單調遞增；當x∈(-1,0]時,F′(x)<0，所以F(x)在(-1,0]單調遞減.我們可以得出，F(x)在x=-1處取得最大值F(-1)=3；

(3)F(x)取得最小值的點應該是區間[-3,0]的端點處，將x=-3和x=0代入函數F(x),得到函數值分別為F(-3)=-17和F(0)=1，最后進行比較，得出F(x)的最小值為F(-3)=-17.

通過對這個例題的分析，我們可以總結得到，在解答最值問題過程中利用導數的相關知識，首先需要在函數的區間范圍內求出極值；第二是求出函數在端點的函數值，也就是自變量區間兩個端點處的函數值；第三就是將極值點和端點的函數值比較大小，以此來求出函數的最值.

2.利用導數來解決曲線的切線問題

在高中數學學習過程中，我們經常會遇到這樣一個題目，那就是在坐標系中求解有關切線方程的問題.通常情況下，我們會得知在曲線外的一個坐標點，然后求解此點的切線方程.對于這類題目來說，如果學生單憑作圖或者運用函數的基本概念進行解答很難將題目正確地完成，所以在解答過程中引入導數的相關內容可以更加有效地解答此類題目.

例2 已知曲線C：y=F(x)，求經過點P(x0，y0)的曲線切線方程.

如何利用導數知識來更加準確地解決此類題目呢？在實際解題過程中，我們先要確定點是否在對應的曲線C上，然后再將y的導函數求出，進而通過計算得到答案.在此過程中，我們一定要掌握在不同情況下的函數所具有的不同結果，分情況進行討論得到最完整的答案.

解題步驟：

(1)當點P(x0，y0)在曲線上時，先求F(x)在P(x0，y0)處導數值F′(x0),則可以得到切線方程為y-y0=F′(x0)(x-x0);

在高中階段數學學習過程中，我們經常會碰到對特殊曲線求解切線方程的問題，例如三角形曲線，如果利用傳統的解答切線問題的方法，畫圖過程將非常復雜，同時也非常容易出現錯誤，因此學生在解答此類題目時引入導數知識也是對函數值問題的進一步擴展.

3.運用導數解答三角函數問題

利用導數來解決三角函數問題，例如求函數y=(1+cos2x)2關于x的導函數，這個題目是比較典型的函數求導題.在解答此類題目中，學生可能會由于不熟悉復合函數求導公式而出現錯誤，所以在當次數相同的2x與x之間，其為一種復合過程，所以在實際解答此類題目過程中，學生要尤其注意這一點，避免在解答過程中出錯.所以在解答此類題目中，可以代入第三個函數，以此來進行解答.

解題步驟：

(1)y=u2，u=1+cos2x.

對于導數學習需要學生掌握基本的導數概念，并學會利用導數在數學習題過程中的使用原則.學好導數不僅僅可以使學生能夠更好地解答數學題目，還能夠在生活中將數學知識得以應用.導數實質也是一種函數的存在形式，并且也是曲線上任意一點的斜率，通過利用導數的數學含義，使得導數只是在解決切線問題過程中具有更加有力的價值，使得解題思路進一步擴展，解題過程變得更加簡單，解決問題變得更加高效，使學生能夠快速掌握數學知識，并且得到更加明確的解題思路.